高等数学A（下）复习题（同济第六版）

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高等数学A(下)期末复习题

一、选择题

1.设函数z?f(x,y)?xy，则以下各式中正确的是（）22x?yA.f(x,)?f(x,y)B.f(x?y,x?y)?f(x,y)C.f(y,x)?f(x,y)D.f(x,?y)?f(x,y)2．设f(x,y)?ln(x?A.2ln(x?yxx2?y2)，其中x?y?0，则f(x?y,x?y)?（）。

1y)B.ln(x?y)C.(lnx?lny)D.2ln(x?y)

2yx223.若f(x?y,)?x?y,则f(?1,2)?（）。

A.

11B.?C.3D.?3334．设f(x,y)?11xf(,)?（），则22xyx?yxyxy2x2yx2y2A.2B.2C.2D.22222x?yx?yx?yx?y(xy?1)2?（）.5.Lim(x,y)?(0,0)xA.0B.1C.?D.不存在6．极限limx?0y?0x2?y21?x?y?122＝（）。

A.-2B.2C.不存在D.0

x2y27.二重极限lim4的值（）.

x?0x?y4y?0A.0B.1C.

1D.不存在28.f(x,y)?ln(xy2)?1?x?y的定义域是（）.

A.{(x,y)|x?y?1}B.{(x,y)|0?x?y?1}

C.{(x,y)|0?x,x?y?1}D.{(x,y)|0?x,0?y,x?y?1}9．函数z?14?x2?y2?x2?y2?1的定义域是（）

A.{(x,y)|1?x2?y2?4}B.{(x,y)|1?x2?y2?4}C.{(x,y)|1?x2?y2?4}D.{(x,y)|1?x2?y2?4}10.设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1，则fy?(3,2)?（）

A.39B.40C.41D.4211．设z?x2y?exy，则

?z?y(1,2)?（）

2A.1?eB.1?eC.1?2eD.1?2e

12.设z?exy，则

222?z|(1,2)?（）?x2A.4eB.4eC.2eD.2e13.f(x,y,z)?A.?x2?y2?z2，则梯度gradf(1,1,?3)的值为（）．

111；B.?1,2,?2?；C.?22?1?11,111,?3??；D.011?14．f(x,y)?2?x?y的极值点是（）A.（1，－1）B.（1，1）C.（0，0）D.（0，2）

15．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的()。A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

16、函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：A.必要而非充分条件；B.充分而非必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件。

17．设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且fx?(x0,y0)?0,fy?(x0,y0)?0，

fxx??(x0,y0)?0,fyy??(x0,y0)?0，则函数f(x,y)在(x0,y0)处（）.

A.必有极值，可能是极大，也可能是微小B.可能有极值，也可能无极值

C.必有极大值D.必有微小值18．设f(x,y)?xy,则f(x,y)在(0,0)点处().

A.连续但偏导数不存在B.不连续也不存在偏导数C.连续且偏导数存在D.不连续但偏导数存在

?xy,(x,y)?(0,0)?19.二元函数f(x,y)??x2?y2在点（0,0）处（）

?(x,y)?(0,0)?0,A.连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在

C.不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在

220.设z?f(x,y)?cos(xy)，则f'')?（）xx(1,2?A.

??B.?C.?D.??

22xy21．设z?e，则dz＝()。

A.edxB.exy(ydx?xdy)C.ydx?xdyD.exy(dx?dy)

xy?2z22．设二元函数z?ecosy，则?（）

?x?yxA.exsinyB.ex?exsinyC.?excosyD.?exsiny

?2z23.设z?cos(xy)，则2＝（）

?y2A.xsin(xy)B.?xsin(xy)C.xcos(xy)D.?xcos(xy)24．以下说法正确的是()A.偏导数存在是该点连续的充分条件C.偏导数存在是该点可微的必要条件

2222224242B.偏导数存在是该点可微的充要条件D.偏导数连续是该点可微的充要条件

25．函数u?8xy?2y?4x?6z在原点沿向量a?{2，3，1}方向的方向导数为（）。A.?814B.

228144C.

314D.?314

??u26．函数u?x?y?z?3xy在点M(1,1,1)处沿l?{1,2,2}方向的方向导数

?l（）A.

M为

531B.C.{1,2,2}D.{?1,4,2}353

?27．函数u?8xy?2y?4x?6z在原点沿向量a?{2,3,1}方向的方向导数为（）

22A.?83314B.

814C.

