考试包大一上学习线性代数笔记

.. bbb·· c··· bbb··· bac·· =(a− ba··.

bba·· (b̸= . b·· .. bbb··· ··· =(a−c)Dn−1+

a−bc−b·· c− a−b·· c− =(a−c)Dn−1+c(a−).. ···a−b01调换行列式的行和列，用同样的方法可以因此Dn−1

Dn=(a−)Dn+c(a−1b(a−c)n−c(a−Dn

b−注意利用行列式的对称性，如果行列式是对称的，可以由一个递推行列互换后得到另一个，消去低阶未知量直接出结果。对于有大量相等项的行列式，可以考虑用升阶法或下面的多行（列）拆分法。拆分之后会出现2n个行列式，但绝大部分的值为0（有两行或两列对应相等或成比例，最后应该只剩下(n+1)个不为零的行列式，下面的例题就很典型。2：若ai̸=0i12···n)，1+1··111+··1.1.1..··.1+ ·· ·· 1·· ···= ··..0.+0···10 ..

1··

+···

. 1··

··· . ··n=

1

1此方法屡试不爽，值得珍藏。（2006年10月11日注意事注意2.1 对分块矩阵进行行变换时系数（也是矩阵）只能用左乘；对分块矩阵进行列变换时系数只能用右乘。这一点在进行分块矩阵求逆矩阵时一定要注意。注意 AB=0只是|A||B|=0的充分不必要条件注意2.3 第二类初等矩阵Ei,j(µ)表示的是将第i行的µ倍加到第j行（左乘时，或是将第j列的µ倍加到第i列（右乘时。i,j的顺序不要搞反。常用性质定关于方阵的行列式的性质定理定理 若A是n阶方阵，则下列关于A的行列式题成立 |kA|=;|A∗|=;|A|−1=A−1证 (1)的证明由行列式性质1给出2：由于AA∗=|A|I，等式两边取行列式，应用(2)即得|A||A∗|=|A|n.|A∗|=.：A−1

=

−n|A∗|=

证毕本定理虽然简单，但用处极大，很多有关矩阵行列式的问题都应用了本定理。（2006年10月22日定理 若A是n阶可逆矩阵，则下列关于A的伴随矩阵A∗题成立(A−1)∗=(AT)∗=(A∗)∗=(kA)∗=证

=

I

=

⇒

=

(2)(A∗)TAT=(AA∗)T=|A|I

I

T ∗ A(A)=(A T ∗ (3)A∗(A∗)∗=|A∗|I= =|A|n−2(|A|I)= ∗=A∗(|A|n−2 (A∗)∗=(4)A[k(kA)∗]=(kA)(kA)∗=|kA|I=kn|A|I=A(knA∗)⇒(kA)∗=证毕（2006年10月22日其它性质定理定理 (kA)−1= (k̸=证明 定理 若AX=B，则[A,B]经初等行变换可得[I,X];若XA=B， 初等列变换可 X由分[]证。 定

,A ||||̸=0，

[若D

]A,

[ 0，则D−1

−B−1 ] . 由分块矩阵的初等变换易证。定理 若A,B和A+B均可逆，(A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B=B(A+证明定理2.7(习题2.19) 若A,B都是n阶对称阵，则AB和BA是对称阵⇔A,B可证 充分性：AB=(AB)T=BTAT=必要性：AB=ATBT=(BA)T= 证毕定理2.8 ∃λ,µ∈R,µ̸=0使得λA2+µAB=I或λB2+µAB=I⇒A,B可交换。证 λA2+µAB=A(λA+µB)=I=(λA+µB)A=λA2+µBA⇒AB 证毕定理 f(x),g(x)是多项式，则f(A)g(A)=g(A)f证明定理2.10(习题Mn,|Ai|̸=证明

..

..AA1

AA

AnA(Ai（2006年10月22日）定理2.11(习题2.11) A是n阶数量阵（A=kI）⇔A与任意n阶方阵可交换。 充分性易证。现证必要性。若A与所有n阶方阵都可交换，则A也可与所有第i行第j列的元素为1，其他元素为0的n阶方阵Eij交换。因此有 ·· 0··· ··· EijA ··· ··

0··· ··· = 0··· ···aiiajj,ajk0k̸j),aik0(k̸i).i,j的取值任意性即得a11a22···ann=k,aij=0(i̸=j)即A= 证毕AEij不可交换。这种取特殊矩阵（2006年10月26日定理2.12(习题 方阵B与同阶对角方阵A=diag(λ1In1,λ2In2,···,λtInt)可交（λ1λ2···λt互不相等）B=diag(B1B2···Bt)Bi∈Mni····证 必要性易证。现证充分性。设P=AB····方法分块得到类似于B

..

