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第1章矢量分析

1.1什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？

答：假使在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。

假使这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。

假使这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。

假使在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。

假使在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。

1.2什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？

答：一个物理量假使仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。

假使一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。

一个矢量假使其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。假使矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。

矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。即模值为1的矢量称为单位矢量1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？

答：在标量场中大量一致的函数值（他们具有不同的位置）。构成的曲面，称为等值面。例如，温度场中由一致温度构成的等温面，电位场中一致电位构成的等位面等都是等值面。

描述等值面的方程称为等值面方程。假定u?x,y,z?是坐标变量的连续可微函数。则等值面方程可表述为u?x,y,z??C（c为任意常数）

在标量场中平面中一致的函数值构成的曲线，称为等值线。

描述等值线的方程称为等值线方程。假定u?x,y?是坐标变量的连续可微函数。则等值线方程可表述为u?x,y??C（c为任意常数）1.4求以下电场的等位线方程(1)??xz，(2)??4x?y22解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为

⑴??c?xz，即x?c；⑵??4?c即x2?y2?4?k（k为常数）zcx2?y21

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1.5求下电场的等值面方程1）??2221222，2）?=（x-x0)?(y?y0)?(z-z0)，3）?=ln(x+y+z)22x?y?z2解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为

⑴??1即x2?y2?z2?1?k2?ccx2?y2?z2⑵?=（x-x0)2?(y?y0)2?(z-z0)2?c即(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?c2?k2⑶ln?x2?y2?z2??c即x2?y2?z2?ec?k2，（k为常数）

1.6什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？

答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。

在任意一个给定点所有方向上方向导数的最大值，称为该点的梯度

梯度是在某一点所有方向导数的最大值；而方向导数是梯度在某一方向上的投影。1.7求函数u?x2?y2?z2在点M(0,1,1)沿l?2ex?ey?ez2方向的方向导数。

解：在求解方向导数时首先要求出标量函数对坐标轴各变量的变化率，然后求出沿l方向的方向余弦，带入方向导数公式，即?u??xxx?y?z222?u??y?x2yx?y?z?u?0?y222?u??zzx?y?z222

在点M(1,0,1)有?u?1l的方向余弦是cos??由式得?u?lM0?u1??z2112?22?22?13cos??23cos??23?112121??0????3232321.8求函数u?x2?y2?z2在点M(0,1,1)的梯度。解：根据梯度计算公式得

?u?112?u?u?u即

?u??0??ex?ey?ez?x?y?z2221.9什么是矢量线？什么是通量？什么是散度？

答：在矢量场中用一些有向曲线来描述矢量场，假使曲线上每一点的切线方向都表示该点的矢量场的方向，这些曲线称为矢量线。

在矢量场中任意矢量F沿有向曲面S的积分称为矢量F通过该有向曲面S的通量。

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即???F?ds??F?n0ds

ss在矢量场F中的任一点P作一包围该点的任意闭合面s，并使s所限定的体积??以任

意方式趋于零时，穿出该闭合面s的通量与s所限定体积??比值的极限值称为矢量场F在点P的散度，记作divF（读作散度F）。即

divF?lim???0?F?ds?lim?F?nds

ss0?????0??1.10求矢量场中矢量A?xex?yey?2zez经过点M(1,2,3)的矢量线方程。

解：在矢量场中任意矢量可以表示为A?Axex?Ayey?Azez和矢量方程dx?dy?dz

AxAyAz可得dx?dy?dz

xy2z解微分方程，可得y?c1x，z?c2x2

将点M(10.,2.0,3.0)的坐标代入，可得c1?2，c2?3

矢量线方程为y?2x，z?3x1.11设s是上半球面x2?y2?z2?a22?z?0?，它的单位法线矢量n0与oz轴的夹角是锐角，求

矢量场r?exx?eyy?ezz向n0所指的一侧穿过s的通量。[提醒：r与n0同指向]

解：根据题意选取球坐标则矢量r?xex?yey?zez?aer，而球面上任意微元面积为

dsr?dl?dl?er?r2sin?d?d?er，

因此，根据通量定义可得?=?r?dsr??aer?dl?dl?er?ass2?3?20sin?d??d?=2?a3

02?1.12试计算空间矢量场矢量A?(3x?2yz)ex?(y?yz)ey?(xyz?3xz)ez的散度。解：根据散度在直角坐标系中的表示式??A??Ax??Ay??Az

?x?y?z322可得??A??Ax??Ay??Az?6x?3y2?z2?xy?6xz

?x?y?z1.13什么是环量？什么是旋度？

答：在矢量场中任意矢量F沿有向闭合曲线的积分称为矢量F沿曲线的环量。

矢量场中矢量F在某一点的旋度是一矢量，其大小是矢量F在该点的最大环量面密度，其方向是环量面密度最大值时面元正法线单位矢量。

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1.14求矢量场A??yex?xey?cez(c为常数）沿以下曲线的环量(1)圆周x2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）

(2)圆周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）解：设圆周包围的曲面为s，则s??R2，据斯托克斯定理，可得

?ex????A?dl???A?ds??1）??????xlss????y??2rd?rd??2?R200R2?ey??yxez?????ds???2ez?ds?z?sC??其中??A?2ez?ex??2)

??A?dl???A?ds????????xlss????y,ey??yxds?rdrd?