14D.?14

28．函数z?2x2?y2在点P(1,1)处的梯度方向的方向导数等于（）A.5B.?5C.25D.?2529.设z?ex?2y,x?sint,y?t3，则dzdt?（）。A.esint?2t3(cost?6t2)B.z?esint?2t3(cost?3t2)

C.esint?2t3(?cost?6t2)；D.z?esint?2t3(cost?3t2)。30．设f(xy,x?y)?x2?y2，则f'x(x,y)?f'y(x,y)?()A.2?2yB.2?2yC.2x?2yD.2x?2y

31．设z?f(x,y,x),f可微，则

?zy?y?()

A.f2?B.?xy2f3?C.f2??xy2f3?D.f2??xy2f3?32.设z?exy，则?2z?x?y＝（）。

A.exy(1?xy)B.exy(1?y)C.exy(1?x)D.exy?xy

33．设f(r)具有二阶连续导函数，而r?x2?y2,u?f(r)，则?2u?2u?x2??y2=（A.f??(r)B.f??(r)?1rf?(r)C.f??(r)?1rf?(r)D.r2f??(r)34.设f(x,y)?ln(x?2y3x)，则fy?(1,0)?（）A.

23B.32C.1D.035.设D:x2?y2?1,则

??xdxdy＝（）.

DA.?B.1C.0D.2?36．设域D：x2

+y2

≤1,f是域D上的连续函数，则

??f(x2?y2)dxdy?()

D

）。

A.2??rf(r)drB.4??rf(r)drC.2??001110f(r)drD.4??rf(r)dr

02r37．设积分区域D?{(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0}，则A.2?B.?C.38．设D是矩形域0?x???d?＝()。

D??D.24π，?1?y?1，则??xcos(2xy)dxdy的值为().4DA.0B.?111C.D.24239、设积分区域D是圆环1?x2?y2?4，则二重积分A.C.

??Dx2?y2dxdy?（）

??2?02?d??r2drB.?142?02?d??rdr

140d??rdrD.?1220d??rdr

1240．设I1???(x?y)D2其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?1}，d?,I2???(x?y)3d?，

D则（）

A.I1?I2B.I1?I2C.I1?I2D.无法比较

2241．设D:x?y?1,则?ye??xdxdy＝（）.D2A.?(1?e)B.?(1?)C.0D.?(1?)42．设D由x?0,y?1,y?x围成，则

A.D.

1e1e??f(x,y)dxdy?（）

D?1010ydy?f(x,y)dx01B.

?1?x10dx?f(x,y)dy0xC.

?10dy?f(x,y)dx

y1?dy?f(x,y)dx

043．交换二次积分顺序后，A.C.

?10dx?0f(x,y)dy=（）。

11?x001?y?10dy?f(x,y)dxB.?dy?01f(x,y)dxf(x,y)dx

dxdydz化为三次积22????x?y?1?1-x0dy?f(x,y)dxD.?dy?001102244.设?是平面z?1与旋转抛物面x?y?z所围区域，则

分等于（）A.

?2?0d??12?11rrdrdzd?drB.?r2?0?r21?r2?0dz01?r21

?111rrdr?2dzD.?d??2dr?dzC.?d??001?r2r??r1?r2045．设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，其中D是由y?0,y?x2,x?1?1D所围区域，则f(x,y)＝()A.xyB.2xyC.xy?1D.xy?1846．设f(x,y)在D:x2?y2?1,y?0连续，则A.

??f(x,y)d??（）

D1-x201?x21?x2?2?0d??f(rcos?,rsin?)rdrB.?dx?01101f(x,y)dy

f(x,y)dy

C.

??0d??f(rcos?,rsin?)rdrD.??1dx??0147.若区域D为(x,y)|x?1，y?1,则

－1

????xeDDcos(xy)。sin(xy)dxdy＝（）

A.eB.eC.0D.π48.设D由x?0,y?1,y?x围成，则A.

C.

??f(x,y)dxdy?().

1x00?10dy?f(x,y)dxB.?dx?f(x,y)dy

01?10dy?f(x,y)dxD.?dy?f(x,y)dx

y0011y49．设f(x,y)为连续函数，则积分

?dx?01x20f(x,y)dy??dx?11x222?x0f(x,y)dy

22?x可交换积分次序为()A．C.

?101dy?f(x,y)dx??dy?01y22?y0f(x,y)dxB.?dy?f(x,y)dx??dy?00112?x0x0f(x,y)dx

?0dy?2?yyf(x,y)dxD.?dy?2f(x,y)dx

50.交换二次积分顺序后，A.C.

?10dx?1?x0f(x,y)dy=（）

11?x00?10dy?f(x,y)dxB.?dy?011001f(x,y)dxf(x,y)dx

?1-x0dy?f(x,y)dxD.?dy?1?y051．在公式

?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1?(xe??D2ni中?是指（）

A.最大小区间长度B.小区域最大面积C.小区域直径D.小区域最大直径

2252.设D:x?y?1,则?y2)dxdy＝（）.

