第六章习题与复习题（二次型）

本文格式为Word版，下载可任意编辑——第六章习题与复习题（二次型）习题6.1

1．写出以下二次型的矩阵.

222（1）f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?x1x2?x1x3?x2x3

（2）f(x1,x2,x3,x4)?x1x2?x2x3

?135??T?（3）f(x1,x2,x3,x4)?X?246?X

?785???2．将二次型

22f(x1,x2,x3)?x12?3x2?2x3?8x1x2?10x2x3

表成矩阵形式，并求该二次型的秩.

3．设

?a1?A=?0?0?0a200??0?，B=a3??T?a2??0?0?0a300??0?a1??证明A与B合同，并求可逆矩阵C，使得B=CAC．

4．假使n阶实对称矩阵A与B合同，C与D合同，证明?

?AO??BO??与??合同.

?OC??OD?习题6.2

1．用正交变换法化以下实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.

222（1）f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3

2222．已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2cx1x2?2x2x3的秩为2.

(1)求c;

(2)求一正交变换化二次型为标准形.

223．已知二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?2ax1x2?4x1x3?8x2x3经正交变换化为标准形

1

22f?y12?6y2?by3,求a,b的值与所用正交变换.

?x????????4.已知二次曲面方程x2?ay2?z2?2bxy?2xy?2yz?4可经正交变换?y??Q???化为椭圆柱面?z????????方程?2?4?2?4,求a,b的值与正交矩阵Q.

5．用配方法化以下二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.

222（1）f(x1,x2,x3)?x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?8x2x3

6．在二次型f（x1，x2，x3）=(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2中，令

?y1?x1?x2??y2?x2?x3?y?x?x31?3222得f=y1可否由此认定上式为原二次型f的标准形且原二次型的秩为3？为?y2?y3什么？若结论是否定的，请你将f化为标准形并确定f的秩.

7．判断矩阵A???01??11?与B????是否合同.

?12??13?习题6.3

1．判定以下实二次型的正定性.

222（1）f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?4x3?4x1x2?2x2x3222（2）f(x1,x2,x3)??2x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

（3）f(x1,x2,x3)?x1x2?5x1x3?x2x3（4）

2222．a为何值时，实二次型f(x1,x2,x3)?x1?(2?a)x2?ax3?2x1x2?2x1x3?x2x3是正定

?xi?1n2i?1?i?j?n?xxij

的.

2

?101???3.设矩阵A??020?,B?(kE?A)2,其中k为实数.?101???（1）求对角阵?，使B与?相像；（2）求参数k的值，使B为正定矩阵.习题六(A)

一、填空题

2221．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?3x3?2x1x2?4x1x3?6x2x3的矩阵为.2．二次型f(x1,x2,x3)?(ax1?bx2?cx3)2的矩阵为.

?12?4???1?4?，则该二次型为.3．已知二次型的矩阵为?2??4?47???

4．二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为.

2225．化二次型f(x1,x2,x3)?x1为规范形，所用的可逆线性变换矩阵为.?4x2?3x36．二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?x1x3?x2x3的规范形为.

?100?7．已知实对称矩阵A与矩阵?0?12?合同，则二次型XTAX的规范形为.

???022???

2228．已知f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?ax2x3正定，则a=.2229．当t满足,f(x1,x2,x3)??x1?4x2?2x3?4tx1x2?2x1x3是负定的.22210．已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?ax2?x3?2x1x2?2ax1x3?2x2x3

的正、负惯性指数均为1，则a=.

二、单项选择题

2221.已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2,则

a=().

3

(A)0(B)1(C)2(D)3

?100???2.设A??020?,则以下矩阵中与A合同的矩阵是().

?00?5?????100???(A)?010?(B)

?001???0??20??(C)?0?10?(D)

?00?5?????100???0?20???00?1????200????010??003???

3.假使n元二次型f?XTAX（其中AT?A）可经可逆线性变换X?CY化为f?YBY,则以下结论不正确的是（）.T(A)A与B合同(B)A与B等价(C)A与B相像(D)A与B的秩相等4.设A,B都是正定阵,则().

(A)AB,A+B一定都是正定阵(B)AB是正定阵,A+B不是正定阵(C)AB不一定是正定阵,A+B是正定阵(D)AB,A+B都不是正定阵5.以下条件不能保证n阶实对称矩阵A为正定的是().(A)A正定

(B)二次型f=XTAX的负惯性指数为零(C)二次型f=XTAX的正惯性指数为n(D)A合同于单位矩阵

?16.二次型f(x1,x2,x3)?(x1?ax2?2x3)2?(2x2?3x3)2?(x1?3x2?ax3)2正定的充要条件是().(A)a??1(B)a??1(C)a?1(D)a?17.已知实对称矩阵A满足A2-5A+6E=O,则A().

(A)正定(B)半正定(C)负定(D)不定

2228.已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?2ax1x2?4x1x3?8x2x3经正交变换化为22,则a=().f?2y12?2y2?7y3

(A)1(B)?1(C)2(D)?29.以下矩阵合同于单位矩阵的是().

4

?121???(A)?242?(B)

?363????121???(C)?271?(D)

?118????10?1???040????10?1?????2?12????134???244????2?1?1??1?????110.设矩阵A???12?1?与矩阵B???，则A与B().

??1?12??0?????(A)合同且相像(B)合同但不相像

(C)不合同但相像(D)既不合同也不相像

(B)

?220???1．已知B??820?相像于对角阵.

?0a6???（1）求a的值；

（2）求正交变换使二次型XTBX为标准形.

222.已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2.(1)求c和二次型矩阵的特征值;(2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示哪种二次曲面.

3.已知实二次型f=XTAX中矩阵A的特征值为1，2，5，A属于特征值1与2的特征向量分别为?1?(0,1,?1),?2?(1,0,0),求该二次型.4．设二次型f(x1,x2,x3)经正交变换

TT1?x?(2y1?2y2?y3)1?3?1??x2?(?2y1?y2?2y3)

3?1?x??33(y1?2y2?2y3)?22化为了标准形f?4y12?y2?2y3,求该二次型。5．设A是n阶对称矩阵，假使对任一n维向量X，都有f=XTAX=0,证明A=O.

6．设f=XAX为n元实二次型，?与?分别为其矩阵A的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n维向量X，总有?XX≤XAX≤?XX．

5

TTT