的形式，B,P, ∈ . ··

ni面用反证法证明Bij=0(i̸=j).设存在Bij̸=0(i̸=j)，则一定有Pij=λiBij和Qij=λjBij.由于λi̸=λj，Pij̸=Qij与P=Q。因此Bij=0(i̸=j)，B是准 证毕□（2006年12月31日）定理2.13(例2.43) A∈Mm×n,B∈Mn×m,则∀λ̸=0,|λIn−BA|=nm|I−AB|.推论|InBA||Im（2007年1月9日定理2.14(习题2.32)可逆上/下三角阵的逆矩阵也是上/证 设A是n阶可逆上三角阵，用数学归纳法证明A−1也是上三角阵当n=1]立。设当n=k时命题成立，则当AMk+1时，将A如下分块：A

,设A−1 k k AA−1

]

+ a11α′+

= 因此

a11a′+ka11α′+kkk

由于Ak可逆，由第三个方程得β0；由AkA′=Ik和归纳假设知A′是可][ [ 阵，因此A−1 k k

是上三角阵，即当n=k1理，命题对所有自然数n均成立 证毕（2007年1月10日正交阵的补充本节中设A,B是n定理 |A|=−1⇒|I+A|=0（A一定有特征值-证 I+A=AAT+A=A(I+AT)⇒|I+A|=|A|I+A

=−IAT;同时有|I+A|=(I+A)T=I+AT,因此必有|I+A|= 证毕定理 |A|=−(−1)n⇒|I−A|=0.证

AT

| |=(−1) —|= T −|

|IA|−|IA|⇒|IA| 证毕定理2.17(习题5.29) A∗是正交阵。定理 如果|A|,|B|异号，则|A+B|=|A|+|B|=证 不妨设|A|=1,|B|=−1,则有|A+B|=I+BA

=I+ABTBT|A+B|=−|A+B|即|A+B|= 证毕（2006年10月28日经验总结：有关正交阵的行列式的证明，不过就是反复运用|M| |M|=(−1)n|−M|定理 A的实特征向量对应的特征值是证 设X是A的一个实特征向量，它对应的特征值是λ，则AX=λX，λ置得XTAT=λXT，右乘X得到XTA−1X=λXTX，由定理8.4(3)知λ

是的一个特征值，代入A−1X=λ

得 λ−

XTX0，由X̸0⇒XTX1λλ−λ0⇒λ= 证毕（2006年12月25日定理 A是对称阵⇔A的特征值只有证明充分性：当A=AT时，由定理6.10知总存在正交阵Q使Q−1AQ是对角阵。再由定理5.13(4)知Q−1AQ也是正交阵，而正交的对角阵主对角元只能是-1或1，充分性得证。必要性：A的特征值全是1和-1，则线性方程组(AI)X=0和(AI)X=都有非零解，由定理6.7r(A+I)+r(A−I)≤由定理4.11(1)r(A+I)+r(A−I)≥r((A+I)−(A−I))=r(I)=因此r(AIr(AIn,A可对角化，存在n阶可逆矩阵PA=

..这样A2=PP−1=I，而AAT=I，A可逆，因此A= 证毕（2006年12月25日注意 平面的法方程要求法向量是单位向量 注意 向量积计算α×β y1 y2n维向量空间/线性空

仅在右手直角坐标系下成立。注意 两个向量组等价，以它们构成的矩阵也等价；但两个等价矩阵的行（列）量不一定等[如矩

10

10

显然等秩，从而等价01 00显不等价。这是因为两个向量组等秩只是两个向量组等价的必要不充分条件（理4.4，而两个矩阵等秩是这两个矩阵等价的充要注意 证明多项式空间

中的一个多项式组f

线性相关，一定n. 要证明∃k ··· =0使∀x有kf=0，即kf的各项系数均为0（明只有k=0满足kf≡0.注意 当不要求进行QR分解时，一组向量的Sidt正交化过程可以简化：每i出一个向量βi，马上将其单位化得到γi，这样就有βi+1=αi+1

(γjαi+1)γj.是因

∑(β, ∑( γj,

βj=αi+1 β β

(βj,βj

αi+1 (γj,αi+1)βj=αi+1 (γj,

定理4.1增加向量的维数或减少向量组中向量的个数，不改变向量组的无关性；减少4.24.10)nnn个向量的线性组合可以表示任一个n维向量。证明设这nn维向量是A{α1α2···必要性：只需证α∈{Rn\A}α可由α1α2,···,αn唯一线性表出。由于α1,α2,···,αn线性无关，由定理4.2推论2知向量组{A,α}线性相关。这样由4.3α可由α1α2···αn唯一线性表出。必要性得证。充分性：既然α1α2···αn可表示任何一个n维向量，任一个线性无关组B={β1,β2,···,βn}一定可由A线性表出（B一定是存在的，取自然基即可。由定理4.7知n=r(B)≤r(A)≤n即r(A)=n，因此A线性无关，充分性得 证毕□（2006年11月11日定理4.3(习题4.13)一个向量组与它的极大线性无关组等价证 设向量组A={α1,α2,···,αs}的一个极大线性无关组Ar={αi1,αi2,···,αir显然Ar可被A线性表出∀α∈{A\Ar}，由定理4.3知αj可被Ar唯一线性表出，即A也可被Ar线性表出，二者等价 证毕推论同一个向量组的所有极大（2006年11月11日定理4.4(4.14)秩相等的两个向量组如果其中一个能由另一个线性表出，则两个证明设两个向量组为A={α1α2···αs}和B={β1β2···βt},r(A)=r(B)AB线性表出设其极大线性无关组为Ar和Br,则A可被Br线性表出，这样Br就是{A,B}的一个极大线性无关组，{A,B}的秩也是r.由秩的定义知，{A,B}的一个含有r个线性无关组，由定理4.3推论知Ar与Br等价，再由等价关系的传递性得到A与B等 证毕□本定理说明秩相等只是两个向量组等价的必要条件。（2006年11月11日4.5已知向量组A={α1α2···αs}，记αs+1=α1,B={β1β2···βs},βiαi+αi+1,则当s是偶数时，B一定线性相关；当s是奇数时，AB的相关/无证明当s ∑(−1)iβi

(αi−αi+1)=α1−αs+1=B

当s是奇数时，证明A线性无关⇔B线性无关。显然B可由A1 ··1 ··011 ··0001··00 .. 0 ·· 10 ·· 1s则BAC则BAC1 ··011 ··0001··00

.

