东北师大附中2022年“三年磨一剑”高考模拟考试

东北师大附中2022年“三年磨一剑”高考模拟考试数学试题（理）考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,则满足的集合B的个数是 （） A．1 B．3 C．4 D．82．已知复数，则等于 （） A． B． C． D． 3．已知函数的图像与函数的图像关于对称，则 （） A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率是 （）A． B． C． D．5．若，则的最大值是 （） A．0 B．3 C．1 D．不存在6．将函数的图像向右平移个单位后，得到的图像关于直线对称，则的最小值为 （） A． B． C． D．以上都不对7．已知数列为公差不为的等差数列，若成等比数列，则等于（） A． B． C． D．无法确定8．已知函数在区间上连续，且当时，,则等于（） A．4 B．3 C．2 D．9．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列命题正确的是（） A． B． C． D．，则交与一点或相互平行10．从6名男生与5名女生中，各选3名，使男女相间排成一排，不同的排法种数是（）A．B．C． D．11．已知函数是定义在上的奇函数，若在区间上单调递增且.则下列不等式中不一定成立的是 （） A． B． C． D．12．设为椭圆的一个焦点，为该椭圆上三点，若，则 （）A．B．C．D．学科网第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在的展开式中，的系数为_____________（用数字作答）．14．过原点作曲线的切线，则该切线的斜率为________（e为自然对数的底数）．15．若向量的取值范围是．ABB1CD1A1C1DMABB1CD1A1C1DMNO①球的表面积为3；②两点间的球面距离为；③直线被球面截得的弦长为．其中是真命题的序号为_____（把所有正确命题的序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在三角形中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求三角形面积的最大值.18．（本小题满分12分）一大学生参加某公司的招聘考试，需依次参加A、B、C、D、E五项测试，如果前四项测试中有两项不合格或第五项不合格，则该考生被淘汰，考试即结束。考生未被淘汰时，必须继续参加后面的测试，已知每项测试相互独立，该生参加A、B、C、D四项测试每项不合格的概率均为，参加第五项测试不合格的概率为.（Ⅰ）求该生被录取的概率；（Ⅱ）求该生参加考试的项数的概率分布列和数学期望．AADBCSFE19．（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等腰三角形且垂直于底面，，，、分别是、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知数列{}的前项和为，，.（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式成立的所有的值.21．（本小题满分12分）已知在直角坐标平面上两个定点和一个动点且点满足下列两个条件：①顺时针排列,且是定值；②动点的轨迹经过点（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若抛物线与曲线有两个不同的交点，且过抛物线焦点的直线与该抛物线有两个不同交点判断等式能否成立？并说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数，.（Ⅰ）求函数的极值和单调区间；（Ⅱ）对于的任意实数，不等式恒成立，求实数的取值；（Ⅲ）数列的前项和为，求证：参考答案一、选择题CBDABACCDADA二、填空题13、-5；14、e；15、；16、①③；三、解答题17．解：（Ⅰ）由，有，∴，∴，且角为锐角，又，取，（舍去）解得（Ⅱ）设的角所对的三边长分别为，则，由余弦定理有，∴，即，∴，即面积的最大值为.18．解：（I）（Ⅱ）（理）该食品检验的次数可以是2，3，4，5.2345ADADBCSFEGHKL19．解法一：（Ⅰ）取中点，连结、，则．又，∴，四边形是平行四边形．∴，又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）连，∵，∴，又面面，20220601∴面．连结，取中点，连结，20220601则．∴平面．作于，连结，则为二面角的平面角．∵，，∴，在正方形中，作于，则．∴．∴.故二面角的大小为．解法二：（Ⅰ）以为原点,在平面内过垂直于的直线为x轴,、分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系．由已知，，，，，，，易求平面的一个法向量为，．∴，，又，∴．（Ⅱ）设为面的法向量，则，．ADBCSFADBCSFEyxz∴，取，则．又为面的法向量，所以．因为二面角为锐角，所以其大小为．20．解:（Ⅰ）由（1）得（2）（2）-（1）得,整理得（∴数列是以4为公比的等比数列.其中,,所以，（Ⅱ）当时，当时，整理得，解得所以，。解法二：当时，当时，当时，当时，所以，.21．解：（1）由①②可知；当时，可求.又因为.所以由可得即.整理得:而也满足此方程.所以曲线的方程是（此问也可以利用四点共圆的思想求曲线的方程）（2）设由于抛物线与曲线有两个不同的交点，所以一定不在抛物线含焦点的区域内，所以即.设若不垂直于轴时，由由消去得:,则又因为当轴时，上式依然成立.所以.因为,所以所以不成立.22．（Ⅰ）解：，0极小值由上表可知，单调递增区间为，单调递减区间为；极小值为.（Ⅱ）因为，所以，设，⑴再令，，在上是单调递增函数，且.当时，；当时，当时