ez???2??ds???2ez?ds?2?Rez?z?sC??1.15试计算空间矢量场矢量A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez的旋度：解：由??A?(?Fz??Fy)e?(?Fx??Fz)e?(?Fy??Fx)e

xyz?y?z?z?x?x?y得??A??xz?2yz?ex???2y?yz?3z2?ey?2zez1.16试证明(1)对于标量函数u，有

??2u?2u???u?u?u???2u?2u???2u?2u????????????u?????ex?ey?ez????ex???ey???ez?0?????y?x???y?z?y?z???x?z?x?z???x??x?y?x?y?(2)对于矢量函数A，有

???Az?Ay???Ay?Ax?????Az?Ay???Ax?Az?????(??A)??????e??e???zy??y???x??y??ez???x???y??z???z?z?x??????????22???Ax?Az????Ay?Ax??2Az?Ay?2Ax?2Az?Ay?2Ax???????????x?y??x?z??y?z??x?y??x?z??y?z?0?y??z?x??z??x?y??

第2章静电场

2.1什么是静电场？什么是电荷守恒定律？

答：相对于观测者来说静止不动，其电量也不随时间发生变化的电荷称之为静电荷。静电荷产生的电场称为静电场。静电场是一种不随时间变化的电场。

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宏观世界里电荷既不能被产生，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体上，或者从物体的一部分转移到另一部分。

2.2什么是试验电荷？什么是点电荷？什么是环量？

答：在电场中一个电荷产生的电场相对于场源产生电场的影响可以忽略不记，这样的电荷称为试验电荷。

一般来说当一个带电体距离观测点的距离远远大于带电体本身的尺寸时，带电体的大小和几何尺寸可以忽略，则该带电体可近似看作一个点电荷。2.3在宏观世界电荷是如何分布的？答：在宏观世界电荷是连续分布的。但连续分布电荷的带电体，其电荷分布不一定是均匀地。具体分布有1．电荷体分布；2．电荷面分布，3．电荷线分布。2.4简述库仑定律

答：真空中两个静止的点电荷q1和q2之间有相互作用力F，其作用力的大小与两电量q1，q2的乘积成正比；与q1，q2之间距离R的平方成反比；其作用力的方向在它们的连线方向；假使两点电荷同性则为斥力，异性为引力。其数学表达式为：

F12?14??0?q1q20q1q2R?R|R|24??0|R|3??牛顿??2.5三个点电荷q1?4（库），q2?q3?2（库），分别放在直角坐标系中的三点上：（0，0，0，）（0，1，1，），（0，-1，-1，）。求放在点（6，0，0）上的点电荷q0??1（库）所受的力。

q1q2R0?解：由库仑定理F?4??0R2q1q0R04?(?1)(6?0)ex?(0?0)ey?(0?0)ez96ex?2????36?10?2??6?109ex得F1??94??0R106((6?0)2?(0?0)2?(0?0)2)24?36?6ex?ey?ezq2q0R02?(?1)(6?0)ex?(0?1)ey?(0?1)ez9?2????18?10?同理F2?4??0R10?9((6?0)2?(0?1)2?(0?1)2)2384?36?6ex?ey?ezq2q0R02?(?1)(6?0)ex?(0?1)ey?(0?1)ez9F3??2????18?10?

4??0R10?9((6?0)2?(0?1)2?(0?1)2)2384?36?在点（6，0，0）上的点电荷所受的力由F1，F2，F3组成。即

1F?F1?F2?F3??36?109(1?)ex

382.6为什么引入电场强度？电场强度是如何定义的？答：为了描述电场的性质我们引入了电场强度。

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在电场中任意点放置一试验电荷q0，试验电荷q0在该点所受的力与该试验电荷电量的比值称为该点的电场强度，用数学公式表示为：

E?FqR??q04??0|R|3??牛顿/库仑??或??伏特/米??2.7电位与电场强度是什么关系？说明电位的物理意义。答：电位与电场强度是负梯度关系。即E????

电位说明单位正电荷从该点到参考点电场力所做的功。电位是相对值，电场中不同参考个点的电位值不同。但电场中任意两点的差值与参考点无关。2.8有一长为2l，电荷线密度为?的直线电荷。

(1)求直线延长线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位；

(2)求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位。解：(1)如题2.4图（a）建立坐标系，题设线电荷位于x轴上l~3l之间，则x处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为

?dx??ex?，d???dxdE?24??0x4??0x由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别

为

3l3l?dx?????ex?E?0??dE??e?x2ll4??x6??l00????0??d???3ll?3ll?dx??ln34??0x4??0

题2.4图

(2)如题2.4图（b）建立坐标系，题设线电荷位于y轴上?l~l之间，则y处的电荷微元在点?0,2l?处产生的电场强度和电位分别为

dE??dy?dy???ed??，r4??0r24??0r式中，dy?2ld?2ll1r?sin???，，，分别代入上两式，并考虑

22cos?cos2?5l?4l对称性，可知电场强度仅为x方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为

???dy?ex??ex?exE?2l,0??2dE?2excos??cos?d??sin??2023??r04??l4??l45??0l000?????2l,0??2d????0?4??0??0??1d??1???0.24??ln?tan?tan?1????cos?2??0??224????06

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2.9半径为a的圆盘，均匀带电，电荷面密度为?s。求圆盘轴线上到圆心距离为b的场点的电位和电场强度。

解：根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为?0,?,b?。在带电圆盘上取一个电荷元?sr?dr?d??，源点坐标为?r?,??,0?。由电荷元产生的电位d???sr?dr?d??