=1+(−1)s+1=2̸=0 ·· 10 ·· 1因此C的逆矩阵一定存在，A=BC−1,即A也可由B线性表出，这样A和B等价，r(A)=r(B).无论A（充分性）和B（必要性）哪个线性无关，都有r(A)=r(B)=s, 证毕□（2006年11月12日定理4.6 向量组线性相关的充要条件是向量组中的某个向量可被其“前面”的向量唯一线性表出（向量的排列顺序是任意的。等价描述：向量组A={α1α2···αs}(α1̸=0)线性相关的充分必要条件是∃αiA(i12sαi可以被α1α2···αi−1证明充分性易证。现证必要性。由于α1̸=0，它自身线性无关。假设n=k时α1,α2,···,αk线性无关，α1,α2,···,αk,αk+1.如果α1,α2,···,αk,αk+1线性相关，由定理4.3知αk+1可被α1,α2,···,αk唯一线性表出，必要性得证(i=k)。否则继续n=k+1的情况。这样递推下去，至多可到α1,α2,···,αs−1线性无关，而由已知条件A是线性相关的，这样αs一定可被α1,α2,···,αs−1唯一线性表出，必要性得证(i=s). 证毕□本定理可以视作定理4.1的加强。注意必要性证明中使用的递归方法（2006年11月12日定理 若α1,α2,···,αs,β都是n维向量，则β可由α1,α2,···,αs唯一线性表⇔α1α2···αs线性无关，α1α2···αsβ线性相关证 证明：必要性由定理4.3给出。现证充分性。既然∃k1,k2,···,ksβ=skα,显然α,α,···,α,β线性相关。下面用反证法证明α,α,···, 线i

s无关。如果α1,α2,···,αs线性相关，则存在不全为零的实 l1,l2,···,ls这样∀λ∈R β kiαi+ kiαi (ki+

liαi=即表出方式不唯一与已知条件。因此α1,α2,···,αs线性无关 证毕本定理说明定理4.3是充要的而不仅仅是必要的。定理4.8 若α1,α2,···,αs,β都是n维向量，则有β不能由α1α2···αs线性表出⇔r(α1α2···αs̸=r(α1α2···αsβ能由α1α2···αs唯一线性表出⇔r(α1α2···αsr(α1α2···αsββ能由α1α2···αs不唯一线性表出⇔r(α1α2···αsr(α1α2···αsβ)<这三个结论是显然的。本定理为求解含有待定系数的（2006年11月19日定理4.9 矩阵AB的行向量是B的行向量的线性组合；AB的列向量是A的列向量本定理的结论是显然的，但是很重要。（2006年11月30日 定理 向量组α ··· 线性无关，向量组β ···Mm，则证 设k

，则β线性无关等价于.

kiβi=βk=αAk=0有零解。而由α线性无关知Ak=0，由定理4.12知方程只有零解等价r(A)= 证毕推 向量组α

···

（2006年12月6日是线性空间Vn的一组基，向量组β[ ···

α线性表出（βαA）βVn⇔|A|（2006年12月24日定理 在n维线性空间V中，αβ∈V,α,β在某一组基下的坐标为A,B,(αβV上的存在n阶正定实对称阵G(αβ[证 设V的一组基为ϵ

···

，αβ A

,B αϵA,β

充分性：构造Ggij]n×n,gijϵiϵj)，则由内积的性质(3)((α, (ϵA,ϵB)=

j

n

(aiϵi,jj

ij(ϵi,易见G是实对称阵，下面证明G是正定阵。(α,β)=ATGB，由内积性质知(α,α)=ATGA>0对于任意非零向量α一定成立，由正定阵的定义知G是正定阵。充分性必要性：只需证明(αβATGB满足内积的四条性质。αβγV,依次验证由于(αβ)是实数，G是对称阵，(βαBTGA=(BTGA)TATGB=(αβ);γ坐标为C,(αβγAB)TGCATGCBTGCαγβ∀k∈R,(kα,β)=(kA)TGB=k(ATGB)=k(α,由于G是正定阵，由正定阵性质知(αα)=ATGA≥0,当且仅当α=0时取号综上(α,β)=ATGB满足内积的四条性质，因此是内积，必要性得证 证毕G也称为V的内积关于基ϵ1,ϵ2,···,ϵn的度量矩阵。正交基下的度量矩阵是对角阵；标准正交基下的度量矩阵是单位阵。另外不难证明同一个欧氏空间内的不同基的度量矩阵是相合的。若一组基ϵ到另一组基ϵ′的过渡矩阵是,在基ϵ下的度量矩阵为G，则在基ϵ′下的度量矩阵为CTGC（注意不是(C−1)TGC−1（2006年12月24日 定理 设α α1α2··· 是欧氏空间V中的一组向量，则n阶方G(α1α2···αn)=[(αiαj)]可逆⇔α1α2···αn线性无证 证明逆否命题：|G|=0⇔α1,α2,···,αn线性相关。考查线性方程Gx=0，由定理4.2推论1知只需证明α1,α2,···,αn线性相关⇔Gx=0有(α1,(α2,零解。容易得到Gx ，而α,α,···,αn线性相关⇔αx=0有非零 .(αn,⇒存在非零的x满足(αiαx0(i12···n)⇔Gx0有非零解，充分性得证。只需再证当存在非零向量x满足(αiαx)=0时αx=0有非零解。此时(αx,αx)

