第十六章 习题解答

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16-1设某一时刻的横波波形曲线如图16-1(a)所示，水平箭头表示该波的传播方向，试分别用矢量标明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I等质点在该时刻的运动方向，并画出经过T后的波形曲线。

4解：波形曲线表示的是某一时刻波线上所有质点偏离平衡位置的振动位移的分布图。将波形曲线沿波的传播方向平移，就是下一时刻波线上质点偏离平衡位置的位移分布，据此可确定各质点的运动方向，如图16-1（b）所示。将波形曲线图16-1(a)沿波的传播方向平移λ/4就是经过T/4后的波形曲线，如图16-1（c）所示。

习题16-1图

16-3一横波沿绳子传播，其波函数为y?0.20cos?2.5?t??x?（其中各量均采用国际单位制）。

（1）求波的振幅、波速、频率及波长；（2）求绳上质点振动时的最大速度。

解：（1）将已知波函数化成标准形式，并与标准形式对应项比较，即可求出各参量。

x??y?0.20cos?2.5?t??x??0.20cos2??1.25t??

2??x??与波函数标准形式y?Acos2???t??相比较，得

???A?0.20m，??1.25Hz，??2.0m

u????2.0?1.25?2.5(m?s?1)

（2）质点振动时的最大速度

vmax?A??2??A?2?3.14?1.25?0.20?1.57(m?s?1)

16-4一波源作简谐振动，周期为

1s，经平衡位置向正方向运动时，作为100计时起点。设此振动以400m?s?1的速度沿直线传播，求：

（1）该波动沿某波线的方程；

（2）距波源为16m处和20m处质点的振动方程和初相；（3）距波源为15m处和16m处的两质点的相位差。解：（1）由题义可知T?1s，u?400m?s?1。经平衡位置向正方向运动时，100作为波源作简谐振动的计时起点，由旋转矢量法可得????2，波长??uT?4m。

tx??将其带入波动方程的标准形式y?Acos?2?(?)???可得该波动沿某波

T???线的方程为：

??x???y?Acos?2??100t????

4?2???（2）将x1?16m，x2?20m分别代入上面所得波动方程中，可得两处质点的振动方程和初相分别为：

17??21????y16?A16cos?200?t?y?Acos200?t?，2023???22?????16??17?21??，?20??。或均为???，即与波源同步调。22217?16????222（3）距波源为15m处和16m处的两质点的相位差为

???16-5有一波在介质中传播，其波速u?1.0?103m?s?1，振幅A?1.0?10?4m，频率??1.0?103Hz，若介质的密度??8.0?102kg?m?3,求：

（1）该波的能流密度；

（2）1min内垂直通过面积为0.4m2的总能量。解：（1）将已知数据代入波的能流密度表达式I?122?A?u，可得2

I??122?A?u21?8.0?102?(2??1.0?103)2?1.0?10?42?1.58?105(W?m?2)??2?1.0?103

（2）1min内垂直通过面积为0.4m2的总能量为

W?ISt?1.58?105?0.4?60?3.79?106(J)

16-6频率为300Hz、波速为330m·s-1的平面简谐波在直径为16.0㎝的管道中传

播，能流密度为10.0×10-3J·s-1·m-2。求：（1）平均能量密度；（2）最大能量密度；

（3）两相邻同相位波面之间的总能量。

1I解：（1）将已知数据代入波的能量密度表达式w??A2?2?，可得

2u10.0?10?3?3.03?10?5J·m-3（1）w?330（2）wmax?2w?6.06?10?5J·m

?5-3

0.162330??6.70?10?7J。（3）W?w?S???3.03?10??430016-7如下图，两振动方向一致的平面简谐波分别位于A、B点。设它们的相

位一致，频率均为??30Hz，波速u?0.50m·s-1。求点P处两列波的相位差。

习题16－7图

解：相位差的定义及余弦定理可得：

???2?r2?r1?3.0?32?0.072?2?3?0.07cos30??2??4.1?。

0.503016-8如下图，B、C为两个振动方向一致的平面简谐波的波源，其振动表达式分别为y1?0.02cos2?t和y2?0.02cos?2?t???（国际单位制）。若两列波在P点相遇，BP?0.40m，CP?0.50m，波速为0.20m·s-1，求：

（1）两列波在P点的相位差；（2）P点合振动的振幅。

习题16-8图

解：（1）把已知条件代入相位差公式????2??1?2?其中?2??,?1?0，r1?0.40m，r2?0.50m，??1Hz，

r2?r1?

0.20?0.20m，可得

?10.50?0.40?????0?2??0

0.20??u?（2）A1?A2?0.02m，由于两列波在P点的相位差???0，因此在P点合振动加强，由合振动的振幅公式

2A?A12?A2?2A1A2cos??，可得

P点合振动的振幅

A?A1?A2?0.04m

16-9两列波在一根很长的细绳上传播，它们的方程分别为

y1?0.06cos??x?4t?和y2?0.06cos??x?4t?（国际单位制）。

（1）证明这细绳是作驻波式振动，并求波节点和波腹点的位置；

（2）波腹处的振幅多大？在x?1.2m处，振幅多大？解：（1）细绳的合振动为

y?y1?y2?0.06cos??x?4t??0.06cos??x?4t??0.12cos?xcos4?t为驻波方程。

1??波节位置应满足?x??k???,k?0,?1,?2,?，由此解得波节位置

2??1??x??k??,k?0,?1,?2,?

2??波腹位置应满足?x?k?,k?0,?1,?2,?，由此解得波腹位置

x?k,k?0,?1,?2,?

（2）波腹处的振幅等于0.12m；在x?1.2m处，振幅为

0.12cos?x?0.12cos1.2??0.097m

16-10一弦上的驻波方程式为y?0.03cos(。1.6?x)cos(550?t)（国际单位制）（1）若将此驻波看成是由传播方向相反、振幅及波速均一致的两列相干波叠加而成的，求它们的振幅及波速；

（2）求相邻波节之间的距离；

（3）求t?3.0?10?3s时位于x?0.625m处质点的振动速度。解：（1）将y?0.03cos(1.6?x)cos(550?t)与驻波方程y?2Acos比较，得两列相干波的振幅

2??xcos?t相

A?0.032550?1.5?10?2m；波长???1.25m；频率???275Hz；21.62波速u????1.25?275?343.8（m·s-1）（2）相邻波节之间的距离为?x?xk?1?xk??2?1.25?0.625m2（3）t?3.0?10?3s时位于x?0.625m处质点的振动速度为v??2A?cos2??xsin?t

??0.03?550?cos?sin?550??3.0?10?3???46.1m?s?1

16-11在试验室中做驻波试验时，将一根长3m的弦线一端系于电动音叉的一臂上，该音叉在垂直弦线长度的方向上以60Hz的频率作振动，弦线的质量为60×10-3kg。假使要使该弦线产生有四个波腹的