4??0R计算P点电位时，场点坐标?0,?,b?不变，源点坐标?r?,??,0?中r???是变量。R?r?2?b2

整个圆盘形面电荷产生的电位为

题2.8图

????0a2??sr?dr?d??4??0r?2?b20??a?sr?dr?2?0r?2?b20??s?2??a?b2?b2??=s??a2?b2?b??

??2?0?2?0?根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有ez方向的分量E??????????bbez??s??22?z2?0?b2?a?b??b?ez??s?1??2?0?a2?b2????ez??2.10什么是电偶极子？

答：两个等值异号的点电荷所组成的系统，其特征是两电荷之间距离l远远小于两电荷到观测点的距离，即r>>l。

s其中p、?为常数，2.11在球坐标系中，已知电偶极子电位为??peco?试求电偶极子所0e24??0r在空间任意点电场强度。

解：电位与电场强度是负梯度关系在球坐标系中梯度公式为

??1??1???E???????e?e??e???r????r?r??rsin?????将

??peco?s24??0r代入上式得

spesin?E?e2peco??er?334??0r4??0r?伏米?(注意:电位?不是坐标?的函数)

2.12简述静电场中的高斯定理？什么是介质击穿？什么是击穿强度？什么是束缚电荷？什么是电极化？什么是极化强度？

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答：在静电场中电位移矢量通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面所包围的电荷电量。即?D?ds?qf

s介质在电场强度达到一定强度的作用下，介质中的电子将摆脱原子核的束缚成为自由电子，使介质导电，这一现象称为介质击穿。

使介质发生击穿的电场强度，称为击穿强度。在电场中，介质内部的电荷不能摆脱原子核的束缚成为自由电子的电荷，称为束缚电荷。在电场作用下，束缚电荷发生位移，这种现象称为电极化。单位体积内，电偶极矩的矢量和。即Pe?lim?pe???0???库米?

22.13在真空中有一个半径为a的带电球体，其体电荷密度?f?kr(k是常数，r是球坐标系的径向变量)，求该球内、外的电场强度和电位的表达式。

解：1．求球内、外的D和E由于电场的球对称性，在与带电球同心，半径为r的高斯面上，D与介质无关，方向是径向。

???D?ds???q??fd??krd??krr2drsin?d?d?

?????r0??0?2?0?D?ds?D4?r2

?r0krr2drsin?d?d??k?r4

?0?2?0当rDi??k?r4

k2rer4Ei?kr2er4?0当r>a时，4?r2D0?k?a4所以D0?ka2er4r4

题2.14图

ka4E0?er

4?0r22．求球内、外电位分布因电荷分布在有限区域，故可选无穷远点为参考点。

当r≤a时，??Eidr?E0dr????raa?arkr2dr?4?0??aka4ka3kr3dr??3?012?04?0r2

??ka4ka41当r≥a时，?0?E0dr???2dr??

rr4?0r4?0r2.14有两相距为d的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为?和??。求两无穷大平面分

割出的三个空间区域的电场强度。

解：如题2.14图所示的三个区域中，作高斯面S1，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面S2，据高斯通量定理，可得在区域（2），E???02.15求厚度为d，体电荷密度为?的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。解：如图2.15所示的三个区域中，作高斯面S1，据高斯通量定理，电场强度在S1上的通量

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为

?s1E?ds?2E1S1??dS1?0?d2?0可得在区域（1）和（3）中，电场强度E1?对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面S2，据高斯通量定理，电场强度在S2上的通量为E1S2?E2S2?得E2??x?x?d??d??E1????x???0?02?0?0?2??xS2，?0题2.15图

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2.16平行板电容器的极板面积S=400（厘米），间距d=0.5(厘米)，中间的一半是玻璃??r?7?，

另一半是空气??r?1?，如题2.16图所示。已知玻璃和空气的击穿场强分别是90（千伏/厘米）和30（千伏/厘米），问极板间电压为U=10（千伏）时，电容器是否会被击穿？

解：设两极板间电场的方向沿ed方向（正极板指向负极板，除去边界效应）。由边界条件得D1n?D2n玻璃介质中电位移矢量D1??1E1en空气介质中电位移矢量D2??2E2en

即D1n??1E1en?D2n??2E2en（1）又由于U?E1dl?E2dl?E1d?E2d（2）

0022d/2d/2εr=1εr=70.25cm0.25cmU=10KV题2.16图?1?求解方程（1）和（2）电场强度是E??12?1U2?2Uen和E2??en

(?1??2)d(?1??2)d将?1??1r?0?7?0、?2??2r?0??0和U=10（千伏）代入上式得

E1=35（千伏/厘米）；E2=5（千伏/厘米）

所以，当极板间电压为10（千伏）时，在玻璃中和空气中的场强分别是35（千伏/厘米）和5（千伏/厘米），空气层要被击穿，10千伏的电压全加在玻璃层上，仍小于玻璃的击穿场强。因此电容器不会完全击穿。