A.?(1?e)B.?(1?)C.?(e?1)D.?(1?)

1e1e

x2y2253．设L表示椭圆2?2?1，方向逆时针，则?(x?y)dx?（）

LabA.πabB.-πabC.a?bD.054.设L是y=4x从(0,0)到(1,2)的一段，则

22

22?yds?（）

LA.

?0x1?4xdxB.?22023y2x2y1?dyC.?x1?dxD.?1?4y2dy

004455.设L是从点A（1，0）到点B（-1，2）的弧段，则曲线积分A.2B.22C.2D.0

222256．设?为球面x?y?z?a（a?0），则

?L(x?y)ds=（）

1dS的值为（）。??222x?y?z?4πaD.4π322257.设S是球面x2?y2?z2?R2，则曲面积分??(x?y?z)dS?（）

A.2πB.3πC.

SA.?RB.2?RC.4?RD.6?R58.设L是从点(0,0)到点(2,1)的直线段，则

4444?L2yds?()。

A.5B.

510C.10D.2259．用格林公式求由曲线C所围成区域D的面积A，则A=()

A.C.

?Cxdy?ydx

B.D.

?Cydx?xdy

1xdy?ydx2?CL1ydx?xdy2?C60.已知曲线积分

?F(x,y)(ydx?xdy)与积分路径无关，则F(x,y)必满足条件（）

A.xFy?yFxB.xFy?yFx?0C.xFx?yFyD.xFx?yFy61.设L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段，则

?(x?y)ds?().

LA.2B.1C.2D.362.设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则以下等式正确的是（）A.

11xdx?1xdy?1yds??ydy??B.C.D.???L?LLL22

63.若曲线积分

A.??L(x2?3y)dx?(ax?sin2y)dy与路径无关，则常数a?（）。

11B.?3C.D.333x2y2264．设L表示椭圆2?2?1，方向逆时针，则?(x?y)dx?（）

LabA.?abB.??abC.a?bD.065．设L是从点A(1,0)到点B(-1,2)的有向弧段，则曲线积分

22?(x?y)ds?()。

LA.2B.22C.2D.066．曲线弧A.C.

上的曲线积分和

上的曲线积分有关系()

??ABf(x,y)ds???f(x,y)dsB.?BABAABf(x,y)ds??f(x,y)ds

BABAABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds?0D.?f(x,y)ds??f(?x,?y)ds

AB67．设I?()A.C.

????zdv，其中??{(x,y,z,)x2?y2?z2?1,z?0}，经球坐标变换后，I?

?2??00d??2d??r3sin?cos?drB.?d??d??r2sin?dr

012??1000?2?0d??d??rsin?cos?drD.?d??2d??r3sin?cos?dr

3000002

?12??1

68.设L是y=4x从(0,0)到(1,2)的一段，则

222?Lyds?（）

A.

?0x1?4x2dxB.?101x2?y?y1???dyC.?x1?dx

04?2?D.

?01?4y2dy

22?yx?P?Qy?x69．设I???cx2?y2dx?x2?y2dy,，由于?y??x?(x2?y2)2，所以（）

A.对任意闭曲线C，I?0;

B.在曲线C不围住原点时，I?0；?PC.因与?Q在原点不存在，故对任意的闭曲线C，I?0；

?x?yD.在闭曲线C围住原点时I=0，不围住原点时I?0。70.级数

??(?1)nn?11。(p?0)的敛散状况是（）pn

A.p?1时绝对收敛，p?1时条件收敛B.p?1时绝对收敛，p?1时条件收敛C.p?1时发散，p?1时收敛D.对任何p?0，级数绝对收敛

71．当|x|?1时，幂级数

?(?1)n?0?n。x3n?1的和函数为（）

A.

xxxx??B.C.D.