(

xiαi,

xi(αi,αx)=0⇒αx=必要性得证 证毕定 4.11和定 4.12联立可以说明度量矩阵与欧氏空间的基的一一对应关系（2006年12月24日 定理 欧氏空间中，一个非零向量β与一组无关向量α α1α2··· 的所有向量都正交，则α1α2···αpβ线性无关证明用反证法证明。若α1,α2,···,αp,β线性相关，由定理5.1知β可α1α2···αp惟一线性表β=αX,则β在α1α2···αp生成的p的坐标为X,X̸0.设子空间α下的度量矩阵为Gβ与所αi正交可 0=(β,αk)

(xiαi,αk)

xi(αk, (k=1,2,···, 即GX=0,因此XTGX=0,这与XTGX=(X,X)>0。因此α1,α2,···,αp,必线性无关 证毕 推 对于n维欧氏空间V中的一组无关向量α α1α2···αn−p,另一组β1β2···βp+1Vβi与所有α正交(i12···np),则β1β2···线性相关（否则V中将有(n+1)个无关向量。定理5.8也可视为本定理的推论。（2006年12月24日 定理 对于n维欧氏空间V中的两组向量α ··· 和β ··· ,G(α1α2···αp)=G(β1β2···βp)⇔存在正交变换σσ(αi)=βi(i=1,2,···,证 由定理5.14知(αi,αj)=(σ(αi),σ(αj))=(βi,βj),必要性易证现证充分性。当α线性无关时，将其 idt正交化后可得到单位正交向量[ϵ ···[

,ϵαA,易知A是主对角元全不为零的上三角阵，因A逆。构造向量

···

=η=βA,则∀ij=12···p都∑akiαk,∑akj

∑∑ki

∑ ki(ϵi,ϵj)

aa(α,α)

jaa(βk,(=

k=1=(ηi,ηj

k=1G(η1η2···ηpG(ϵ1ϵ2···ϵpI，由定理4.12知η一定线性无关，且也是单位正交向量组。分别将ϵ,η扩充为一组标准正交基ϵ′,η′，由引理5.1知一定存性变换σ使σ(ϵi)=ηi(i=1,2,···,n)，且由于ϵ′,η′是标准正交基，σ是正交变换。这时有βA=η=σ(ϵ)=σ(αA)=σ(α)A（最后一步由线性变换的线到。由于A可逆σ(α)=βα线性相关时，不妨设˜=

题得证 ···

是其极大线性无[G(α1α2···αr)=G(β1β2···βr),由定理4.12知必然有˜r

···线性无关。因此∀j有αj kijαi,r(∑βj−

kijβi,βj

=(βj,βj)−r

kij(βj,βi)

∑ksjktj(βs, s=1 (αj,αj)−

kij(αj,αi)

∑ksjktj(αs, s1 αj

kijαi,αj kij

=(0,0)=因此βj

kijβi，即

是β变换σσ˜)=˜,r1j1)(σ(αj)=

kij

=

kijσ(αi)

kijβi=因此σ(α)=β,充分性得证 证毕（2006年12月25日）定理4.15 线性变换σ是欧氏空间V上的正交变换⇔∀∈V,|σ(α)|=|α|.证明充分性由定理5.14给出，现证必要性。设σ在一组标准正交基下的阵为A，只需证P=ATA−I=0.记α在选定的标准正交基下的坐标为X,|σ(α)|=|α|⇒(σ(α),σ(α))=(α,α)⇒XTATAX=XX⇒X(ATA−I)X=上式对任意X均成立。P的任意一个元素pij,令X的第i个和第j个元素为1，其余元素为零，均有0=XT(ATA−I)X=pij,即P=0,ATA=I,σ证毕本定理说明定 的条件是充要的而不仅仅是充分的（2006年1225日）本节中的所有定理适用于所有线性空间。在定义了向量加法和数乘向量之后，包含向量的矩阵与数矩阵相乘（包括与1×1的数矩阵相乘，即矩阵的数乘）就是合法的，以上的所有定理都只涉及了这两种运算，因此适用于所有线性空间。注意5.1 线性变换在一组基下的矩阵是基向量性变换下的象用这组基表示的系数矩阵的转置。定理 线性变换在不同基下的矩阵相似 证 设α ··· 和β ··· 都是线性空间的基，β=αP,σ是V上的一个线性变换，且σ(ααA,σ(ββB.设一个X在α,β下的坐标分别为X1,X2,则σ(X1)=AX1,σ(X2)=BX2;由坐标变换X1=PX2σ(X1)=Pσ(X2),代入上式得到PBX2=APX2(AP−PB)X2=上式对任意X均成立。在基β下取n

