高二数学同步测试直线与圆锥曲线（八）

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一、选择题

x2?y2?1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直1.（2023年全国·理7）椭圆4线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=（）

A．

2（2023年全国·理8）设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）

A．[－

73B．3C．

2211，]22D．4

B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]

3.（2023年全国·理4）已知圆C与圆(x?1)2?y2?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为（）

A．(x?1)2?y2?1B．x2?y2?1C．x2?(y?1)2?1D．x2?(y?1)2?14.（2023年全国·文8）已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是

（）

A．4x?2y?5B．4x?2y?5C．x?2y?5D．x?2y?55.（2023年全国·理8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6.（2023年全国·理9）已知平面上直线l的方向向量e=(?43,),点O（0，0）和A（1，55－2）在l上的射影分别是O′和A′，则O?A???e，其中?=（）

A．

1111B．?C．255D．－2

7.（2023年全国·理1）设集合M??x,y?x?y?1,x?R,y?R，

22N??x,y?x2?y?0,x?R,y?R，则集合M?N中元素的个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

8.（2023年全国·理4）圆x2?y2?4x?0在点P(1,3)处的切线方程为（）A．x?3y?2?0B．x?3y?4?0C．x?3y?4?0D．x?3y?2?09.（2023年全国·理7）设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为y??的离心率e?（）

????1x，则该双曲线25410.（2023年全国理3）过点（－1，3）且垂直于直线x?2y?3?0的直线方程为（）A．2x?y?1?0B．2x?y?5?0C．x?2y?5?0D．x?2y?7?0

A．5B．

5C．

52D．

11.（2023年全国文7）已知函数y?log1x与y?kx的图象有公共点A，且点A的横坐标

4为2，则k（）

A．?1111B．C．?D．

4242二、填空题

12.（2023年全国·理14）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为.

13.（2023年全国文16）设P为圆x2?y2?1上的动点，则点P到直线3x?4y?10?0的距离的最小值为.

14.（2023年全国·理16）设P是曲线y2?4(x?1)上的一个动点，则点P到点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为.

x2x2??1的焦点，在C上15.（2023年湖南高考·文史类第15题）F1，F2是椭圆C：84满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________.

x2y2??1的右焦点，且椭圆上至16.（2023年湖南高考·理工类第16题）设F是椭圆76少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数

列，则d的取值范围为.三、解答题

17.已知抛物线y2?4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N.

（１）求证：直线MN必过定点;

（２）分别以AB和CD为直径作圆，求两圆相交弦中点H的轨迹方程．

18设AB是单位圆O的直径，N是圆上的动点，过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点.四边形ABCD的对角线AC和BD的交点为G，求G的轨迹．

y

D

N

C

G

ABox

19.椭圆的两焦点分别为F1(0,?1)、F2(0,1)，直线y?4是椭圆的一条准线．（1）求椭圆的方程；

??????????????????PF1?PF2?????的最大值和最小值．（2）设点P在椭圆上，且|PF1|?|PF2|?m?1，求????|PF1|?|PF2|

20.已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPA·kPB=t(t≠0且t≠－1).

（１）求动点P的轨迹C的方程；

（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．.

直线与圆锥曲线（八）参考答案

一、选择题

1.C2.C3.C4.B5.B6.D7.B8.D9.C10.A11.A

二、填空题

12.x2+y2=413.114.515.216.[?三、解答题

17.解：（１）由题可知F?1,0?，设A?xA,yA?,B?xB,yB?，M?xM,yM?，N?xN,yN?，直线AB的方程为y?k(x?1)，

2??yA?4xA则?2??yB?4xB11,0)?(0,]1010(1)(2)

（1）—（2）得yA?yB?42，即yM?，代入方程y?k(x?1)，解得kk2?12k同理可得：N的坐标为2k2?1,?2k.

y?yNk?直线MN的斜率为kMN?M，方程为2xM?xN1?kky?2k?(x?2k2?1)，21?k2整理得y(1?k)?k(x?3),

显然，不管k为何值，?3,0?均满足方程，

所以直线MN恒过定点Q?3,0?.