1?x31?x31?x31?x372．级数

?(?1)nn?1?1n?12（）

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定73.若级数

?un?1?n收敛，则级数

?(?1)n?1?nun（）

A.收敛但不绝对收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定74．以下幂级数中收敛区间为??1,1?的是（）

???1n1n(?1)nnA.?2xB.?xC.?xD.?xn

nn?1nn?1nn?1n?1?75.以下级数中条件收敛的是（）

???nnn1n1A.???1?；B.???1?n；C.???1?2；D.???1?

n?1nnn?1n?1n?1n?1n???76．已知级数

2收敛，则对于级数aa?n?n，以下说法正确的是（）n?1n?1A.必定收敛B.必定发散C.条件收敛D.可能收敛，也可能发散77.若无穷级数

?nn?1?1a?1收敛，则a满足（）。

A.a?0B.a?0C.a?1D.a?1

78．以下级数中发散的是（）

3n?2nA.?2B.?5nn?12n?1n?1?1??11nC.?D.(?)?22nn?1100n?11?n?1?(?1)nn79.设级数?(?1)(),则该级数().

nn?1?nA.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不确定

80．以下说法正确的是（）

A.若

?un?1??n发散，则必有limun?0B.若limun?0，则

n??n???un?1?n必收敛

C.若

?un?1?n收敛，则必有limun?0D.

n???un?1?n的敛散性与limun?0无关

n??81.以下级数中收敛级数是（）

???1n15?2nA.?B.C.D.(1?)???22nn3n?12n?1n?11?nn?1n?182.以下级数条件收敛的是（）

???n1nn1n1A.?(?1)B.?(?1)C.?(?1)D.?(?1)21?nn(1?n)nnn?1n?1n?1n?1n??2n?n!3n?n!83．设级数?（1）与级数?（2），则（）nnnnn?1n?1?A.级数（1）（2）都收敛B.级数（1）（2）都发散

C.级数（1）发散，级数（2）收敛D.级数（1）收敛，级数（2）发散

?xnn(?1)84.幂级数?2n?3的收敛区间为（）n?01)B.??1,1C.?1,1?D.?1,1A.(?1,85．设k是非零常数，则

?????n?0?(?1)nk1?n2（）

A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与k有关

86.微分方程y???(y?)?1满足初始条件y|x?0?0,y?|x?0?1的特解为（）

222A.y?xB.y?x?xC.y?2x?xD.y?3x?x

287.微分方程y???22yy??2?0满足初始条件y|x?0?0,xxy?|x?0?1的特解为（）

222A.y?xB.y?x?xC.y?2x?xD.y?3x?x

4x*88.在微分方程y''?8y'?16y?(1?x)e中用待定系数法可设其特解y?（）A.(ax?b)eB.x(ax?b)eC.x(ax?b)eD.(ax?bx?c)e89.微分方程y?y???(y?)的通解为（）.

cxx?xA.y?c2e1B.y?cC.y?eD.y?ce

24x4x24x24x

90.微分方程xy???yy??1?0的通解为（）A.y?cx?1B.y?cx?112C.y?cx2?1D.y?cx?cc91.微分方程y???sinx的通解y?（）

A.?sinx?C1x?C2B.?sinx?C1?C2C.sinx?C1?C2D.sinx?C1x?C292.微分方程y???2y??e?2xcosx的特解形式为().e?2x(acosx?bsinx)B.xe?2x(acosx?bsinx)C.ae?2xcosxD.axe?2xcosx

93.函数y?C?sinx（C为任意常数）是微分方程d2ydx2?sinx的（）A.通解B.特解C.不是解D.既不是通解也不是特解94．以下方程中，哪个不是二阶微分方程()。

A.xy?2?2yy??x?0B.x2y???xy??y?0

C.Ld2Qdt2?RdQdt?1CQ?0D.y???3y?095．微分方程y??yx?0满足y(2)?1的特解是（）．A.y?42x?2x2B.y?xC.y?eD.y?log2x

96．以下微分方程中，（）是线性微分方程。

A.y??x?2y?lnx?y2?0B.y??x2?xy?ey；

C.y???ex?ysinx?lnxD.y?y?xy???cosx

97．设二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y?c?x1?c2e，则对应的微分方程为()

A.y???y??0B.y???y?0C.y???y??0D.y???y?098．已知一个二阶线性齐次微分方程的特征根r1?r2??2，则这个微分方程是（A.y???2y??y?0B.y???2y??y?0C.y???22y??2y?0D.y???22y??2y?099．以下方程中，不是微分方程的是（）.

）；A.

?d2y?yy?A.dy?3xdx?0B.sin?C.e?sin(xy)D.y????y???y??1?e?dx2???2100．以下函数组在其定义区间内线性相关的是().

