第五章 时间序列的模型识别汇总

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第五章时间序列的模型识别

前面四章我们探讨了时间序列的平稳性问题、可逆性问题，关于线性平稳时间序列模型，引入了自相关系数和偏自相关系数，由此得到ARMA(p,q)统计特性。从本章开始，我们将运用数据开始进行时间序列的建模工作，其工作流程如下：

1.模型识别

用相关图和偏相关图识别模型

形式（确定参数p,q）2.参数估计对初步选取的模型进行参数估计

3.诊断与检验

包括参数的显著性检验和

残差的随机性检验

不可取模型是否可取可取中止

图5.1建立时间序列模型流程图

在ARMA(p,q)的建模过程中，对于阶数(p,q)的确定，是建模中比较重要的步骤，也是比较困难的。需要说明的是，模型的识别和估计过程必然会交织，所以，我们可以先估计一个比我们希望找到的阶数更高的模型，然后决定哪些方面可能被简化。在这里我们使用估计过程去完成一部分模型识别，但是这样得到的模型识别必然是不确切的，而且在模型识别阶段对于有关问题没有确切的公式可以利用，初步识别可以我们提供有关模型类型的试探性的考虑。

对于线性平稳时间序列模型来说，模型的识别问题就是确定ARMA(p,q)过程的阶数，从而判定模型的具体类别，为我们下一步进行模型的参数估计做准备。所采用的基本方法主要是依据样本的自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）初步判定其阶数，假使利用这种方法无法明确判定模型的类别，就需要借助诸如AIC、BIC等信息准则。我们分别给出几种定阶方法，它们分别是（1）利用时间序列的相关特性，这是识别模型的基本理论依据。假使样本的自相关系数（ACF）在滞后q+1阶时突然截断，即在q处截尾，那么我们可以判定该序列为MA(q)序列。同样的道理，假使样本的偏自相关系数（PACF）在p处截尾，那么我们可以判定该序列为AR(p)序列。假使ACF和PACF都不截尾，只是按指数衰减为零，则应判定该序列为ARMA(p,q)序列，此时阶次尚需作进一步的判断；（2）利用数理统计方法检验高阶模型新增加的参数是否近似为零，根据模型参数的置信区间是否含零来确定模型阶次，检验模型残差的相关特性等；（3）利用信息准则，确定一个与模型阶数有关

1

的准则函数，既考虑模型对原始观测值的接近程度，又考虑模型中所含待定参数的个数，最终选取使该函数达到最小值的阶数，常用的该类准则有AIC、BIC、FPE等。实际应用中，往往是几种方法交织使用，然后选择最为适合的阶数(p,q)作为待建模型的阶数。

§5.1自相关和偏自相关系数法

在平稳时间序列分析中，最关键的过程就是利用数据去识别和建模，根据第三章探讨的内容，一个比较直观的方法，就是通过观测自相关系数（ACF）和偏自相关系数（PACF）可以对拟合模型有一个初步的识别，这是由于从理论上说，平稳AR、MA和ARMA模型的ACF和PACF有如下特性：

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型（序列）

自相关系数（ACF）拖尾q阶截尾拖尾偏自相关系数（PACF）p阶截尾拖尾拖尾但是，在实际中ACF和PACF是未知的，对于给定的时间序列观测值x1,x2,,xT，我们

?对其进行估计。然而由于???k?和偏自相关系数??k?和需要使用样本的自相关系数??kk??kk????均是随机变量，对于相应的模型不可能具有严格的“截尾性〞，只能浮现出在某步之后

??的“截尾性〞来判断???和???的??和??围绕零值上、下波动，因此，我们需要借助??kkkkkk?k?和截尾性，进而由此可以给出模型的初步识别。首先，我们需要给出样本的自相关系数???的定义。偏自相关系数?kk设平稳时间序列?Xt?的一个样本x1,??,xT。则样本自协方差系数定义为

1T?k??k???xj?x??xj?k?x?,1?k?T?1Tj?1???k???k,1?k?T?1(5.1)

1T?k?是?Xt?的自协方差系数??k?的估其中x??xj为样本均值，则样本自协方差系数??Tj?1计。样本自相关系数定义为

?k???k??0,k?T?1?是?Xt?的自相关系数??k?的估计。

(5.2)

作为?Xt?的自协方差系数??k?的估计，根据数理统计知识，样本自协方差系数还可以写为

2

1T?k??k???xj?x??xj?k?x?,1?k?T?1

T?kj?1???k???k,1?k?T?1(5.3)

