七年级数学培优竞赛讲座第1讲-走进美妙的数学世界

第一讲走进美妙的数学世界从蛮荒时代的结绳计数到现代通讯和信息时代神奇的数学，人类任何时候都受到数学的恩惠和影响，数学科学是人类长期以来研究数、量的关系和空间形式而形成的庞大科学体系.走进美妙的数学世界，我们将一起走进崭新的“代数”世界，不断扩充的数系、奇妙的字母表示数、威力巨大的方程、不等式模型、运动变化的函数观念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；走进美妙的数学世界，我们将畅游在无边的“数据”世界，从图表中获取信息，并选择合适的图表来表达数据和信息；走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知.诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞美数学的优美和力量，它有战术的机巧与灵活，又有战略上的雄才远虑，而且，奇迹的奇迹，它的一些美妙概念竟是支配物理世界的基本结构.”例题【例1】（1）我们平常用的数是十进制数，如2639=2X103+6X102+3X10+9,表示十进制的数要用10个数的数码（又叫数字）：0,1,2,3,……9,在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1,如二进制中101=1X22+0X21+1等于十进制的数5,那么二进制中的1101等于十进制的数.（浙江省金华市中考题）（2）探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大.吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”.满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方.再相加。得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和…….重复运算下去，就能得到一个固定的数T=，我们称之为数字“黑洞”.（青岛市中考题）思路点拨（1）从阅读中可知，无论何种进制的数都可表示与数位上的数字、进制值有关联的和的形式；（2）从一个具体的数操作，发豌规律.【例2】A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时.统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与B队比赛的球队是（ ）.A.C队B.D队 C.L,队D.F队 （第18届江苏竞赛题）思路点拨用算术或代数方法解，易陷入困境.用6个点表示A、B、C、D、E、F这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。这样用图来辅助解题，形象而直观.【例3】校教具制造车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形三种废塑料板若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块，恰好拼成了一个矩形（如图①.后来，又用它们分别拼出了乂、Y、Z等字母模型（如图②，图③，图④），如果每块塑料板保持图①的标号不变，请你参与：（1）将图②中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图③中，只画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号，⑶在图④中，请你适当画线，找出7块塑料板，并填上标号.（2002年烟台市中考题）思路点拨动手实验、操作.从对图形分割人手.【例4】根据图①和图②回答问题:链接数与形，以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常有助于问题的解决.【例4】根据图①和图②回答问题:图①1997年高新技术产业工业总产液的分布情况图②2000年高新技术产业工业总产值的分布情况图①1997年高新技术产业工业总产液的分布情况图②2000年高新技术产业工业总产值的分布情况理机电4球化.新材科」8.23L'7；\ 」生的及医药制前,一20.«0.光机电一ffft-I]94%（1）1997年与2000年相比，产值比重减少最多的是哪个产业？（2）假定2000年光机电一体化的产值是1997年的2倍，那么2000年高新技术产业工业总产值比1997年增长率是多少？（3）2000年与1997年相比高新技术产业生产值总额增加最多的是哪个产业？（2003年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题）思路点拨从给定的扇形统计图表中获取信息，须注意的是扇形统计图表示的是某一部分占总体的百分比（或称某一部分的比重），因此，需要引入字母表示某种产值的具体数额，【例5】一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和是1999,求这个四位数，并说明理由.（重庆市竞赛题）思路点拨设所求的四位数为嬴d，由题意可得关于a、b、c、d的一个等式，运用估算、讨论、枚举等方法，分别求出a、b、c、d的值.注：解与整数相关的问题，常常要用到“估算”这种重要方法.运用估算是在解决问题的过程中，合理运用缩放、近似等方法简化计算的一种算法，运用估算往往能使我们更迅速地接近正确目标.链接阅读是人们吸取知识的主要手段和认识世界的重要途径.现代及未来社会要求人们具有的阅读能力已不再只是语文阅读能力，而是一种以语文阅读能力为基础，包括外语阅读能力、数学阅读能力、科技阅读能力在内的综合阅读能力.读数学书，要边读书边思考.对于概念，要抓住关键词句推敲，从概念间的相互联系中去掌握概念;对于公式、法则、性质等，要思考结论的准确意思、公式成立的条件、适用的范围；对于例题，要自己先动手做一做，再与书上的解答对照，找出知识上的缺陷、错误，并从中总结适用知识的规律.学力训练.观察下列顺序排列的等式：9X2+3=21,9X3+4=31,9X4+5=41,（20039X2+3=21,9X3+4=31,9X4+5=41,（2003年北京市中考题）.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）时，需要的火柴棍总数为根.（即n=20）时，需要的火柴棍总数为根.（河北省中考题）（第3题）.世界杯中，中国男足与巴西、土耳其、哥斯达黎加队同分在C组。赛前，50名球迷就C组哪支球队将以小组第二名进入十六强进仃猜测，统计结果则图，认为中国队将以小组第二名的身份进入十六强的人数占的百分比为.（“希望杯”邀请赛试题）.自然数a、b、c、d、e都大于1,其乘积abcde=2000,则其和a+b+c+d+e的最大值为,

