人大(王燕)时间序列课后习题答案

第二章P34

k(1)因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。

(2)样本自相关系数：

n-k

pL=-----=----------------------

/⑼£区e2

t=\

I〃I

X=-Yxf=——(1+2+…+20)=10.5

〃普20

120

八°)=布Z(匕一方=35

，u/=1

I19

7⑴=石2?七一初%-元)=29.75

1九=1

118

/(2)=—^(x,-x)(x,+2-x)=25.9167

IX/=i

|17

/⑶=—2^(x,-x)(x,+3-x)=21.75

177

/(4)=17.257(5)=12.4167/(6)=7.25

px=0.85(0.85)p2=0.7405(0.702)/%=0.6214(0.556)

p4=0.4929(0.415)p5=0.3548(0.280)p6=0.2071(0.153)

注：括号内的结果为近似公式所计算。

(3)样本自相关图：

AutocorrelationPartialCorrelationACPACProb

Q-Stat

।*******।।।10.8500.85016.7320.000

.|*****|.*|.|20.702-0.0728.7610.000

6

.「…|.*|.|30.556-0.0736.7620.000

6

.1***1.*1.140.415-0.0741.5000.000

7

.r*-i.i50.280-0.0743.8000.000

7

.r.i.i60.153-0.0744.5330.000

8

.i.i门.i70.034-0.0744.5720.000

7

・*i.i.*i.i8-0.07-0.0744.7710.000

47

.*i•i.*i•i9-0.17-0.0745.9210.000

05

*1.|10-0.25-0.0748.7130.000

22

*1•|11-0.31-0.0653.6930.000

97

*1.|12-0.37-0.0661.2200.000

00

该图的自相关系数衰减为0的速度缓慢，可认为非平稳。

工，o1\

4、LB=n(n+2)\上匚

k=\n-k)

LB(6)=1.6747LB(12)=4.9895

片05(6)=12.59一盆(12)=21。

显然，LB统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

第三章P100

1、解：£(x,)=0.7*E(x,_1)+£(£,)

(l-0.7)£(x,)=0E(x,)=0

(1-0.7B)x,=£,

x,=(1—0.78)%,=(1+0.78+0.7282+…应

Var(x.)-----------近=1.96084

'1-0.49

Pi=A)=049%2=0

2、解：对于AR(2)模型：

Pl=必20+。2。-1=必+。22I=05

<

.02=。1夕1+02。0=+。2=°3

'必=7/15

解得:

%=1/15

3、解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(x,)=0

原模型可变为:%=0.8%_]一0・15%-2+0

1—022

Var(xt)=a

(1+。2)(1一族-心)(1+。1一。2)

(1+0.15)

CT2=1.9823FT2

(1-0.15)(1-0.8+0.15)(1+0.8+0.15)

p、=私/(I—力)=0.6957小=p、=0.6957

〈夕2=必夕]+OzPo~04066<022=02=-0.15

p3=必夕2=0.2209.033=0

4、解：原模型可变形为：

(\-B-cB~)x,=£,

由其平稳域判别条件知：当I虑1<1,a+必<1且。2-必<1时，模型平稳。

由此可知C应满足：c-l<l且C+1<1

即当一1<C<O时，该AR(2)模型平稳。

1k=0

pk—'1/(1—c)k-1

+CPk-2k>2

5、证明：已知原模型可变形为：

(1-B-cB2+cfi3)x,=£,

其特征方程为：万一下_+c=(几_1)(才+几一C)=0

不论c取何值，都会有一特征根等于1,因此模型非平稳。

6、解：(1)错，/0=%"区)=b；/(I一夕2)。

(2)错,E[(x,--A)]=Y\=XVo=优近/(1一夕；)。

⑶错，XT(/)=0{xTo

(4)错，(I)=2丁+[+G]£r+/_]+^2^T+/-2+,,+G/_]£丁+]

=ST+l+优£y+/-l+仇£T+l-2+^可ST+\

limVar[x-x(/)]=limVar[e(/)]=lim—―cr；=——二-cr；

(5)错,T+lTT

，f8Its51-0~1-0~

7,解:

Pl1+e；?P\

MA(1)模型的表达式为:x,=s,+£,_^

8、解：£(%)=%/(I-必)=10/(1—0.5)=20

原模型可变为：(l-0.5B)(x,-20)=(l-0.8B2+CB3k,

/_(1-0.8炉+次)

x-20-----------------£

t(1-0.53)t'

显然，当I-。》/+C53能够整除1—0.5BIJ寸，模型为MA⑵模型，由此得B=2是1-0.81+。炉=0的根,

故C=0.275。

9、解：：E(x,)=0

Var(xt)=(1+仇2+0;欣=1.65cr；

—0i+3,—0.98

=-0.5939

0=77^?1.65

一%0.4

Pi=0.24240=0,k>3

1+*+医L65

10、解：(1)Xj—£t+C(£,_]+£.2+…)

x,T=£“+C(J-2+J-3+…)

(X_£)

"'=£'+-'c"+£''')="I+J+(C_1)£一

即(l-B)x,=[1-(C-1)BX

显然模型的AR部分的特征根是1,模型非平稳。

(2)%=.-阳_|=£,+。一1)£一1为MA(1)模型,平稳。

-qC-1

P，-----7=-；----------

1+6：C2-2C+2

11、解:(1)1我1=12>1，模型非平稳;

4=1.373822=-0.8736

(2)101=0.3<1,02+必=0-8<1，圾_必=_14<1，模型平稳。

4=0.622=0.5

(3)102h0.3<1,%+4=0.6<1,/一仇二―1.2<1,模型可逆。

4=0.45+0.26931%=0.45-0.2693i

(4)\02|=0.4<1,32+6,=-0.9<1,%-仇=L7>1，模型不可逆。

4=0.2569A2=-1.5569

(5)|=0.7<1,模型平稳；4=0.7

I优1=0.6<1,模型可逆：2,=0.6

(6)1=0.5<1,我+必=—0.3<1,直—四=L3>1,模型非平稳。

4=0.4124%=-1.2124

\e,1=1.1>1,模型不可逆；2,=1.1

12、解：(l-0.6B)x,=(1-0.35)^,

x,=(1-035)(1+0.65+0.62B2+■­■)£,

3

=(1+0.35+0.3*0.682+03*06?B+■­■)£,

00

=0+£0.3*0.6%1

7=1

Go=1,Gj=0.3*0.6，T

13、解：£[0(B)x,]=£[3+=>(1-0.5)2£(x,)=3

£(阳)=12

14、证明：p0=/(0)//(0)=1；

/⑴=3—优)(1一。防)_0.25(1-0.5*0.25)

P\而-1+年一2。的-1+0.252-2*0.5*0.25

A=族0-1=0-50k>2

15、解：（1）错；（2）对；（3）对；（4）错。

16、解：⑴x,-10=0.3*(x,_1-10)+fr-9.6

xr(l)=E(x,+l)=E[10+0.3*(xr-10)+£7+J=9.88

xT(2)=E(x,+2)=E[10+0.3*(x.r+]—10)+号+2]=9.964

%(3)=E(x,+3)=E[10+0.3*(X"2-10)+%+3]=9.9892

已知AR(1)模型的Green函数为：Gj=^,J=1,2,…

与⑶=t+2+G2J+1=W+3+玖£,+2+0：£,+I

GQ£I+J+Gis

22

Var[eT(3)]=(1+0.3+0.09)*9=9.8829

x,+3的95%的置信区间：[9.9892-1.96*79.8829,9.9892+1.96*J9.8829]

BP[3.8275,16.1509]

(2)£r+l-xT+l—xr(1)=10.5—9.88=0.62

xr+l⑴=E(XI+2)=0.3*0.62+9.964=10.15

xT+l⑵=£(X,+3)=0.09*0.62+9.9892=10.045

2

Var[eT+2(2)]=(1+0.3)*9=9.81

x,+3的95%的置信区间：[10.045-1.96X79JT,10.045+1.96*7^81]