10·· 01···

=I, .. 00·· (AP−

10···0 ··· . 00···

=AP−PB=因此B=P−1AP,即A∼ 证毕（2006年12月7日）定理5.2 线性空间V上的变换σ是线性变换⇔∀α,β∈V,m,nR有σ(mα+nβ)=mσ(α)+证 充分性：σ是线性变换，由线性变换的定义知∀α,β∈V,m,n∈Rσ(mα+nβ)=σ(mα)+σ(nβ)=mσ(α)+充分必要性：取mn1,取n=0,

σ(α+β)=σ(α)+σ(mα)=因此σ符合线性变换的两条性质，即σ是线性变换 证毕本定理可以用来快速验证一个变换是否是线性变换。（2006年12月7日 定理 n维向量组X ··· 线性无关，线性变换σ的矩阵是则变换后的向量组σ(X)=AX线性无关⇔σ是仿射变换（|A|̸ 必要性：当σ是仿射变换时，A可逆，由定理6.5知r(AX)=r(X),即变充分性：由于对于任意的一组无关向量X,变换后的向量组仍线性无关(r(X)=s⇒r(AX)=s),因此可取X=In,这样有r(X)=n⇒r(A)=r(AX)=n即A可逆， 证毕□所有线性变换都能把线性相关的向量变为线性相关的向量。本定理只有仿射变换才能确保向量组在变换前后的线性相关性一致。（2006年12月24日定理 r(A)=0⇔A=定理 不满秩的方阵行列式为零。(A∈Mn,r(A)<n⇔|A|=以上两个定理的结论是显定理 Mm×n,推 Mm×n,Mn×p证明见例（2006年11月15日定理6.4 若A是行（列）满秩矩阵，只用列（行）初等变换就可使A变为相抵标准等价若AMm×n,r(An,则存在m阶可逆矩阵P使PA0[

];]A∈Mm×n,r(Am,则存在n阶可逆QAQ

证明只证明列满秩即Aaij)m×n,r(An的情况，行满秩的情况与此完全类A的第一列元素中至少有一个不为零（否则A必有一个列向量为零，即A不是列满秩矩阵，设ai1̸=0.用第三类初等行变换把第i行换到第1行，用第一类初等行变换把第1行的第一个元素变为1,再用第二类初等行变换把其他行的第一个元素都消为0.假设矩阵的前j列已经通过初等行变换变成[=

··· ··[jj一定可由前j列线性表出，即A不是列满秩矩阵，用与处理第1列类似的方法，通i行换到第(j+1j+1)行的这样逐列处理，最终可以把A变换为[

证毕（2006年11月15日定理 矩阵左乘行满秩矩阵或右乘列满秩矩阵，秩不变等价描述：若A∈Mm×n,B∈Mn×p,则有r(A)=n⇒r(AB)=r(B);r(Bn⇒r(AB)=证 只证明r(A)=n的情况。由定理6.3推论r(B)+(r(A)−n)≤r(AB)≤由于r(A)=n，r(B)≤r(AB)≤r(B),即r(AB)= 证毕推 若A∈Mm×n,B∈Mn×p,则有r(A)=n,AB=0⇒B=0;r(B)=n,AB0⇒A=

10

,0（2006年11月15日定理 矩阵的秩为r的充要条件是矩阵存在秩为r的满秩分解等价描述：AMm×n,r(ArGMm×r,HMr×n,r(Gr(HrA=证 充分性由定理4.11(7)给出̸]G=这[

]

,H]

0 A=GH=由定理4.8推论即得

[

Q= ]

)=必要性得证 证毕本定理说明定理4.11(7)是充要的而不仅仅是充分的（2006年11月17日定理6.7 矩阵行（列）满秩的充要条件是存在一个列（行）满秩矩阵使二者乘积为单位阵。等价AMn×m,则∃BMm×n,r(Bn使ABInr(A若B∈Mm×n,则∃A∈Mn×m,r(An使ABInr(B证 这里只证明(2).充分性：由定理4.11(2)n=r(In)=r(AB)≤r(B)≤即r(B)=n，充分性得证 必要性：B是列满秩矩阵，由定理6.4知存在m阶可逆矩阵P使PB In, A1 ，则A1PBIn.记AA1P，则AMn×m且r(An,AB必要性得证 证毕定理 两个乘积为单位阵的矩阵一定都是满秩矩阵等价描述：若AMn×m,BMm×n,则AB=Inmn,r(A)=r(B)=证 由于AB=In,若m<n,则有r(AB)≤r(A)≤m<n,由定理6.2|AB|=0与|AB|=1，因此m≥n.这样n=r(In)=r(AB)≤r(A)≤nr(A)=n,同理r(B)= 证毕定理6.9(伴随矩阵的秩 若A∈Mn(n≥2)则有r(A)=n⇔r(A∗)=r(A)=n−1⇔r(A∗)=r(A)<n−1⇔r(A∗)=证 (1)r(A)=n⇔|A|̸=0⇔|A∗|=|A|n−1̸=0⇔r(A∗)=充分性：由矩阵秩的定义知A∗̸=0即r(A∗)≥1,r(A)=n−1⇒|A|=0⇔AA∗=|A|I=0⇒r(A)+r(A∗)≤⇒r(A∗)≤因此r(A∗1,充分性得证必要性：r(A∗1A∗̸0A存在n1阶非零r(An1同r(A∗)<n⇔|A∗|=|A|n−1=0⇔|A|=0⇔r(A)<因此r(An1,必要性得证r(A)<n−1⇔A所有的(n−1)阶子式均为零⇔A∗=0⇔r(A∗)= 证毕本定理说明伴随矩阵的秩只有三种可能的取值:n,1或定理 若A∈Mn,r(A)=1⇒∃λ∈R使Ak=

