直线与直线垂直学案-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学必修第二册第八章导学案8.6.1直线与直线垂直空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直【教学目标】1.理解异面直线所成角的概念.2.会求异面直线所成的角.3.能用异面直线所成角证明空间中两直线垂直．【自主学习】1.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°.(3)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.2.求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.(2)计算角：求角度，常利用三角形.(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.【课内探究】例1.如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？(2)BE与CG所成的角；(3)FO与BD所成的角.例2.如图，在正方体中，为底面的中心.求证例3.如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.【当堂检测】一、单选题1．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（

）A．平行B．相交且垂直C．相交成60°D．异面直线 2．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（

）A．若直线，异面，，异面，则，异面B．若直线，相交，，相交，则，相交C．若，则，与所成的角相等D．若，，则3．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为（

）A．90° B．45° C．60° D．30°4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形5．正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（

）A． B． C． D．6．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为()A．60° B．45° C．30° D．90°二、多选题7．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（

）CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°三、填空题8．如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，则与所成的角是________．9．如果异面直线、所成角为，那么的取值范围是_____________．(用弧度表示)10．已知空间四边形，连接和，且，点是线段的中点，则异面直线和所成的角的余弦值是______．11．已知两条异面直线a，b所成角为60°，在直线a上取点C，E．在直线b上取点D，F，使，且．已知，则线段EF的长为______．四、解答题12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求异面直线AC1与B1D1所成的角的大小．15．如图，空间四边形ABCD的对棱