2.17简述静电场方程及其物理意义

答：??E?r??0说明静电场是一个无旋场。

??D??介质中某点的电位移矢量的散度等于该点的自由电荷的体密度。2.18简述静电场的边界条件

答：场量由一种介质进入另一种介质时，在两种不同介质分界面上场量要发生变化，场量发生变化规律称为边界条件。

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电场强度的边界条件E1t?E2t在两种介质形成的边界上，分界面上的电场强度切向分量相等，说明切线方向的电场强度是连续的。

q电位移矢量的边界条件D1n?D2n??说明，假使两种媒质的分界面上有一层自由?S??sf电荷，则D的法向分量是不连续的。1．假设有两种媒质假使一种是导体，另一种媒质是电介质。则D1n??sf2．假设有两种媒质都是电介质，而且分界面上没有自由面电荷，则D1n?D2n电位的边界条件?1??2说明分界面两侧的电位是连续的。2.19简述电容的概念

答：当两导体在几何形状，导体相互位置和导体之间的介质一定的状况下，导体所带电荷与两导体之间的电压成正比，比例系数称为电容。即q?UC

多导体系统又分为自有电容和互有电容。自有电容是导体对地具有的电容。互有电容是多导体之间具有的的电容。

2.20球形电容器内导体极板半径为R1，外导体极板半径为R2，极板间充满介电常数为?的电介质。求电容器的电容。

解：设球形电容器内导体电极上的分别带有电荷?q，则在极间介质中的电场强度为

E?q4??r2，极间电压为

U??R2R1Edr?q?11?q?R2?R1?因此?????4????R1R2?4??R1R2

C?q4??R1R2?UR2?R1

2.21如何计算电场能量？

答：可以根据带电体上的电位和电量进行计算，也可以根据电场的能量密度进行计算，即

111111q22We?q?1?(?q)?2?q(?1??2)?qU?CU??222222CWe?11D?Ed????E2d??2?2?2.22内、外两个半径分别为a、b的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为

?0，当内、外电极上的电荷分别为?q时，求电容器内储存的静电场能量。

解：如题2.22图建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为

E?q4??0r2，D?q4?r2，

则极板间的电场能量

1?q?111?q?4?2W?????4?4?rdr????a2?4???0r2?4???0?b22?drq2?11?????2ar8??0?ab?b第3章静电场问题的解法

题2.22图

3.1简述求解静电场问题是如何分类的？如何求解他们问题？

答：静电场问题总的来说可分为两种类型：分布型问题和边值型问题。静电场问题不管是分布型问题还是边值型问题的解法又可分为解析法和数值法。解析法的解是一种数学表达式，其解是确切解。解析法包括分开变量法、镜像法、复变函数法等。用公式求解的方法均为解

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析法。数值法的解则是直接计算得到的一组数值，其解是近似解。数值法包括有限差分法、有限元法等。

3.2简述分布型问题的求解方法？答：分布型问题是已知电荷或带电体的分布求场量的问题。计算方法有三种方法：高斯定理、电场强度、电位方法。计算时假使电场对称首先考虑高斯定理，其次是电位方法。3.3边值型问题是如何分类的？

答：边值型问题是已知电场中所有不同媒质分界面(这里主要是指导体与电介质的分界面)上的边界条件（电位函数的变化率）或不同媒质分界面的电位，求解电场中场量问题。边值问题又分为三种类型。第一类边值问题（又称为狄里赫利问题）。是已知电场内部电荷的分布和给定不同分界面上的电位，即给定?s??(s)求解电场中场量的问题。

其次类边值问题（又称为诺埃曼问题）。是已知电场内部电荷的分布和所有导体表面上边界条件(实际上是已知导体上的面电荷密度)，即给定?sf??????n求解电场中场量的问题。

第三类边值问题(又称为混合型边值问题)。是在已知电场内部电荷的分布下，已知一部分导体上的电位和另外一部分导体表面上电位函数的法向导数，即给定?s??(s)和

?sf??????n求解电场中场量的问题。

3.5长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上面盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。

解：根据题意，电位.?(x,y)?满足的边界条件为：

1...?(0,y)??(a,y)?02...?(x,0)?03?(x,b)?U0根据条件1和2，电位.?(x,y)?的通解应取为

?(x,y)??Asinh??sin??

nn?yan?yan?1?由条件得U0??Asinh??sin??

nn?ban?xan?1004U0n?sinh(n?b/a)?a(n?1,3,5)2U2U?x所以An?asinh(sin(na)ddx?n?sinh(n?b/a)(1?cosn?)???0(n?2,4,6)n?b/a)?0?故得到槽内的电位分布：?(x,y)?4U?01nsinh(n?b/a)n?1,3,5??sinh??sin??

n?yan?xa3.6简述镜像法的原理及其应用

答：镜象法是用一个虚拟的带电体（点电荷或线电荷）代替实际场源电荷在导体上的感应出来的电荷，用来计算由原电荷和感应电荷共同产生的合成电场。这些虚拟的电荷称为镜象电

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荷。在使用镜像法时镜像电荷不能破坏原电荷和感应电荷产生的电场，边界条件保持不变，假使是两个平面还应当满足其夹角为??180，而n又为整数时，最终的镜象电荷才可能与原

n0电荷重合在一起，即镜象电荷的总数为有限的（2n-1）个。

3.7一无限大导体平面折成90角，角域内有一点电荷q位于(x0，y0)点，如图3.7题所示。用镜象法求角域内任意点的电位，电场强度及电荷q所受力(标出镜象电荷的位置和数（x，y）值)。