（2006年11月19日证 将A满秩分解可 A=GH(G ··· ,H ··· Ak=(GH)k=G(HG)(HG)···(HG)H

(n

k

GH

(n

λ

即可 证毕（2006（2006年11月20日定理 r(A)=r(ATA)=证明由定理7.3知只需证明方程组Ax=0和ATAx=0同解。设两个方程组的解集为X1,X2, X1⊆X2.∀xX2有ATAx=0⇒xTATAx=0⇒(Ax)T(Ax)=[][Ax

,T∑

Ax)

nt=0⇒t=t=···=t=0⇒Ax=2i2i=1 因此X2⊆X1,两方程组同解 证毕[定理 r(A+B)≤

])≤r(A)+

（2006年11月30日[证 A+B的列向量都能

的列向量线性表出，由定理4.7[r(A+B)≤

AB由 A 列向量组的极大线性无关组中向量数不会大于A和B列向量组的极 线性无关组的向量数之和，r(AB)≤r(A)+ 证毕（2006年12月2日）定理6.13 若a̸=b,A∈Mn,(A−aI)(A−bI)=0,则r(A−aI)+r(A−bI)=n.证 由定理4.11(6)r(A−aI)+r(A−bI)≤又由定理4.11(1)r(A−aI)+r(A−bI)=r(aI−A)+r(A−bI)≥r((a−b)I)=因此r(A−aI)+r(A−bI)= 证毕（2006（2006年12月6日定理 若Ax=b是n元线性方程组，则 Axb无解r(A̸r(Abb不能由A的列向 Ax=b有唯一解⇔r(A)= A )=n⇔b能由A的列向量唯一线性 Ax=b有无穷多解⇔r(A)=r(A )<n⇔b能由A的列向量不唯一线表出本定理是线性方程组理论与定理4.8结合而得，揭示了线性方程组解的性质与系数（2006年11月29日7.2若η1η2···ηs是n维齐次线性方程组的一个基础解系，ξ1ξ2···ξs是nη1η2···ηs与ξ1ξ2···ξs等价⇔ξ1ξ2···ξs是齐次线性方程组的等价充分性：与齐次线性方程组的某一个基础解系等价的向量组也是方程组的基础解系。定理7.3(习题4.30) 若B∈Mm×n,则r(AB)=r(B)⇔ABx=0与Bx=0同解。证明必要性：同解方程组的基础解系中向量个数相同，因此n−r(A)=nr(ABr(Ar(AB),必要性得证充分性：不难证明Bx=0的解都是ABx=0的解，且二者的基础解系中向量个数相同，因此Bx=0的基础解系一定也是ABx=0的基础解系，即两个方程组同解， 证毕□本定理可以与定理4.14联立得到进一步的结论，此处略。本定理的充分性证明提供了一种证明两个齐次线性方程组同解的方法：设两个方程组的基础解系为X1,X2,若X1⊆X2且X1X2中向量的个数相同，则方程组同解；若X1⊆X2且X2⊆X1,方程组也同解。前一种证明的应用更为广泛。基础解系的包含关系可以由两个方程组解集（2006（2006年11月29日定理7.4若A是实矩阵，则线性方程组ATAx=ATb证明由定理7.1知只需证β=ATb可被ATA的列向量β1,β2,···,βn线性表出。由定理4.9知β1,β2,···,βn,β都是AT列向量的线性组合，而由定理6.11知r(AT)=r(ATA)，由定理4.4知AT的列向量组与β1,β2,···,βn等价，这样β=ATb一定可由β1,β2,···,βn线性表出。 证毕□（2006年121日）定理7.5若AB=0，则B的列向量组包含Ax=0的基础解系；A的行向量组包含BTx0的基础解等价AMm×n,B∈Mn×p,AB0,r(Ar(Bn,则齐次线性方Ax0的解空间{ηRp|Bη}BTx0的解空间

Rm| 由AB=0知B的列向量都是Ax=0的解，又由r(B)=n−r(A)知B的列向量组中一定包含Ax=0的基础解系，且这个基础解系是B的极大线性无关组。Ax=0的所有解都可由它的基础解系线性表出，也就必然可以由B的列向量组线性表出，由定理4.9知Ax=0的解空间是{ηRp|Bη}.AB=0转置得BTAT= 套用上面结论即得到BTx=0的解空间为ηRm|ATη 证毕（2006年12月1日）定理7.6 方程组A1x=b1与A2x=b2同解⇔A1,A2的行向量组等价。 必要性：设两个方程组的解集分别为X1,X2.由于A1,A2的行向量组等价A1x=b1的所有方程都是A2x=b2的方程的线性组合，X2⊆X1;同理X1⊆X2,X1X2,充分性：既然两方程组同解，必然有Ax=