A.cos2x,sin2xB.ex,e2xC.sinxcosx,2sin2xD.x,x3

***101．设y1是y???py??qy?f(x)的三个特解，则（）是相应齐次方程的解.,y2,y3***********A.y1B.3y1C.y1D.?y1?y2?y2?y3?y2?2y3?2y2?y3

二、填空题

1．函数z?ye2x在点（0,1）处沿向量{?1212,1212}方向的方向导数为。

2.函数z?ye2x在点（0,1）处沿向量{?,}方向的方向导数为.3．函数f(x,y)?x2?xy?y2在点（1,1）处方向导数的最大值为.??u4．函数u?x?y?z?3xy在点M(1,1,1)处沿l?{1,2,2}的方向导数

?l224M?。

5．函数z?x2?y2在点（1,2）处沿从点A（1,2）到点B（2,2＋3）的方向的方向导数等于。

6．曲线x?e,y?2t,z??e222t?3t在对应于t?0点处的切线方程为。

7．曲面z?4?x?y在点处的切平面平行于平面2x+2y+z=0.8.曲面z?e?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为。

29．函数u?2xy?z在点(2,?1,1)处沿方向角为??x?3,???4,???3的方向导数

为。

10.设z?x,则全微分dz?.211．设z?ln(xy)，则dz?。

yy12.z?(sinx),则全微分dz=.z13．设z?e?xy，则全微分dz?。

14．设f(x,y)?(sin2x)cos2y，则df(x,y)?。

dz?.dt?z?；16．已知方程z3?2xz?3y?0确定隐函数z?z(x,y)，则?x15．设z?ex?2y，而x?sint，y?t3，则

17．设z?sin(3x?y)?y，则

?z?xx?2y?1?。

y?2u18．设u?xy?，则=。

x?x?y19．设z?yx2?y2，则

?z?。?y?z?。?y20．设方程x?2y?3z?2xyz确定z?f(x,y)，则21.设z?e?xy，则

z?z=.?y22.limsinxy?.

x?0xy?2xy2?xy?4=

23．极限limx?0y?02224．若函数f(x,y)?x?2xy?3y?ax?by?6在点(1,?1)处取得极值，则常数

a?______,b?_______。

25.若函数z?2x?2y?3xy?ax?by?c在点(-2,3)处取得微小值－3，则常数a,b,c之积abc=.26.梯度grad(221)＝.22x?y27．设f(x,y)???(1,2)=.x2?y2，则fxy?228．设f(x,y)?ln(x?y)，则fxy(1,2)?。

29.设z?xf(x?ye),f(u)可微，则

x?z?.?x

30．设z?yln(xy2)，则

?z?y(1,2)?。

?2u31．设函数u?x,则?。

?x?yyz32.z?f(x,y,),f可微，则

2xxy?z?。?y34．设f(x,y)?e?2y，则f'x(1,0)?。3x35、已知方程

?zxx?ln确定隐函数z?z(x,y)，则?。

?xyz36．函数z?x2?y3?2xy?y?2的驻点是。37．交换二次积分

?10dx?2f(x,y)dy的次序得.

xx38．交换积分顺序后，39．改变二次积分40．变换

?10dx?1xf(x,y)dy?。

?42dy?f(x,y)dx的积分次序为。

y4?10dx?1?x2?1?x2f(x,y)dy的积分次序后为.

41．交换二次积分的次序42.交换二次积分

?20?dx?1cosxf(x,y)dy?；

22?x10?10dx?f(x,y)dy??dx?0xf(x,y)dy的次序得.43.设D为矩形0?x?1,?1?y?1，则二重积分3dxdy?.D??44．设D为?(x,y)|0?x?1，0?y?2x?,则

??(1?x)dxdy=。

D45．?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成闭区域，则46．设D：x?y?2x,则

2222???2dxdydz????ydxdy?=.

D247．设?为球体x?y?z?1的第一卦限部分，则为.

???f(x,y,z)dv化成三次积分

?48．设?为立体0?x?1,?1?y?1，0?z?2，则三重积分

???(1?x)dxdydz?.

?49．设平面薄片占有平面区域D，其上点(x,y)处的面密度为?(x,y)，假使?(x,y)在D上连续，则薄片的质量M=。

50．设

f(x,y)为连续函数，则交换积分次序后二次积分

?10dy?f(x,y)dx?。

y1?ln(1?x2?y2)51.f(x,y)???AA=。

x2?y2?1/2，要使f(x,y)四处连续，则22x?y?1/252.设L为从点A（0，0）到点B（2，1）的直线，则

?Lyds=.53．设L是xOy平面上点A(0,0)到点B(1,2)的直线，方向是从A到B,则

?L(1?y)dy=。

54．设L为从点A(0,0)到点B(2,1)的直线，则55．设L为y??Lyds=。

x上从点(1,1)到（0，0）的曲线弧，则?L(x?1)dy?。

56.设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则57.设L为圆周x?y?4，方向为顺时针，则

22?Lyds?___________________。

?ydx?2xdy?。

L58．设L为三顶点分别为（0，0），（3，0），（3，2）的三角形边界正向，则

??(2x?y?4)dx?(5y?L3x?6)dy_________________.＝

1dS的值为.??222?x?y?z222259.设?为球面x?y?z?a（a?0），则

60．设曲面方程z?f(x,y)，其在xoy平面上的投影为D，则求该曲面的面积公式为；

61．设?为立体0?z?x2?y2,?1?x2?y?1?x2,?1?x?1，则

???dxdydz?.