在上述两种估计中，当样本容量T很大，而k的绝对值较小时，上述两种估计值相差不大，其中由(5.1)定义的第一种估计值的绝对值较小。根据前面章节的探讨，由于AR(p)，MA(q)或者ARMA(p,q)模型的自协方差系数??k?都是以负指数阶收敛到零，所以在对平稳时间序列的数据拟合AR(p)，MA(q)或者ARMA(p,q)模型时，希望实际计算的样本自

?k?能以很快的速度收敛。因此，我们一般选择由(5.1)定义的第一种估计值作协方差系数??为??k?的点估计。

?k?的值，定义样本偏自相关根据第三章偏自相关系数的计算，利用样本自相关系数???如下：系数?kk???D??kk?k,k?1,2,?D其中

,T

(5.4)

??D1?1??1?1?k?1??k?2?1??,Dk1?1??1?1?1??2??k?

?k?1??k?2??k?1??k?2??k?的统计性质，我们将在下一章给予探讨。关于样本的自相关系数???也满足Bartlett公式，即当样本容量T充分大时，Quenouille证明，?kk???~N?0,1T??kk这样根据正态分布的性质，我们有

（5.5）

1???（5.6）P?????68.3%kkT??2???（5.7）P?????95.5%kkT??

这样，关于偏自相关系数??kk?的截尾性的判断，转化为利用上述性质（5.6）或者（5.7），

?的截尾性。可以判断?具体方法为对于每一个p>0，考察?p?1,p?1，…，?p?2,p?2，?p?M,p?Mkk??3

??中落入?kk1??2的比例是否占总数M的68.3％或95.5％。或?kkTT?都明显地不为零，而当p?p时，一般地，我们取M?T。假使p?p0之前?0kk?p?1,p?1，?p?2,p?2，…，?p?M,p?M中满足不等式

000000???kk1??2或?kkTT的个数占总数M的68.3％或95.5％，则可以认定??kk?在p0处截尾，由此可以初步判定序列{Xt}为AR(p0)模型。

?k?，由其次章的Bartlett公式，对于q?0，???k?满足对于样本的自相关系数???1?k~N?0,??T?q??2??j???1?2???j?1???（5.8）

?k?也满足进一步地，当样本容量T充分大时，???k~N?0,1T??

（5.9）

?q?1，??q?2，…，??q?M中落入类似于（5.6）或者（5.7）式，对于每一个q?0，检查??k??12?k?或者?中的比例是否占总数M的68.3％或95.5％左右。假使在q0之前，

TT000?k都明显不为零，而当q?q0时，??q?1，??q?2，…，??q?M中满足上述不等式的个数达?到比例，则判断??k?在q0处截尾。初步认为序列{Xt}为MA(q0)模型。

?，得到ARMA模型?k?和偏自相关系数?至此，我们可以利用样本的自相关系数??kk阶数的初步判定方法。具体做法如下：

???k?在最初的q阶明显的大于2倍标准差范围，即21(1)假使样本自相关系数???T，而

??k都落在2倍标准差范围之内，并且由非零样本自相关后几乎95%的样本自相关系数?系数衰减为在零附近小值波动的过程十分突然，这时寻常视为自相关系数??k?截尾，既可以初步判定相应的时间序列为MA(q)模型

?假使满足上述性质，则可以初步判定相应的时间序列为(2)同样，样本偏自相关系数?kk

4

??

AR(p)模型。

?，假使均有超过5%的值落入2倍?k?和样本偏自相关系数?(3)对于样本自相关系数??kk标准差范围之外，或者由非零样本自相关系数和样本偏自相关系数衰减为在零附近小值

波动的过程十分缓慢，这时都视为不戴尾的，我们将初步判定时间序列为ARMA模型，那么这样的判断往往会失效，由于这时ARMA(p,q)模型的阶数p和q很难确定。总之，基于样本自相关和偏自相关系数的定阶法只是一种初步定阶方法，可在建模开始时加以粗略地估计。

例5.1绿头苍蝇数据的时间序列。具有均衡性别比例数目固定的成年绿头苍蝇保存在一个盒子中，每天给一定数量的食物，每天对绿头苍蝇的总体计数，共得到T=82个观测值。经过平稳性处理后计算其基于样本自相关和偏自相关系数，见表5.1

表5.1绿头苍蝇的样本ACF和PACF

样本自相关系数样本偏自相关系数??k?k?k??kk0.73-0.09-0.040.04-0.0