A1

x

同解，r(A1)=

,同时A的行向量显然都可

理4.4知A1的行

A1

的行的行向量组等价。同理

行向量组等价，由等价关系的传递性知A1,A2等价，充分性得证 证毕（2006（2006年12月1日定理7.7 记p=n−r(A).n维非齐次线性方程组Ax=b存在(p+1)个线性无关的解η0,η1,η2,···ηp,且方程组的解集为{X η

ki=1η

特别地，若Ax=b的一个特解为η0，一个基础解系为ξ1ξ2···ξp，ηi=η0则η0η1η2···ηp就是Ax=b证明 先证明存在性，即定理中的特别情况适用于所有非齐次线性方程组首先证明η0,ξ1,ξ2,···,ξp线性无关，即证明方程f(k0,k1,···,kp)=k0η0 kiξi=只有零解。假设k0̸=0,则η0可由ξ1ξ2···ξppAη

1—k0

=这与Aη=b̸=0，因此k0=0,方程变kiξi=由ξ1ξ2···ξp线性无关知方程只有零解，因此η0ξ1ξ2···ξp容易验证η0η1η2···ηp都是Ax=b的解，下面证明η0η1η2···ηpf(k0,k1,···,kp) kiηi=只有零解。易 ∑kiηi

kiη0

kiξi=由η0ξ1ξ2···

kik1k2···kp0,k00,存在性得证若已知Ax=b的(p1)个线性无关的解η0η1η2···ηp,下面证明方程组Ax=b的解集

X η∑

ki=η

即证明：(1)X中的所有向量都是方程组的解；(2)方程组的所有解都在X

ki=1,则∀η∈X均 ∑Aη=

kiAηi

kib=即X

：记ξi=ηi−η0(i=12···p),则ξi是导出组Ax=0的解。先证明ξ1ξ2···ξp只有

f(k1,···,kp)

kiξi= ∑kiξi

kiηi

kiη0= η0η1η2···ηp线性无关知k1=k2=···=kp=0,因此ξ1ξ2···ξp线性无关；又因为p=n−r(A),ξ1ξ2···ξp是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的任意解 x=η0

kiξi=η0

ki(ηi−η0)=(1

ki)η0

x01

ki即得到x

kiηiX. 证毕本定理的证明过程中使用的向量组线性无关的证明方法非常具有典型性，都是通过已有的线性无关向量组推出由它们线性表出的一个向量组线性无关。（2006年12月3日特征值/特征注意 证明有关特征向量的问题时一定要注意特征向量不能为零注意8.2 两个矩阵相似是这两个矩阵有相同的特征多项式、行列式、迹和秩的充分不必要条件。要证明两个矩阵AB是否相似，需要解矩阵方程APPB这个方程一定是有解的（P=0）[的所有性质，仍然不能保证矩阵方程AP=PB一定有可逆解。如矩 1 0 1

的特征多项式相同，从而有同样的特征值、行列式和2同。但两个矩阵不相似（矩

0

1P=

P=

不可逆

0 但如果两个n阶矩阵有相同的特征值，且n个特征值互不相等，则它们都可对角化，且对角矩阵相同，由相似关系的传递性知两个矩阵一定相似；两个实对称矩阵的相似关系也容易验证，只需检验与它们相似的对角阵是否相似即可（见定理9.1。8.3两个AB相似时一定存在可逆PBP−1APP不是惟定理8.1属于矩阵A的不同特征值的特征向量之和一定不是A等价描述：若方阵A有p个互不相等的特征值λ1λ2···λp（值，即特征值总数可以大于p，这里只是任取p个互异的特征值）X1X2···Xppp

Xi一定不是A证 用反证法，

XiA的属于特征值λ0

A

Xi=

λ0Xi= Xi= Xi AXi λiXi (λi−λ0)Xi= 由定理6.6知X1,X2,···,Xp线性无关，因此λ1−λ0=λ2−λ0=···=λp−λ0=p即λ1=λ2=···=λp=λ0与λ1,λ2,···,λp互不相等，因

Xi一定不是A特征向量 证毕（2006年12月7日）定理8.2 对于任意n阶方阵A和B,AB与BA有相同的特征值。证 设λ是AB的一个特征值，属于λ的特征向量为X.下面分λ=0和λ̸=两种λ|λIAB|0的一个根。λ00=|0−AB|=(−1)n|A||B|=(−1)n|B||A|=|0−BA|λ0也是|λIBA|0的一个根，因此也是BA的特征值当λ̸=0时有ABX=λX，等式两边同时左乘B有BA(BX)=λ(BX)，只要证明BX̸=0即可证明λ是BA的特征值。用反证法，假设BX=0，则0=A(BX)=λX与λ̸=0,X̸=0。因此BX̸=0,λ也是BA的特征值，且此时BA属于特征值λ的一个特征向量是BX。 证毕□注意对λ的讨论是必须的，因为当λ0时无法保证BX̸（2006年127日）定理8.3A是n阶数量阵⇔任何非零n维向量都是A的特征向量。证 充分性易证。现证必要性。由于任何非零向量X都是A的特征向量，A然有且仅有一个n重特征值λ.存在性由条件给出；唯一性用反证法证明：如果A存8.1A何非零向量都是A的特征向 ，因此任意非零向量X都满足(λI−A)X=0. ···Xn=In，则(λIA)I=0即A=λI,即A是n阶数量阵。证毕（2006年12月7日定理8.4以下关于特征值的结论成立：λA的特征值，则λAT的特征n定义A−n=(A−1)n,f(x