?62.设P(x,y)、Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数，则曲线积分

?

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关和

及是相互等价的。

2263.由旋转抛物面z?1?x?y与z?0所围封闭立体的体积为.

64．设曲线段的参数方程为x=φ(t),y=ψ(t),其中α≤t≤β。假使曲线段上的点(x,y)处

线密度函数为ρ(x,y)，则曲线段的质量的计算公式为.65．设L是点(0,?)到点(?,0)的直线段，则

?Lsinydx?sinxdy?_________。

66．设L是从A(1,?1)沿y2?x到B(1,1)的弧段，则

?Lx2ydx?；

67.设?为立体0?x?1,?1?y?1，0?z?2，则三重积分68.变换

???(1?x)dxdydz???10dx?1?x2?1?x2f(x,y)dy的积分次序后为..69.设?是平面z?1与旋转抛物面x2?y2?z所围区域，为.

70．设积分区域?:x2?y2?4,1?z?5，则

积分为；

71．设f(x,y)是连续函数，则二次积分为。

???f(x,y,z)dv化成三次积分

?????10f(x2?y2)dv在柱面坐标系下的三次

?dy?yyf(x,y)dx交换积分次序后

72．已知有界闭区域D的边界是光滑曲线L，L的方向为D的正向，则用其次型曲线积分

写出区域D的面积公式。73．格林公式

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???(D?Q?P?)dxdy成立的条件是?x?y。74．幂级数

n2nx的收敛半径为。?n3n?0?75.设幂级数

?an?0n?1?nx的收敛半径是4，则幂级数?anx2n?1的收敛半径是.nn?0?76．级数

?nxn?1?的和函数S(x)?。

77．幂级数

?(?1)nn?0??1n的收敛区间为。xn(n?2)?2n78．假使幂级数一定收敛。79.f(x)??a?x?1?nn?0的收敛半径是1，则级数在最大的一个开区间内

1展开成(x?1)的幂级数为。3?x

80.级数

?n(n?1)是收敛的，其和为.

n?1?181．级数

3的和为。?n2n?1n?1的和函数S(x)?.nx?n?1??82．幂级数

83．将函数f(x)??1展开成关于x的幂级数为_________________________。4?x84.幂级数

1?xn的收敛半径为.?nn?1n?3?(x?1)n85．幂级数?的收敛区间为。nn?1n?386.级数

2的和为。?n3n?1?n?xn87.幂级数???1?的收敛域为。

nn?188．级数

?(?1)nn?1?1是（发散，条件收敛，绝对收敛）的。

2n?10089.微分方程y???4y??5y?0满足初始条件y|x?0?0,y?|x?0?6的特解90.微分方程y???y??2y?0的通解是.91.微分方程y???y?0的通解为.

92.微分方程y??6y?2的通解为.93.微分方程xy??ylny?0的通解为。94．方程(y?1)95.微分方程e2dy?x3?0的通解为。dxx?ydx?dy?0的通解为。

2296．微分方程y??xy?x的通解为.

97．微分方程1?x2y??1?y2的通解为________________。

98．非齐次微分方程y???5y'?6y?xe2x，它的一个特解应设为。99．设二阶常系数齐次线性微分方程的通解为y?c1?c2e?x，则对应的微分方程为。

100．微分方程ylnxdx?xlnydy满足yx?1?1的特解是_____________。

101．方程y??ex?y的通解为102.方程cosydx?(1?e?x)sinydy?0满足初始条件y|x?0?

三、解答题

1．求曲线x?t?sint,y?1?cost,z?4sin程。

2.求椭球面x2?2y2?z2?1上平行于平面x?y?2z?0的切平面方程。3.求曲面x2?4y2?2z2?6上点(2,2,3)处的切平面方程与法线方程。4．求曲线x=2t+7t,y=4t-2,z=5t+4t在点(-5,-6,1)处的切线及法平面方程。5.求曲线x?2t2?7t,y?4t?2,z?5t2?4t在点(?5,?6,1)处的切线及法平面方程。6.在椭圆抛物面z?x?22

2

?4的特解__________。

t?在对应于t?点处的切线方程及法平面方2212y?1上求一点，使该点的切平面与平面2x?y?z?0平行，4?u?l。

并求该点的切平面及法线方程。

7.求函数u?x2?y2?3xy在点M(1,?2)处沿其梯度方向l的方向导数

M?8.求z?ln(x?y)在点M(3,4)处沿向量l??1,0?的方向导数.