解：三个镜象电荷坐标分别是：q（??q、q（?q、1x1?-x，y1?y）2x2?-x，y2??y）q（??q3x3?x，y3??y）Nqi电位??r??1?4??0i?1r?ri?Y。

q（2,3）??r??14??014??0q(x-x0)2?(y-y0)2q(x-x2)?(y-y2)N22-14??0?14??0q(x-x1)2?(y-y1)2q(x-x3)?(y-y3)22

0x?题3.7图qi(r?r)电场强度E?r??1?4??0i?1r?ri?3E?r?r0qr?r1qr?r2qr?r3

???4??0|r?r0|34??0|r?r1|34??0|r?r2|34??0|r?r3|3(x?x0)ex?(y?y0)ey?(z?z0)ez32E??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|000(x?x2)ex?(y?y2)ey?(z?z2)ez??q(x?x1)ex?(y?y1)ey?(z?z1)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32111q4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32222??q(x?x3)ex?(y?y3)ey?(z?z3)ez4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|323333电荷所受力F?q1r0?r1q?q2r0?r2q?q3r?0rq3334??0|r0?r1|4??0|r0?r2|4??0|r0?r3|

?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ezq2(x0?x2)ex?(y0?y2)ey?(z0?z2)ezF??4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|324??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|32010101020232?q2(x0?x1)ex?(y0?y1)ey?(z0?z1)ez?4??0|(x?x)2?(y?y)2?(z?z)2|320303033.8一个电荷量q为，质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。

求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。

‘解：将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的

‘作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q??q，位于导体平面上方h处，则小带电体受到的

12

电磁场作业答案

静电力为：f??eq224??0(2h)q2?mg24??0(2h)令fe的大小和重力mg相等，即于是得到：q?4h??0mg

3.9一个点电荷放在60度的接地导体角域内的点（1，1，0）处。求：（1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。解：（1）q1'??q,?

'x1?2cos750?0.366y1?2sin75?1.366'0'

q2?q,?'x2?2cos1650??1.366y2?2sin165?0.366'0'

'?s905??1.366?x3?2co1q3??q,?'0?n95??0.366?y3?2si1

'0??x4?2cos285?0.366q4?q,?'0??y4?2sin285??1.366''0??x5?2cos315?1q5??q,?'0??y5?2sin315??1'（2）点x?2,y?1处的电位?（2，1，0）?q（R?4??01'q1R1Y'q3R3'q4R4'q5R5?'q2R2???）?0.3214??q?2.88?109q

q（x0,y0）ｑ１(x１,y１）θXｑ１＇(x１＇,y１＇）q＇(x0,-y0）3.10在一无限大导体平面上有一半径为a的导体半球凸起。如图题3-10所示，设在点?x0,y0?有一点电荷q，若用镜象法求解导体外部空间任一点的电位，试计算各个镜象电荷的位置和数值。解：利用镜象法计算各个镜象电荷的位置和数值如题3-4图所示，计算如下：

22d?x0?y0题3-10图q'?q

x1?d1co?s

q1??aqd

q'?aqsin??dx0x?y2023

co?s?y0x?y2023

d1?a2d

y1?d1sin?

第4章恒定电流的电场

4.1电流是如何形成的？什么是直流电？什么是交流电？

答：电荷在电场作用下的宏观定向运动就形成电流。不随时间变化的电流称为恒定电流(直流)。随时间变化的电流称为时变电流(交流)。4.2什么是恒定电流场？

答：恒定电流产生的场，我们称为恒定电流场，它分为恒定电流的电场和恒定电流的磁场。4.3什么是传导电流？什么是电流？

答：固态或液态导体(或统称为导电媒质)中的电流都称为传导电流。在真空或气体中，电荷在电场作用下的定向运动形成的电流，称为运流电流。4.4在恒定电场中传导电流密度与电场强度是什么关系？

13

电磁场作业答案

答：传导电流密度与电场强度成正比（电磁场中欧姆定理）即4.7写出恒定电流电场的基本方程，表述它们的意义。答：??Jf?0说明恒定电流的电场是一个无散场。

??E?0说明恒定电流的电场是一个无旋场。4.8什么是接地电阻？什么是绝缘电阻？如何计算？

Jf??E

答：电气设备到大地之间的电阻，称为接地电阻。它包括接地线电阻，接地体电阻、接地体与土壤电阻和土壤电阻四部分。绝缘电阻是绝缘介质的漏电阻，它是绝缘介质两端的电压与介质中的漏电流的比值。计算绝缘电阻有有三种方法。1．公式法：利用公式R?dl进行计算

??sl上式中的dl方向上的长度元，s是垂直于电流方向的面积，它可能是坐标变量的函数。

2．电场强度法：利用拉普拉斯方程求出电位φ再由E????,Jf??E,I??Jf?ds

S求得电流强度I，

然后由R?两电极的电位差求得绝缘电阻。

I当电极具有某种对称关系时，也可以假设一个由电极1通过绝缘材料到电极2的电流I后由Jf?Is,E?Jf；U??E?dl计算电压，最终由R=U/I求得电阻R。

l?3．电容法：利用在一致的边界条件下，静电场和恒定电场的相像性，可以得出两导体间的电容和电导之间的关系，从电容可以算电导或从电导算出电容。C??即R?1??