aixi(m,nZ),f(λ)f(A)的特征值（如A不可逆，则只能m,nN1若Aλ

是A−1λ

是A∗证明定理 若f(A)=0,λ是A的特征值，则f(λ)=

（2006年12月7日证明略。A=0定理 若∃a,b∈R使(A−aI)(A−bI)=0,则A一定可以对角化，且特征值只是a和证明An.|AaI||AbI|0,abA的特征abAbA|AbI|0,(AbI)可逆，因此必有AaI=0即A=aI,结论显然成立。若a和b都是A的特征值，记其代数重数分别为n1和n2.记p=r(AaI),q=r(AbI),由定理6.13知pq=n,由定理7.5知特征值a的几何重数m1=r(AbIq,b的几何重数m2r(AaIp,而m1n1,m2n2,n1n2n,显m1=n1=q,m2=n2=p,n1+n2=由定理6.8知A一定可以对角化，且特征值只有a和 证毕推论 幂等矩阵（A2=A）的特征值只能是0和推论 幂零矩阵（Ak=0）的特征值只能是推论 幺幂矩阵（A2=I）的特征值只能是1和-（2006年12月25日定理 若A∼B，则|f(A)|=|f证 设B=P−1AP,|f(A)|=P−1f(B)P=P−1|f(B)||P|=PP−1|f(B)|=|f证毕推 若A相似于对角阵Λ，|f(A)|=|f(Λ)|

f

f

..

f

=

f（2006年12月26日8.8A∀nN存在同阶方阵B使Bn=A.特别地，当A是正交阵时，B也是正交阵；当A是正定阵时，B也1 2 m λ, λ, , 1 2 m证明略。设P−1AP=diag(λ,λ,···,λ)则B=P·diag(1 2 m λ, λ, , 1 2 mP−1.当n如果A定义在复数域上，那么无论A的特征值情况如何，B（2006年12月26日）定理8.9(习题6.26、6.38) 方阵A满足r(A)=1,tr(A)̸=0,则A必可对角化。证 由定理4.11(7)知可将A满秩分解得到A=αβT,其α ,β ..同时有αTβtr(A̸=0.由定理2.13推论知A的特征多项 T−

=λ(λ−α因此A的特征0（(n1重）和下面求对应的特征向量。由于αTβ̸=0,不妨设a1b1̸=0.λ=0时,αβTX=0得到基础解00η1 .,η2.,···,ηn−1 . 当λ=αTβ时，(αβT)α=α(βTα)=λα,可得基础解系为ηn=α.由于a1̸=0，由定理6.5知[η1,η2,···,ηn一]线性无关， 定理6.3知αβT一定可以对化，即存在η ·· 0η−1(αβT)η ..

.证毕定理不但给出了矩阵可对角化的证明，同时给出了矩阵的特征值和对角化的方法。（2007年1月9日定理8.10(习题6.14) 矩阵A只与自身相似⇔A是数量阵。 必要性：对于任意可逆矩阵P有P−1AP=P−1(kI)P=kP−1P=kI=即A充分性：证逆否命题：如果A不是数量阵，则一定存在一个与A不相等但与A相似的同阶矩阵B.如果A的对角线上有两个元素不相等，设aii̸=ajj,调换两个元素的位置就可以得到一个与A不相同的矩阵B,Ei,jAEi,j=E−1AEi,j=因此A和B相似。如果A的对角线外存在一个不为零的元素，设aij̸=0(i̸=j),则把第j列加到第i列，再把第i行减到第j行就可以得到一个与A不相同的矩阵B（因为此时必然jajjaij̸ajjbiiaiiaij̸aii）Ei,j(−1)AEi,j(1)=E−1(1)AEi,j(1)=因此A和B相似。这样就可知只要A不是数量阵，就一定存在一个与AA相似的同阶矩阵B,充分性得证 证毕个人感觉上给出的证明有问题。证明充分性时，已知矩阵A只与自身相似是不足以推出对于PAP−1AP的，只能推出如果存在矩阵B和可逆矩阵P使A=P−1BP，则必有A=B。（2007年1月10日）定理8.11(习题6.42) 若A和B为n阶实方阵，且A有n个相异特征值，则AB可交换⇔A的特征向量都是B证明充分性：设X是A的属于特征值λ的一个特征向量，则AXλX,等式两边左乘B,由AB可交换得到λBX=B(AX)=即BX也是A的属于特征值λ的一个特征向量。而由于A有n个相异特征值，属于每个特征值的特征子空间都是一维的，这样就必然存在µ使BXµX,即X是B的属于特征值µ的一个特征向量，充分性得证。必要性：设X1X2···Xn是A的分别属于特征值λ1[λ2···λn的特征向定理6.6知X1,X2,···,Xn线性无关。构造矩阵X ··· ,则可逆。由于X1X2···Xn同时也是B的属于特征值µ1µ2···µnA(BXi)=A(µiXi)=µi(AXi)=λiµiXi=λi(BXi)=B(λiXi)=即(BA−AB)Xi=0,因此(BA−AB)X=0,由X可逆得BA−AB=0AB=BA,必要性得证 证毕结论还可以扩展，B的特征向量也都是A的特征向量（把AB互换即可（2007年1月11日）定理8.12 若A∼B,B=P−1A