即[3.9061,16.1839]

习题4p133

%7+]一~(Xy十十%7"_2十

«_1,...................、一5、,，5“，5”1

XXXXXX

T+2=4(*r+l++T-\+T-2'=记T+记Xy-1+记T-2+记T-3所以在%+2中XT与与_]前

面的系数均为9。

16

2、由

Ixt=axt+(l-a)E_]

[吊+1=GXf+l+(l-a)E

代入数据得

Jx,=5.25a+5(1-a)

15.26=5.50+(1-*

解得

"x,=5.1

'a=0.4(舍去的情况)

3、(1)

%2]=~(%20+*19+*18+*17+为6)=W(lX+11+10+10+12=11.2

Z2=—(%”+尤20+*9+%18+尤17)=—(1L2+13+11+10+10=11.04

(2)利用芯=0.4x,+0.6配且初始值％=%进行迭代计算即可。另外，荔=心=可0该题详见Excel。11.79277

(3)在移动平均法下：

1119

xn=-x,0+-Yxi

331=16

111a

x,=-x„+-x+-yx,.

2SZICZU20£•I

333i=]5

1116

a=—+—x—=

55525

在指数平滑法中:

=0.4X20+0.6-9

b=0.4

A

:.b-a=0.4----=0.16

25

5、由

K=g+(l-a)(E_i+%)

<

J=-ET)+(1-，)*

代入数据得

J芯=0.4%,+0.6x(20+5)

[4.1=0.2(i,-20)+0.8x5

解得

fxt=20.5

L=13.75

z<-c(10,11,12,10,11,14,12,13,11,15,12,14,13,12,14,12,10,10,11,13)

6、

方法一：趋势拟合法

incomeoscanC习题4.6数据.txt，)

ts.plot(income)

Time

由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序列进行二次曲线拟合:

t<-l:length(income)

t2<-tA2

z<-lm(income-t+t2)

summary(z)

lines(z$fitted.values,col=2)

方法二：移动平滑法拟合

选取N=5

income.fil<-filter(income,rep(l/5,5),sides=l)

lines(income.fil,col=3)

7、(1)

milkc-scanC习题4.7数据.txt')

ts.plot(milk)

从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季节波动同时作用于该序列，因此我们可以采用乘积模

型和加法模型。

在这里以加法模型为例。

z<-scan(*4.7.txt')

ts.plot(z)

z<-ts(z,start=c(1962,l),frequency=12)

z.sv・decompose(z,type='additive')〃运用力口法模型进行分解

z.lv%z.s$seas〃提取其中的季节系数，并在z中减去(因为是加法模〃型)该季节系数

ts.plot(z.l)

lines(z.s$trend,col=3)

z.2<-ts(z.l)

t<-l:length(z.2)

t2<-tA2

t3<-tA3

rl<-lm(z.2-t)

r2<-lm(z.2-t+t2)

r3<-lm(z.2-t+t2+t3)

summary(rl)

summary(r2)

summary(r3)##发现3次拟合效果最佳，故选用三次拟合

ts.plot(z.2)

lines(r3$fitt,col=4)

Time

pt<-(length(z.2)+l):(length(z.2)+12)

ptl<-pt##预测下一年序列

pt2<-ptA2

pt3<-ptA3

ptv・matrix(c(ptl,pt2,pt3),byrow=T,nrow=3)/*为预测时间的矩阵。*/

pv・r3$coef[2:4]%*%pt+r3$coef[l]/*矩阵的乘法为%*%；coef【1】为其截距项，coef[2：4]为其系数*/

pk-z.s$sea[l:12]+p/*加回原有季节系数，因为原来是加法模型*/

ts.plot(ts(z),xlim=c(l,123),ylim=c(550,950))

lines(pt1,pl,col=2)

Time

##包含季节效应的SARIMA模型

z<-scan(,4.7.txt,)

ts.plot(diff(z))

sq<-diff(diff(z),lag=12)/*12步差分*/

par(mfrow=c(2,l))

acf(sq,50)

pacf(sq,50)

Seriessq

CDL

LoL-rr

a'o

^

0

.