G?G?C4.9如题4-9图所示，由导电媒质构成的扇形，厚度为h，电导率为?。求A、B之间的电阻。解：设A、B间的电压为U，则在导电媒质中有

?2??1??????r??0，r?r??r?解得

??Alnr?B，代入边界条件，

AlnR1?B?0，AlnR2?B?U，

UlnR1lnR2/R1解得可得

??A?UlnR2/R1，B??

U1?erlnR2/R1rUrlnlnR2/R1R1，E????????er???r题4-9图

J??E??U??er，I??J?ds?lnR2/R1r??R?bR1U?U?R?adr?alnr??R?b因此，可得

R?U??I?alnR?bR

第5章恒定电流的磁场

14

电磁场作业答案

5.1简述安培力定理

答：在真空中有两个通有恒定电流I1和I2的细导线回路，它们的长度分别是l1和l2。通有电流I1的回路对通有电流I2的回路的作用力F12是

?0F12?4???I2dl2?(I1dl1?R)

R20

Iαdαl2l1x5.2一个半径为a的圆线圈，通有电流I，求圆线圈轴线上任一点的磁感应强度B。

解：根据电流的对称性，采用圆柱坐标系，坐标原点设在圆形线圈的圆心，Z轴与线圈轴线重合，场点P的坐标为

(0,?,z)，取一个电流元Iad?＇，源点坐标为(a,?＇,０),如题

IaαoRθPdBzy题5-2图5-2图所示，则Ｒ＝Zez?aer，

RZaeR??ez?er?cos?ez?sin?er

RRRB??dB??B?usIad?,e?X(cos?ez?sin?er)4?R,2?usIad?,cos?4?R2er?u0Iad?,sin?4?R2ez

?2?u0Iad?sin?4?RaR20ez?2?u0Iasin?uIsin?ezd??0a2ez204?R2R?,sin??R?a2?z2

B?U0Iasin?eZ?2R2U0a2I2(a2?z)322eZ当z=0时，B?U0a2I2(a)322eZ

5.3简述洛仑兹力

答：电荷以某一速度v在磁场运动，磁场对运动电荷有作用力，这种作用力称为洛仑兹力，洛仑兹力与运动电荷垂直。所以，他不作功，只改变运动电荷的方向，不改变运动电荷的速度。

5.4矢量磁位与磁感应强度的关系是什么？答：矢量磁位的旋度是磁感应强度

5.5已知某一电流在空间产生的矢量磁位A，求磁感应强度B。（A?exx2y?eyxy2?ez4xyz）解：

B???A?(???ex?ey?ez)?(x2yex?xy2ey?4xyzez)?x?y?z=y2ez?4yzey?x2ez?4xzex??4xzex?4yzey?(y2?x2)ez

15

电磁场作业答案

5.6有一根长位2L的细直导线与柱坐标的z轴重合，导线的中心在坐标原点。设导线中通有电流I，方向沿z轴的方向。1）求空间任一点p??,?,z?的矢量磁位A；2）求在z=0的平面上任一点p??,?,z?的矢量磁位A。当?>2L时，结果又如何？解：1）由于对称性，可以只探讨Z≥0的状况由矢量磁位方程得：dA??0Idzez

4?RR?rsin?

Z＇?Z?rct?gdZ＇?rd?sin2?

dA??0IdZ＇?Ieez?0zd?4?R4?sin?

Z在整条线段上积分得

A???2?1dA???2?1?0Iez?Ied??0z4?sin?4???2?1d?sin?

?1rdAP由

?d?1?ln(?ctg?)?Csin?sin?lcos?21?n1(1?co?s2)得A??0Iezlnsin?2sin?2e??0Iezlnsi?cos?114?4?si?n2(1?co?s1)?sin?1sin?1?＇＇dＺＺRr由图可知

sin?1?rr?(z?l)22

si?n2?rr?(z?l)z?lr?(z?l)2222

lcos?1?z?lr?(z?l)22?1题5-5图co?s2?（1）A??0Iln4?r2?(z?l)2?(z?l)r?(z?l)?(z?l)A??22ez

（2）在Z=0时，

?0I?I(r2?l2?l)(r2?l2?l)r2?l2?llnez?0lnez4?4?r2?l2?l(r2?l2?l)(r2?l2?l)

?0I(r2?l2?l)2?0Ir2?l2?llnln4?2?rr25.7什么是磁偶极子？

答：假使观测距离R远远大于一个小圆形电流线圈的半径（半径为r），即R>>r。我们称这个小圆形电流线圈为磁偶极子。5.8简述安培环路定理答：媒质中磁场强度H沿任一闭合路径的线积分(环量)等于这个闭合路径所交链的总传导电流。H?dl?Jf?ds?I

ls??5.9设无限长同轴线的内导体半径是a(米)，外导体的内半径是b(米)，外导体的厚度忽略不计。并设导体的磁导率是μ0，

ab16

题5-9图电磁场作业答案

内、外导体间充满磁导率是μ的均匀磁介质，如题5-9图所示。内、外导体分别通以大小都等于I但方向相反的电流，求各处的B和H。解：先求内导体中的磁场强度表示式。由式

?H?dl??Jlsf?ds在内导体中取一半径为

ρ的圆形

回路，它必与某一条H线相重合，并使积分路径沿着H线的方向。同时由于对称性，路径上的H是常量。另外，在恒定电流的状况下，导体截面上的Jf是常量。故上式变为

H?2??即得到H?I???22?aI?I?2[安/米]和B??0H?02?2[特](0≤ρ22?a2?a≤a)