最小值为..若一个正整数〃被2,3,…，9这八个自然数除，所得的余数都为1,则〃的最小值是一,a的一般表达式为为..3个质数p、q、r满足p+q=r，且p<q，那么p等于（）.A.2B.3C7D.13.如果有2003名学生排成一列，按1,2,3,4,3,2,1,2,3,名学生所报的数是（）.A. 1B.2C.3D.4.如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等），把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（）.（第18后江苏省竞赛题）4,3,2,…的规律报数，那么第2003（■第8题）9.下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的患 ）.10.设“•”、“▲"、"曰"表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么•、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）.A.・、・、AC.£・、・B.・、£・、口.▲、■、・（江西省中考题）11.用一个两位数去除2003,余数是8,这样的两位数有（第18后江苏省竞赛题）4,3,2,…的规律报数，那么第2003（■第8题）9.下面四个图形每个均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的患 ）.10.设“•”、“▲"、"曰"表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么•、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）.A.・、・、AC.£・、・B.・、£・、口.▲、■、・（江西省中考题）11.用一个两位数去除2003,余数是8,这样的两位数有,个，其中最大的两位数是12.如果a、b是任意2个不等于零的数，定义运算※如下（其余符号意义如常）:a2aXb=，那么［1X(2X3)］一［(1派2)派3］的值是b1 ……人一，113如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把面积为2的矩形分成两个面积为411的矩形，再把面积为二的矩形等分成两个面积为三的矩形，如此进行下去.试利4 8用图形揭示的规律计算：1+1+1+—+—+—+—+—248163264128256（南宁市中考题）14.观察下图，三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱……由此可推测n棱柱有（n+2）个面个顶点条棱.第13®)3棱柱4棱柱35棱柱台棱柱.某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10%,三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份（）.A.增加10%B.减少10% C.不增不减 D.减少1% （河南省中考题）.三进位制数201可用十进位制数表示为2X32+0X31+1=2X9+0+1=19；二进位制数1011可用十进位制数表示为1X23+0X22+1X2+1=8+0+2+1=11.现有三进位制数a=221,二进位制数=10111,则a与b的大小关系为（）.A.a>b B.a=b C.a<bn不能确定 （重庆市竞赛题）.某学生骑白行车上学，开始以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟.为了按时到校，他加快了速度，但仍然保持匀速行进，结果准时到校.他骑自行车行进的路程s与行进的时间t的关系有如下四种示意图，其中正确的是（）.20.根据图a和图b20.根据图a和图b回答问题:千亿元」.把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所示的立体，然后将露出的表面部分染成红色，那么红色部分的面积为（）.A. 21B. 24 C. 33D. 37.如图，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草.下面左边的两个图案是设计示例，请你在右边的两个正方形中再设计两个不同的图案.（1）1998年我国国内生产总值比1995年大约增加了多少？（2）1998年我国财政支出规模（财政支出/国内生产总值）大约是多少？（3）已知1999年国内生产总值为8.5万亿元，在这几年中国内生产总值增长最快的是哪一年度?（中央国家机关公务员录用考试行政职业能力倾向试卷试题）21.有一批影碟机（VCD＞原售价：800元，，台.甲商场用如下办法促销:购买台数1〜5台6—10台11—15台16〜20台20台以上每台价格760元720元680元640元600元乙商场用如下办法促销：每次购买1〜8台，每台打九折；每次购买9〜16台，每台打八五折；每次购买17〜24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折；（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；（2）现在有A、B、C三个单位，A单位要买10台VCD,B单位要买16台VCD,C单位要买20台VCD.问他们到哪家商场购买花费较少？（第14届“希望杯”邀请赛试题）22.如图是一张“3X5”（表示边长分别为3和5）的长方形，现要把它分成若干张边长为整数的长方形（包括正方形）纸片，并要求分得的任何两张纸片都不完全相同.（1）能否分成5张满足上述条件的纸片？（2）能否分成6张满足上述条件的纸片？若能分，用“aXb”的形式分别表示出各张纸片的边长，并画出分割的示意图；若不能分，请说明理由.（江苏省竞赛题）第一讲走进美妙的数学世界参考答案【例题求般】例I(D13p[2)LSX例2选C,. -f?鼻倒*门川三物及医药腐品（；八能19开年的总产值先工，则事其Q年的忌产值比159?年的增长率为（士h71.94九十M一59乘="：土,1。。%=64亍逐：・根设I熊T年和2nH年的总产他用■别为。和4•某狎产业的产值在这两年中的比重分别为至年的工知和*拓，则这种产砧的产值额的墙加总可表而为小斤河一。,了九一行.界+0口科一工苗>，舟肉肿产业相应的土和y代人或中可的电子信息产殳的产值埔加愚凄.例5提承:没这个因他敷为砺.依鹿意神，l{jtK>fl+：1：-::^—）（k+j—j+a—r—j=ig*g,即Iaoifi1oIft+］ic-fza—igss.SJ%描。=L,吾MhlMLOM。。,橹］0）^+］k+阿=9骊dJ因我lie-"的晶尢恒为gg+唱=117,故itHQg翱-1IT一居I,有占一g,则Ih—Wd=§韩一就即一踏.心」由于或c-队当『=?时，1卜一£/=3卜"=鹃，有d=G/当#=一时*lh+2M=88+Ed孙有d=—僧都故这个四位数空L?：-,&-£学力训练】&fjr■■1）-0=l（ln-92,公。A1|=36髡 4.13九羽2005=2*XS:2.S2O,iJ=3S2L：r；-1 6,A7.CS,B9.C10-C&个m这个两位数一定是加QLg时的约始而】ggsfXsxEim 12,-|- ⑶缴14.观察图鬃触据-归纳其中规律得E校拄有■面上9个强点.新条校一JS.E）A 拧・寸 卜不,々眼。的爆大而减小，住车所耽说的几分钟内，环程不变，能完车后曲傲均速行进,路程位指和，1£<■A-3X.L-3X4-］ 19-宰2弧iI近,