229.设z?xf(ye),f(u)可微，求

x?z?z,。?x?y?z?z,。?x?y10．设z?z(x,y)是由方程F(y?x,yz)?0所确定的隐函数，其中F可微，求

?2z?2z11.设z?ln(x?x?y)，求2，。

?x?x?y2212．设z?(y?3x)sinx，求

?z?z,。?x?yx?y?2z13.设z?arctg，求

1?xy?x?y

?2z14．设方程z?3xyz?a确定z?f(x,y)，求

?x?y33?2z15．设方程x?z?2ye确定z?f(x,y)，试求。

?x?y22216.设方程x3?y3?z3?xyz?6?0确定z?f(x,y)，求

?z?z,。?x?y?2z?2z17.设z?f(x?y)，其中f具有二阶导数，求2,。

?x?x?y32?2z18.设z?(lnx)，求。

?x?yy?2z19.设z?，求。

22?x?yx?y1?z?2z20．设z?f(u,x,y),u?xe，其中f具有连续的二阶偏导数，求。,?x?x?yy?2z21.设方程z?3xyz确定z?f(x,y)，求

?x?y3y?z?2z22.设z?f(xy,),求。,x?x?x?y2?z?z?2z23.已知方程x?y?z?e确定二元隐函数z?z(x,y)，试求。,,?x?y?x?y2z24、设z?sinx?F(siny?sinx)，其中F(u)可导，试求

?z?zcosy?sinx。?x?y25.设z?xy?xF(u)而u?y?z?z?y。，F(u)为可导函数，试求xx?x?y?2z26.求由方程xy?yz?zx?1所确定的函数z(x,y)的偏导数。

?x?y?2z27.设z?f(xy,xy),f(u,v)具有二阶连续偏导，求

?x?y22?z?2z,28.设z?f(x?y,2xy)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求。?x?x222

29、设z?f(x,y)由方程?(cx?az,cy?bz,cz)?0确定，求

?z?z,。?x?y30.设方程cos2x?cos2y?cos2z?1确定的隐函数z=z(x,y)，求dz。31.设u?xy?yz2?zx3,计算梯度grad(u)|(1,1,1).32.求函数z?e2x(x?y2?2y)的极值。33.求三元函数u?x的全微分du。34.设u?xze，求全微分du。

35.设z?f(x,y)由方程F(x?az,y?bz)?0确定，F(u,v)可微，a和b是已知常数，

zy2yz求a?z?z?b。?x?yaa?(a?0)的极值。xy36.求函数f(x,y)?xy?37.求函数f(x,y)?x2?xy?y2?2x?y的极值。

38．在xoy平面上求一点，使得它到x=0，y=0和x+2y-16＝0三直线的距离平方之和为最小。39.求函数f(x,y)?(6x?x)(4y?y)的极值。40.求函数f(x,y)?x?xy?y?2x?y的极值。

41.现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时，体积最大？

42.在椭圆x?4y?4上求一点，使其到直线2x?3y?6?0的距离为最短。

43．求I?222222?10dx?e?ydy

x1244．计算二重积分

22D，是由x?y?2x和y?x围成的面积小的那部分区域。yd???D45．计算二重积分

1x2y?,y?x,y?2围成。，其中D由()dxdy??xyD46.计算二重积分

2D:y?x?16?y，其中。xydxdy??D47.利用二重积分计算由平面

xyz???1(其中a,b,c?0)及坐标面x?0,y?0,z?0abc

231.已知du(x,y)?2xydx?x（1）求满足该等式的函数u(x,y)；（2）设曲线L为dy，

，求?du(x,y)y?x上从点（1，1）到点（0，0）

L32.证明曲线积分计算积分值。

33.设L是从点（1，0，1）到点（0，3，6）的直线段，试求三元函数的第一类曲线积分

?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy在整个xoy平面内与路径无关，并

?Lxy2zds

34．设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y?x2和直线y?x所围成，它在点(x,y)处的面密度?(x,y)?x2y，试求（1）该薄片的质量；（2）该薄片的的质心。35.用格林公式等两种方法计算