采用同样的方法，可求得内外导体之间的磁场H?I2??[安/米]

B??H??I[特](0≤ρ≤b)

2??在ρ电磁场作业答案

矢量位函数的解A(x,y,z,t)??0Jf(x,,y,,z,,t?,4???r)v0rd?,

6.13给出谐变电磁场电场强度、磁场强度的瞬时表达式和麦克斯韦方程组的复数表示式。答：电磁场电场强度瞬时表达式E?exExmcos(?t??xE)?eyEymcos(?t??yE)?ezEzmcos(?t??zE)

磁场强度的瞬时表达式H?exHxmcos(?t??xH)?eyHymcos(?t??yH)?ezHzmcos(?t??zH)非限定形式??H?Jf?j?D限定形式??H?(??j??)E

??E??j?B??E??j??H??B?0??H?0

??????????????D??f??E??f/?第七章平面电磁波

7.1什么是平面波？什么是均匀平面波？

答：电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度E和磁场强度H的方向、振幅和相位都保持不变的波称为平面波。或称等相位面为平面的电磁波称为平面波，假使平面波的任何一个等相位面上的场矢量四处相等，则称这种平面波为均匀平面波。

7.2给出理想介质中电场强度和磁场强度的均匀平面波方程。

22解：电场强度?E?1?E

222?????xv?tv22磁场强度?H?1?H

222?x?t7.4已知在自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为

H(z,t)?(ex?ey)?0.8cos6??108t?2?z?（1）求该均匀平面波的频率、波长、相位常数和相速；?A/m，

（2）求与H(z,t)相伴的电场强度E(z,t)；（3）计算瞬时坡印廷矢量。解：1）由所给磁场强度表示式可得频率相位常数??2?rad/m波长??2??f??6??108??3?108Hz2?2??2?m?1m2?相速

vp??6??108?m/s?3?108m/s?2???H??0?E

?t2）由麦克斯韦方程得：

?Hx?1?E11??Hy???H???ex?ey???0.8?2?sin(6??108t?2?z)ex?0.8?2?sin(6??108t?2?z)ex?t?0?0??z?z??0??21

电磁场作业答案

积分得

E?1?1.6?1.6??cos(6??108t?2?z)ex?cos(6??108t?2?z)ex??301.2cos(6??108t?2?z)(ex?ey)V/m88??0?6??106??10?3）瞬时坡印廷矢量

S?E?H?2?301.2?0.8cos2(6??108t?2?z)ezW/m2?481.9cos2(6??108t?2?z)ezW/m2

7.5在自由空间中，已知电场E(z,t)?ey103sin(?t??z)V/m，试求磁场强度H(z,t)。解：利用麦克斯韦方程??E??j??H，可得到电磁波的磁场表达式。

H??1j????E??ex?031?Ey1?ex10sin(?t??z)?ex103sin(?t??z)?ex2.65sin(?t??z)

j???z?0?07.6理想介质（参数为???0、???r?0、??0)中有一均匀平面波沿x方向传播，已知其电场

瞬时值表达式为E(x,t)?ey377cos(109t?5x)V/m试求：(1)该理想介质的相对介电常数；(2)与E(x,t)相伴的磁场H(x,t)；(3)该平面波的平均功率密度。

2解：1）理想介质中的均匀平面波的电场强度E应满足波动方程?2E????E?02?t其中?E??Eyey?22?2Ey?x22?2E?Eyey??377?108cos(109t?5x)eyey??9425cos(10t?5x)ey2?2?t?t9

所以?9425cos(109t?5x)???[377?10199t?5x)cos(109t?5x)]?0即????r?9425cos(109t?5x)?25?10?18????0?0?r1999377?10t?5x)cos(10t?5x)25?10?18?0?025?10?18??2.25?9104??10?7?36?2）由麦克斯韦方程??E??j??0H得：H????E??1?Eyez?j??0j??0?x1j104??109?737e7?j5x(?j5)?1.5e?j5xezA/m

则H(x,t)?1.5cos(109t?5x)ez

3）由坡印廷定矢量得平均功率密度为：

E(x,t)?Re[Ee?j?t]?Re([377ej10te?j5xey]H(x,t)?ReHe[j?t]?Re1[.5ej10tej?tez]

9911Re[E?H*]?Re[377e?j5xey?1.5ej5xez]?282.75exW/m2227.7在自由空间中，一均匀平面波的相位常数为?0?0.524rad/m，当该波进入到理想介质后，Sav?其相位常数变为??1.81rad/m.设该理想介质的?r?1，试求该理想介质的?r和波在该理想介

质中的传播速度。

解：在自由空间的相位常数为?0???0?0

22

电磁场作业答案

所以???0?0.254?3?108rad/s?1.572?108rad/s?0?0?1.81?2?11.93??0?0??0?02在理想介质中，相位常数????0?r?0?1.81rad/s所以?r?波在该理想介质中的传播速度为

vp?1?1?c?3?10811.93???0?r?0?rm/s?0.87?108m/s

7.8在自由空间中，一均匀平面波的波长为?0?0.2m，当该波进入到理想介质后，其波长变为??0.09m。设该理想介质的?r?1，试求该理想介质的?r和波在该理想介质中的传播速度。解：在自由空间，波的相速?p0=c=3×108m/s，故波的频率为f?vp0?3?10Hz?1.5?109Hz