（２）过M,N作准线x??1的垂线，垂足分别为E,F.由抛物线的性质不难知道：准线x??1为圆M与圆N的公切线.

设两圆的相交弦交公切线于点G，则由平面几何的知识可知：G为EF的中点.所以

2?2kyM?yNyE?yF1xG??1,yG???k??k，

222k1??即G??1,?k?.

k??xM???又由于公共弦必与两圆的连心线垂直，所以公共弦的斜率为

?1kMNk2?1,?k1k2?1(x?1),所以，公共弦所在直线的方程为y?(?k)?kk即y?(k?1)x,k所以公共弦恒过原点.

根据平面几何的知识知道：公共弦中点就是公共弦与两圆连心线的交点，所以原点O、定点Q?3,0?、所求点构成以H为直角顶点的直角三角形，即H在以OQ为直径的圆上．

18.解：以圆心O为原点，直径AB为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），

单位圆的方程为x2?y2?1设N的坐标为(cos?,sin?)，则切线DC的方程为：xcos??ysin??1，由此可得C?1,?1?cos???1?cos???,D??1,?

sin???sin???1?co?s(x?1)2si?n1?co?sBD的方程为y??(x?1)2si?n1?cos2?22将两式相乘得：y??(x?1)，

4sin2?AC的方程为y?即x2?4y2?1

当点N恰为A或B时，四边形ABCD变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以G的轨迹方程为x2?4y2?1，（?1?x?1）．y2x219.解：（１）设椭圆的方程为2?2?1(a?b?0)，则由

ab?c?1y2x2?2?a?2,c?1,b?3，椭圆方程为??1．?a43??4?c?????4?m??????????|PF1|?2,??|PF1|?|PF2|?4,?（２）由于P在椭圆上，故?????????????????4?m??|PF1|?|PF2|?m,?|PF2|?,??2?????????????????????????????????????????|PF|2?|PF|2?|FF|2m2?81????2?????12?PF1?PF2?|PF1|?|PF2|cos?F1PF2?|PF1|?|PF2|?42|PF1|?|PF2|?????????PF1?PF218??????????(m?)．

m|PF1|?|PF2|4??????????????m?2，所以m?[1,2]．由平面几何知识||PF1|?|PF2||?|F1F2|，即

记f(x)?x?8，设x1,x2?[1,2]且x1?x2，则xf(x1)?f(x2)?(x1?x2)(1?8)?0，x1x29，当m?2时，原式取4所以f(x)在[1,2]上单调递减，于是，当m?1时原式取最大值

最小值

3．2yyx2y222

?20.解：(１)设点P坐标为(x,y),依题意得=t?y=t(x－4)?+=1x?2x?24?4tx2y2轨迹C的方程为+=1（x≠?2）.

4?4t(２)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设PF1=r1，PF2=r2,则r1+r2=2a=4.在△F1PF2中，F1F2=2c=41?t,∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

2220得4c2=r1+r22－2r1r2cos120=r1+r2+r1r2

=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(所以当－

r1?r2221)=3a,∴16（1+t）≥12,∴t≥－.

421≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O4当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设PF1=r1，PF2=r2，则r1+r2=2a=－4t,在△F1PF2中，F1F2=2c=4?1?t.

∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得

2222204c2=r1+r22－2r1r2cos120=r1+r2+r1r2=(r1+r2)－r1r2≥(r1+r2)－(

r1?r222

)=3a,2∴16（－1－t）≥－12t?t≤－4.

所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O

综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是???,?4?????1?,0??4?

最小值

3．2yyx2y222

?20.解：(１)设点P坐标为(x,y),依题意得=t?y=t(x－4)?+=1x?2x?24?4tx2y2轨迹C的方程为+=1（x≠?2）.

4?4t(２)当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设PF1=r1，PF2=r2,则r1+r2=2a=4.在△F1PF2中，F1F2=2c=41?t,∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

2220得4c2=r1+r22－2r1r2cos120=r1+r2+r1r2

=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(所以当－

r1?r2221)=3a,∴16（1+t）≥12,∴t≥－.

421≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O4当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，设PF1=r1，PF2=