20304050

ag

0

0

OT

,em

d。

，

4O

203050

Lag

##

##观察上图，发现ACF图12阶处明显，24阶处即变到置信区间内。

#^^PACF图12阶，24阶，36阶处有一个逐渐递减过程，可认为##拖尾，故可以考虑对季节效应部分采用MA(1)模型

##同时，ACF图在第一阶处显著后即立刻变动到置信区间内，具有##截尾性质，PACF图在第5、6阶时变动到置信区

间外，可以考虑##使用MA(1)模型，故综合可采用乘积模型SAR/MA(0』,1)X(0,1,1)12

##即ril、mal模型乘以季节因素

result<-arima(z,order=c(0,l,l),seasonal=list(order=c(04?l)9period=12))/*^^因素里的order为阶数的意思，与前面的

airma模型的阶数含义同刃

tsdiag(result)〃诊断

##下图为预测后的图

Time

4.8

z<-scan(*4.8.txt*)

adf.test(z)##单位根检验。比较科学的定量的方法

##其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。

指数平滑预测

ffe<-function(z,a)##定义指数平滑预测。其中a为平滑项

(

y<-c()

y<-z[i]

for(iinl:length(z))

y<-c(y,a*z[i]+(l-a)*y[i])

return(y)

)

y<-ffe(z,0.6)##执行上述定义的function

ts.plot(z)

lines(y,col=3)

y[length(y)]

简单移动平均

z.l<-filter(z,rep(1/12,12),side=1)##side=l是指将所有算不出的序列值都空到最前面去，而在尾部没有空值。

z.l<-c(NA,z.l)

ts.plot(z)

lines(z.l,col=3)

50100150

Time

meand<-function(z,z.l,n)##预测函数。以12为周期。依次为原始数据，平滑值，预测步数

y<-z.l[length(z.l)]

z.2<-z[(length(z)-10):length(z)]

for(iinl:n)

m<-sum(rep(l/12,12-i)*z.2[i:length(z.2)])

n<-sum(rep(l/l2,i)*y)

y<-c(y,m+n)

}##一直重复：预测，原始数列取代一个，预测数列拿来一个

return(y)

)

y<-meand(z,z.l,ll)

y<-c(z.l,y)

ts.plot(z,xlim=c(0,205))

lines(y,col=3)

o501OO150200

Time

##SARIMA

par(mfrovv=c(2,l))

ds<-diff(z)

acf(ds,40)

pacf(ds,40)

Seriesds

Lag

##可以看出有一些不明显的周期性，故采用sarima拟合

result<-arima(z,order=c(2,l,0),seasonal=list(order=c(l,0,0),period=12))

##在季节部分很少出现2以上的数字(指seasonal中的order部分)

result<-arima(z,order=c(2,l,0),seasonal=list(order=c(l,0,l),period=12))

result<-arima(z,order=c(4,l,0),seasonal=list(order=c(l,0,l),period=12),fixed=c(NA,NA,0,NA,NA,NA))##观察图，发现第

三项在置信区间内，故认为可能为限定的sarima模型。最后两个NA指季节指数中的sari和smal.

##第三个的aic值最小，即模型拟合效果最好

tsdiag(result)##检验通过

1、(1)判断序列的平稳性

该序列时序图如图1所不:

时序图显示该序列有显著的变化趋势，为典型的非平稳序列。

(2)对原序列进行差分运算：

对原序列进行1阶差分运算，运算后序列时序图如图2所示:

时序图显示差分后序列在均值附近比较平稳的波动。为了进一步确定平稳性，考察差分后序列的自相关图，如图三所示:

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

(■i।匚i1-0.155-0.1552.60690.106

iiii20.019-0.0052.64780.266

।Dii[i3-0.069-0.0693.17930.365

।□iIEi4-0.089-0.1144.07400.396

i[i।[i5-0.031-0.0664.18450.523

iAi]i60.1050.0875.43770.489

i□i□70.1880.2169.54090.216

।Ciii8-0.056-0.0059.90330.272

i1«i1।90.0480.04310.1710.337

IEi।[i10-0.131-0.07812.2290.270

i]।i]।110.0630.07812.7080.313

iii|i120.0100.04112.7220.390

iIiii130.041-0.00212.9280.453

।口i匚i14-0.140-0.19915.3700.353

i□iiJi150.1530.12518.3260.246

iDi।[i16-0.143-0.09120.9190.182

i[i।[i17-0.041-0.06921.1350.220

i)।ii180.065-0.01421.6860.246

iIii1।190.0360.06521.8580.291

i】।i।200.0430.06522.1040.335

自相关图显示差分后序列不存在自相关，所以可以认为1阶差分后序列平稳，从图中我们还可以判断差分后序列可以视

为白噪声序列。

(3)对白噪声平稳差分序列拟合AR模型

原序列的自相关图和偏自相关图如图4：

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

i110.8850.88586.2240.000

_______I1]i20.8000.077157.360.000

______IICi30.699-0.105212.210.000

_____I1]।40.6290.068256.970.000

_____I150.5830.104295.790.000

_____I11।60.5490.045330.650.000

U

____Ici7U481-0.179357.630.000

IEi

ZZ]I1[E30.401-0.118376.540.000

=]।[i90.309-0.075387.890.000

Zli|i100.227-0.035394.090.000

□i□i110.1930.140398.640.000

■IIEi120.146-0.103401.250.000

IIIEi130.096-0.100402.380.000

I1i|i140.034-0.044402.530.000

1i□150.0040.175402.530.000

1i16-0.046-0.095402.800.000

I1ii17-0.0590.003403.260.000

[1ii18-0.0750.006403.990.000

C1।1i19-0.096-0.051405.210.000

E1ii20-0.120-0.005407.150.000

图中显示序列自相关系数拖尾，偏自相关系数1阶截尾，实际上我们用ARIMA(1,0,0)模型拟合原序列。在最小二乘

估计原理下，拟合结果为：0.888-X/_]+31.489+£

(4)对残差序列进行检验：

残差白噪声检验：

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

||1IE।1-0.113-0.1131.38550.239

111।|।20.0410.0291.56970.456

111।|।3-0.036-0.0291.71640.633

111।14-0.057-0.0662.07920.721

11।।50.000-0.0112.07920.838

1Bi।||60.1110.1153.48970.745

1□।Z170.1990.2278.08990.325

11।।I8-0.054-0.0168.43510.392

11।।|।90.0460.0298.68240.467

||।।E।10-0.111-0.07810.1410.428

13।।1।110.0680.07210.6980.469

1।।।120.0140.02310.7230.553

参数显著性检验:

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C31.4890511.176612.8174060.0058

x（-1）0.8884320.03940422.546780.0000

图中显示：延迟6阶和12阶的P值均大于0.05,可以认为该残差序列即为白噪声序列，系数显著性检验显示两参数均显

著。这说明ARIMA（1,0,0）模型对该序列建模成功。

（5）模型的预测：

A

估计下一盘的收盘价为：无（1）=0.888x289+31.489=288.121

2、（1）绘制时序图：

x

时序图显示该序列具有长期递增趋势和以年为周期的季节效应。

（2）差分平稳化

对原序列作1阶差分，希望提取原序列的趋势效应，差分后序列时序图:

Y

3、模型定阶

考察差分后序列相关图和偏自相关图的性质，进一步确认平稳性判断，并估计拟合模型的阶数。

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

1-0.528-0.52847.4380.000

।20.234-0.06256,8140.000

;—

3-0.0500.06757.2490.000

II匚4-0.164-0.21161.9270.000

II—

50.177-0.02067.3610.000

匚

|1・E1

II{6-0.271-0.20780.2620.000

IB170.186-0.07586.3790.000

匚

||・

II8-0.224-0.23995.2980.000

II匚

<|B90.032-0.27495.4790.000

,—

|.|—=100.2380.151105.620.000

11-0.454-0.414142.940.000

120.7310.453240.230.000

13-0.491-0.004284.350.000

।=1140.258-0.009296.660.000

15-0.0030.208296.660.000

16-0.1320.065299.930.000

170.1620.060304.860.000

匚।18-0.307-0.041322.700.000

।□190.163-0.182327.780.000

匚।20-0.1850.026334.390.000

自相关图和偏自相关图显示延迟12阶自相关系数和偏自相关系数大于2倍标准差范围，说明差分后序列中仍有非常显著

的季节效应。延迟1阶的自相关系数和偏自相关系数也大于2倍的标准差，这说明差分后序列还具有短期相关性。根据

差分后序列自相关图和偏自相关图的性质，尝试拟合ARMA模型，但拟合效果均不理想，拟合残差均通不过白噪声检验。

所以我们可以考虑建立乘积模型：

%非)匕

A/?/MA(1,1,1)X(0,1,1)12：W1A=(1-

(4)参数估计

使用最小二乘法估计方法，得到该模型的估计方程为:

1+0.9868

VV12Xr(l-0.833B12>,

1—0.6068

(5)模型的检验

对拟合模型进行检验，检验结果显示该模型顺利通过了残差白噪声检验（图21）和参数显著性检验（图22）。

白噪声检验（图21）

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

iili10.0490.0490.40710.523

iiii2-0.009-0.0110.42040.810

|[i11i3-0.050-0.0490.85060.837

i]•i]>40.0680.0731.65340.799

iiiI50.001-0.0071.65360.895

i]iiJi60.0810.0812.81740.831

i]>i]>70.0800.0803.93620.787

1Ci'CI8-0.086-0.1005.23740.732

i]i□90.1010.1267.07170.630

i|iii100.0350.0187.29640.697

i[ii[i11-0.031-0.0567.47370.760

二i匚i12-0.271-0.25520.8200.053

i[ii[I13-0.061-0.06821.4900.064

iiiI140.0020.00721.4910.090

i]ii|i150.0470.02621.9010.110

iiii160.002-0.00021.9020.146

iiili170.0090.04321.9170.188

参数显著性检验（图22）

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C2.1990260.9086702.4200500.0167

X(-1)0.9231160.03084629.926610.0000

AR⑴0.6056760.0788297.6834270.0000

SAR(12)0.8329400.04705517.701280.0000

MA(1)-0.9862380.013336-73.953100.0000

一_____________

（6）模型预测

卜一年度该城市月度婴儿出生率预测如下表:

月份123456789101112

预测27.61127.60427.89527.76227.88127.80527.84827.83627.8127.84227.74827.788

值

3、(1)展开原模型，等价形式为：(1—8)七=(1—0.35)名

A

即x,=七_I+£,-0.3£一|Xi。。=5O,xioo(l)=51

A

xioo(l)=x100-0.3floo

r/\以

AA

尤IOO(2)=Xioo(1)=51

AA

(2)x101=xioo(l)+^101=>f10I=1xioi(1)=x10j-0.3^I01=51.7

4、(1)平稳性检验：

X

从该序列时序图中可以看到该序列为非平稳序列。

(2)模型拟合：

IVI/\1\J\Jt

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

X(-1)0.9955140.007552131.81770.0000

MA(1)0.5970580.0878926.7930850.0000

R-squared0.888485Fvleandependentvar1852.634

AdjustedR-squared0.886869S.D.dependentvar221.9833

S.E.ofregression74.66405Akaikeinfocriterion11.49164

Sumsquaredresid384655.7Schwarzcriterion11.55538

Loglikelihood-405.9532Hannan-Quinnenter.11.51699

Durbin-Watsonstat2.050394

ARCH过程检验：

HeteroskedasticityTest:ARCH

F-statistic0.027076Prob.F(1,68)0.8698

Obs