?00.28在理想介质中，波长??0.09m，故波的相速为vp?f??1.5?109?0.09m/s?1.35?108m/s

1c而v?1??p???0?r?0?r故????cr?v?p??3?108??????4.94??1.35?108????27.9在空气中，一均匀平面波沿Y方向传播，其磁场强度的瞬时表达式为

???H(y,t)?ez4?10?6cos?107?t??y??A/m（1）求相位常数?4??和t?3ms时，Hz?0的位置；（2）

求电场强度的瞬时表达式E(y,t)。解：（1）????0?0?107??1?rad/m?rad/m?0.105rad/m8303?1030y?在t=3ms时，欲使Hz?0，则要求107??3?10?3??若取n=0，解得y=899992.5m。

?4??2?n?,n?0,1,2,???

考虑到波长λ=2?=60m，故y?29999???0.75???29999???22.5

?222因此，t=3ms时，Hz?0的位置为y=22.5±n?m

2（2）电场的瞬时表示式为

23

电磁场作业答案

?????E?(H?ey)?0??ez4?10?6cos?107?t??y????120?4????

?????ex1.508?10?3cos?107?t?0.105y??V/m4??7.10频率f?500kHz的正弦均匀平面波在理想介质中传播，其电场振幅矢量Em?ex4?ey?ez2

kV/m,磁场振幅矢量Hm?ex6?ey18?ez3A/m。试求：(1)波传播方向的单位矢量；(2)介质的相对介电常数?r；（3）电场E和磁场H的复数表达式。解：1）电场单位矢量

磁场单位矢量

eE?Eex4?ey?ez21??(ex4?ey?ez2)22E214?1?21369(ex6?ey18?ez3)

eH?Hex6?ey18?ez3??H62?182?32波传播方向的单位矢量

en?eE?eH??1774911?(ex4?ey?ez2)?(ex6?ey18?ez3)21369

(?ex33?ey24?ez78)??ex0.375?ey0.273?ez0.886)2）由??E?H21?103369??0?r?0得?r?n369?0?2.5621?10?0n3）电场E的复数表达式

E?Eme?jke?r?(ex4?ey?ez2)e?jke?r其中r?exx?eyy?ezz

k???????0?0?r?2??500?103?0?0?r???1063?108?r?1.05?10?2?r?1.66?10?2rad/m

n?r磁场H的复数表达式

H?Hme?jke?(ex6?ey18?ez3)e?jken?r

7.11已知自由空间传播的均匀平面波的磁场强度为

?31????6?H???ex?ey?ez?10cos??t????x?y?z??A/m

?2???2??试求：(1)波的传播方向；(2)波的频率和波长；(3)与H相伴的电场E；(4)平均坡印廷矢量。

解：波的传播方向由波矢量K来确定。由给出的H的表示式可知

k?r?(exkx?eyky?ezkz)?(exx?eyy?ez)?kxx?kyy?kzz???x??y?0.5?z

故

kx???

eky??

kz?0.5?

即k??ex??ey??ez0.5?k?(?1)2?1?(0.5)2?1.5?rad/m则波的传播方向单位矢量为

K1en??(?ex??ey??ez0.5?)??ex0.667?ey0.667?ez0.333

k1.5?2）

??2?2??m?1.55mk1.5?

f?vp??3?108Hz?2.25?108Hz1.33324

电磁场作业答案

3）与H相伴的E可由??E?j??E求得，也可直接由下面的关系式求出

E?(H?en)?0?(ex1.5?ey?ez)10?6cos[?t??(?x?y?0.5z)]?(?ex0.667?ey0.667?ez0.333)?377?377?10(?0.333ex?ey1.167?ez1.668)?cos[2??2.25?10t??(?x?y?0.5z)]V/m?68

4）平均坡印廷矢量

11Re[E?H*]?Re[377?10?6(?0.333ex?ey1.167?ez1.668)e?j?(?x?0.5z)?10?622?j?(?x?0.5z)(?ex1.5?ey?ez)e]?188.5?10?12(?2.84ex2.84ey?1.24ez)W/m2Sav?7.12什么是良导体？良导体与理想导体有何不同？

答：当导电媒质满足(?/??)>>1就称为这种媒质为良导体。良导体的电导率?很大但它是一个有限值，而理想导体的电导率?是无穷大值。

7.13什么是衰减常数？什么是相位常数？什么是传播常数？

答：电磁波每前进单位长度，场量的幅值衰减为原有值的e??倍，故称?为衰减常数。表示单位长度上相位的变化，称为相位常数。?和?共同决定电磁波的传播特性。因此，称?,???j?为传播常数。

7.13什么是透入深度？它与衰减常数的关系？

答：透入深度是电磁波从导电媒质表面向其内部传播，衰减为表面值的1/e(?0.368)时所经过

21透入深度d的距离，它与衰减常数的关系是e????1/e故d?1???????f??表示电磁波在导电媒质中衰减的快慢。

7.14海水的电导率??4S/m，相对介电常数?r?81求频率为10kHz，100kHz，1MHz，10MHz，100MHz，lGHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解：先判定海水在各频率下的属性

??48.8?108?????2?f?r?02?f?81?0f

可见，当f≤107Hz时，满足?>>1，海水可视为良导体。此时