振动数值仿真方法

振动数值仿真方法第1页，共27页，2023年，2月20日，星期五在时间域内对响应的时间历程进行离散，把运动微分方程分为各离散时刻的方程；将某时刻的速度和加速度用相邻时刻的各位移的线性组合表示，将系统的运动微分方程化为一个由位移组成的某离散时刻的代数方程组；对耦合的系统运动微分方程进行逐步数值积分，从而求出在一系列离散时刻上的响应值。

数值仿真方法的特点这种数值仿真方法称为逐步积分法(或直接积分法)。第2页，共27页，2023年，2月20日，星期五中心差分法；侯博特(Houbolt)法；威尔逊(Wilson-)法；纽马克(Newmark-)法。对于高频分量和低频分量混合的问题，采用无条件稳定的解法，可以提高计算效率。求解多自由度线性振动系统常用的方法有：第3页，共27页，2023年，2月20日，星期五

◆中心差分法是直接积分法的一种。◆它是将系统的运动微分方程在时间域内离散，化成对时间的差分格式，然后根据初始条件，利用逐步积分求出在一系列离散时刻上的响应值。

4.1中心差分法离散系统的运动微分方程为式中M，C，K分别为系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵；,，x分别表示系统的加速度向量，速度向量和位移向量；R(t)是外力向量。第4页，共27页，2023年，2月20日，星期五

在中心差分法中，按中心差分将速度和加速度向量离散化为

假定在t=0时，位移、速度和加速度分别为已知的。求时间区间[0，T]的解。的近似解。目的：确定时刻两式中，t时刻的速度和加速度是以相邻时刻的位移表示的。把时间全程T划分为n等份，即：第5页，共27页，2023年，2月20日，星期五在t时刻的动力方程为式中第6页，共27页，2023年，2月20日，星期五◆求解方程式(1)，可得xt+t。◆由式(3)可以看出，为求xt+t必须使用xt和xt-t的值◆开始计算时，即t=0时，要计算xt的值，就需要已知的x-t值，而x-t是未知的。◆需要一个起始技术，因而这种算法不是自起步的。◆由于是已知的。根据第7页，共27页，2023年，2月20日，星期五中心差分法的计算机实施格式A.初始计算

1.形成质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K。

2.给出初始值

3.选择时间步长△t，△t△tcr，计算积分常数：

4.计算。

5.形成有效刚度矩阵：

6.对作三角分解：第8页，共27页，2023年，2月20日，星期五B.关于每一时间增量计算

1.计算t时刻的有效载荷

2.计算t＋△t时刻的位移

3.如果需要，计算t时刻的加速度和速度第9页，共27页，2023年，2月20日，星期五

◆中心差分法是一种显式积分方法。◆使用中心差分法必须考虑积分的时间步长△t不能大于临界值△tcr，即式中Tn为离散系统的最小周期。◆如果不满足上式，数值解将出现发散现象。◆这种算法不是无条件稳定的。第10页，共27页，2023年，2月20日，星期五

◆侯博特(Houbolt)法是Houbolt为研究飞机振动所提出的方法。◆该方法以三级位移插值为基础的，通过四点的位移建立三次式，用两个向后差分公式表示在时刻t+△t的速度和加速度，即4.2侯博特法在t＋△t时刻的动力方程为第11页，共27页，2023年，2月20日，星期五整理得关于xt+t的代数方程组式中◆该方法不是自起步的，要用其它方法由

起步，例如可用中心差分法求出xt和x2t后，才能使用Houbolt法的方程逐步求解。◆由上式可以看出，要计算xt+t时刻的解，必须使用前三步的位移xt,xt-t和xt-2t。

第12页，共27页，2023年，2月20日，星期五Houbolt法的计算机实施格式A.初始计算

1.形成质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K。

2.给出初始值x0，，。

3.选择时间步长△t，并计算积分常数：，，，，，，。

4.使用特殊的起始过程，计算xt和x2t。

5.形成有效刚度矩阵：

6.对作三角分解：第13页，共27页，2023年，2月20日，星期五B.关于每一时间增量计算1.计算t+△t时刻的有效载荷

2.计算t＋△t时刻的位移

3.如果需要，计算t+△t时刻的加速度和速度◆Houbolt法和中心差分法的根本不同之处是刚度矩阵K出现在方程(1)的左端，因此Houbolt法是隐式积分格式，其舍入误差与步长△t的大小无关，所以Houbolt法是无条件稳定的。第14页，共27页，2023年，2月20日，星期五Wilson-法模型4.3威尔逊-法

威尔逊—(Wilson-)法是假定在[t,t+△t](1)时间间隔内，加速度呈线性变化，如图所示。令为自t时刻开始的时间变量，适用于0t。根据线性加速度的假设，可得在此范围内的加速度为第15页，共27页，2023年，2月20日，星期五若

=t，由以上两式可得t+t瞬时的速度和位移

上式积分后得根据上式，将t+t时刻的加速度和速度用位移表示。第16页，共27页，2023年，2月20日，星期五第17页，共27页，2023年，2月20日，星期五在t+t时刻的动力方程为式中第18页，共27页，2023年，2月20日，星期五整理得关于xt+

t的线性方程组式中求解上述代数方程组，可得xt+t。第19页，共27页，2023年，2月20日，星期五同样取=t，将式(1)分别代入式(2)和式(3)，有

这样就完成了一步积分。

求出t+t

瞬时的位移xt+t后，代入式(4)就可获得。在式(1)中取=t，并将式(4)代入，有第20页，共27页，2023年，2月20日，星期五

本方法的物理意义是：假定加速度在时刻t~t+△t内为线性变化，首先计算[t,t＋△t]区间的近似解，但仅取其中前半部分(到时刻t＋△t)作为正式的近似解而舍去后半部分(时刻t＋△t以后的部分)。这种巧妙的处理并非出于物理的原因，而主要是数学计算技术的理由。

在Wilson-中，只要值取1.37以上，不管△t取怎样的值都是稳定的(即这种算法是无条件稳定的)。实际上，最好不要太大，否则精度会下降(截断误差增加)。因此，Wilson推荐的合理值为1.4。

第21页，共27页，2023年，2月20日，星期五Wilson-

法的计算机实施格式A.初始计算

1.形成质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K。

2.给出初始值x0，，。

3.选择时间步长△t，取＝1.4，计算积分常数：，，，，，，，。

4.形成有效刚度矩阵：

5.对作三角分解：第22页，共27页，2023年，2月20日，星期五B.关于每一时间增量计算

1.计算t+△t时刻的有效载荷

2.计算t＋△t时刻的位移

3.计算t+△t时刻的加速度和速度和位移

第23页，共27页，2023年，2月20日，星期五

◆Wilson-是一种隐式积分方法，即每计算一步，必须解一个线性代数方程组。◆Wilson-算法是自起步的，t＋△t时刻的位移，速度和加速度都可由t时刻的变量表示，不需要特别的起动技术。第24页，共27页，2023年，2月20日，星期五

纽马克-(Newmark-)法同样也是假定在时间间隔[t,t＋△t]内加速度呈线性变化，它的基本假定为4.4

纽马克-

法式中和为按积分的精度和稳定性要求可以调整的参数。研究表明，当1/2，1/4(1/2+)2时，Newmark-法是无条件稳定的。根据以上两式，和可用表示。第25页，共27页，2023年，2月20日，星期五(3)(4)New