2023年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题+参考答案及评分标准

2023年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间2023年3月18日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（）A．B．C．D．12．如图，、都是正方形，边长分别为、（）。坐标原点为的中点，、、在轴上。若二次函数的图像过、两点，则（）A．B．C．D．（第4题（第4题图）（第3题图）（第2题图）3．如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，则（）A．B．C．D．4．如图，、分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为，则（）A．B．C．D．5．满足方程的整数对有（）A．0对B．2对C．4对D．6对二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知，，为正整数，且。若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为。7．如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。若函数（）的图像过、两点，则矩形的面积为。（第8（第8题图）（第7题图）8．如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的内切圆，为的边上的旁切圆。若、的半径都是，则。9．若实数满足，则。其中表示不超过的最大整数。10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这个凸多边形中四边形个数的最大值为。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数的图像交轴于、两点，且。若函数在上的最小值为，求，的值。12．如图，在圆内接四边形中，，是边的中点，点在对角线上，且满足。求证：。（第（第12题图）13．已知关于的方程的两根都是素数，求的值。14．一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。2023年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间2023年3月18日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（）A．B．C．D．1【答案】A【解答】依题意，。因此，。∴，。∴。2．如图，、都是正方形，边长分别为、（）。坐标原点为的中点，、、在轴上。若二次函数的图像过、两点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解答】依题意，点坐标为，点的坐标为。（第2题图）由二次函数的图像过、（第2题图），消去，得。∴，解得（舍负根）。∴。3．如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，则（）A．B．C．D．【答案】D【解答】如图，连，并延长交于点。（第3题图）∵为的重心，且（第3题图）∴为中点，且，。过点作，交于点。则，。设，则，，。∴，。（第3题答题图）另解：如图，连，并延长交于点。（第3题答题图）∵为的重心，且，∴为中点，且，。∴，。（第3题答题图）在中，利用梅涅劳斯定理，得（第3题答题图）∴，。∴。4．如图，、分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解答】如图，连结并延长交于点，连、、。∵为的外心，（第4题图）∴为直径，，。（第4题图）又为的垂心，∴，。∴，。∴四边形为平行四边形，。∵，外接圆的半径为，∴，。（第4题答题图）（第4题答题图）5．满足方程的整数对有（）A．0对B．2对C．4对D．6对【答案】C【解答】方程化为。依题意，为完全平方数。由，得。结合为整数，得。故，，，4，。当时，，不是完全平方数。当时，，不是完全平方数。当时，，不是完全平方数。当时，。∴方程化为，即，或∴，或，或，或。∴，或，或，或。∴满足方程的整数对有、、、，共4对。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知，，为正整数，且。若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为。【答案】【解答】依题意，设，则，，为正整数，且。∴，可见为偶数，且。∴，，。可见，，且当增大时，的值也随之增大。又时，，，符合要求。∴的最小值为。7．如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。若函数（）的图像过、两点，则矩形的面积为。【答案】【解答】设，，则。作于，由为中点，得为中点，且。∴。结合（第7题图），得。（第7题图）∴，。∴矩形的面积。（第7（第7题答题图）8．如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的内切圆，为的边上的旁切圆。若、的半径都是，则。【答案】【解答】如图，设切的三边、、依次于点、、，边切于点，、的延长线切于点、。则由、的半径都是，为正三角形，以及切线长性质定理，得（第8题图），，，。（第8题图）∴∴。（第8题答题图）∴，（第8题答题图）9．若实数满足，则。其中表示不超过的最大整数。【答案】【解答】设，其中为整数，。则。∵当时，；当时，；当时，；当时，。∴对任意实数，的值具有形式：，，，，为整数。∵，。∴，其中。∴。10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这个凸多边形中四边形个数的最大值为。【答案】【解答】设这个凸多边形中，有个三角形，个四边形，个五边形，…，个边形。则这个凸多边形的内角和为。另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为。矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为。因此，这个凸多边形的内角和为。∴。。………①再考虑这个凸多边形的边数。由于每个凸边形有条边，因此，这个凸多边形的边数和为。另一方面，由条件知，在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这个凸多边形的边数和为。∴。………②由①、②，消去，得。∴。（第10题答题图）又如图所示的划分符合要求，此时，，（第10题答题图）∴的最大值为，即这个凸多边形中，最多有9个四边形。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数的图像交轴于、两点，且。若函数在上的最小值为，求，的值。【解答】∵函数的图像交轴于、两点，∴，是方程的两个实根。∴，。…………5分又，∴，。………………①…………10分∵，在上的最小值为。∴时，。∴…………②…………15分由①、②，解得，。∴，。…………20分12．如图，在圆内接四边形中，，是边的中点，点在对角线上，且满足。求证：。【解答】∵，∴。∴。又，∴。（第12题图）∴（第12题图）……5分设、相交于点，∵，。∴。∴。…②……10分又为边中点，（第12题答题图）∴，结合①，得（第12题答题图）结合②，得，∴。……15分∴，即。……20分13．已知关于的方程的两根都是素数，求的值。【解答】设方程的两根分别为、，则由韦达定理，知，。∴…………①……5分显然，都不等于2，因此，，都是奇数。∴。……10分若，中有一个数为奇数，不妨设为奇数，则，其中，2，3，4。当时，，不是素数，舍去；当时，，不是素数，舍去；当时，，不是素数，舍去。当时，是素数。此时，，，也是素数。∴，，，符合要求。……15分若，都是偶数，则，不妨设，则当，时，，，不是素数，舍去；当，时，，，，都是素数；当，时，，，，都不是素数，舍去；∴，，，符合要求。综上所述，，或。……20分14．一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。【解答】的最大值为。先考虑一个的方格表，其中有个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，由枚