?L(x?y2)dx?3xydy，其中L为圆周x2?y2?2x上

从点0（0，0）顺时针到点A（2，0）这段曲线。36．计算二重积分

??yd?：

D（1）D是由x2?y2?2x和y?x围成的面积小的那部分区域。（2）D是由y?ex,y?x,x?0,x?1围成的区域。

2237.设积分区域?：x?y?4,1?z?5，试从直角、柱面二个坐标系，把

???f(x,y,z)dv化成二种形式的三次积分。

?38.设

?a收敛，试证明：?2nn?1?an绝对收敛.n?1n?39.将函数f(x)?1展开成x的幂级数，并求出收敛区间。2x?x?640.将函数f(x)?arctanx展开成x的幂级数。

41．证明级数

1是收敛的，并求出其和。?n?0(n?1)(n?2)??xn42、求幂级数?n的收敛域

n?13?n

所围立体的体积

48.设D是以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）为顶点的三角形区域，求??xcos(x?y)dxdy。

D49.求

sinxdxdy，D由y?2x,x?2y与x?2围成的第一象限中的区域。??xD22?，其中是由曲面与平面z?4所围成的闭区域。z?x?yzdxdydz???50.计算三重积分51.求

?2222222?(x?y?z)dv，为上半个球面和圆锥面x?y?z?a????z?x2?y2所围区域。

222?zd?y?z?4,z?0，积分区域为上半个球体：???52.求

?53．求二重积分54.计算I?向。

55.求二重积分

22(x?y?x)d?，其中D是由直线y＝2,y=x及y=2x所围成的闭区域。??D2?(2xy?xLd)dx?(x?y2)dy,其中L是y=x2和y2=x所围区域的边界曲线的正

??(x?y)dxdy，D由x?y?1围成。

56.利用极坐标计算二次积分

22?2?2dx?4?x202x2?y2dy

。

257.求曲面z?2?x?y与曲面z?x?y所围立体的体积。58.求

y2D，为由与x轴围成的区域。arctand?y?1?x??xD2(x???y)d?，其中D为以点A(0,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的三角形区域.D59．求

60．求

??(1?y)d?，D:xD2?y2?x。

61.设?为立方体：0?x?a，0?y?a，0?z?a（a?0），求三重积分

???(x?y)dxdydz．

?65.求使

??Da2?x2?y2dxdy?1的a值，其中D：x2?y2?a2（a?0）。

22263.设有圆形簿片D：x?y?a，其面密度为f(x,y)?e64.利用柱坐标计算三重积分成的区域。

?(x2?y2)，求簿片的质量。

22?，其中是由曲面与平面z?4所围z?x?yzdxdydz????

65．设?是由z?x2?y2及z?1所围的有界闭区域，计算???(x2?y2?z)dv。

?66.用格林公式计算

??L(x?y2)dx?3xydy，其中L为圆周x2?y2?2x上从点0（0，0）

顺时针到点A（2，0）这段曲线。67．用格林公式计算

L(x2?2y)dx?3xdy，其中L为圆周x2?y2?2x上从点0（0，0）

顺时针到点A（2，0）这段曲线。

68．计算(ex?y)dx?xdy，其中L是从A(1.0)沿半圆周y?1?x2逆时针到B(－1，0)

?L69.计算曲线积分，L是正向圆周

x2?y2??2

70.验证(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy是某个函数的全微分，并求出它的一个原函数。71.求曲线积分

?(xL2?y)dx?(x?sin2y)dy，其中L是在圆周x2?y2?2x上由点(0，

0)顺时针到点(1，1)的弧段。72．计算I?xdy?ydx22，其中L是沿曲线(x?2)?y?1逆时针方向一周。?Lx2?y273．求曲线积分ydx?sinxdy，其中L:y?sinx(0?x??)与x轴所围曲线,取正向。

L?74.试计算

1ttt，其中为曲线上相应于t从dsx?ecost,y?esint,z?e???x2?y2?z20变到2?的这段弧。

22

75.求由曲面z=x+y与z=4所围立体的体积。76.计算弧.

77.求曲面积分78．计算79．求

2222xyzdxdy?，其中为球面在第一卦限部分的外侧.x?y?z?a????Lxdx?ye2x?xdy其中L是在圆周y=2x-x2由点(0,0)顺时针到点(1,1)的一段

2?L(ex?y)dx?xdy，其中L是从A(1，0)沿半圆周

到B(－1，0)。

280．试用高斯公式计算??(x?z)dydz?(y?x)dzdx?(z?y)dxdy，其中光滑曲面∑

L??yzds，其中L的方程为x?2t,y?3sint,z?3cost,0?t??。

围成的Ω的体积为V。81计算曲线积分

?L(2x?y2)dx?(2x?1)dy，L是由y?x2和y2?x所围区域的正向边

界限。82.计算

??(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy，其中光滑曲面∑围成的Ω的体

?积为V。

83.将函数ln(1?x?2x2)展开成x的幂级数。84．试把f(x)?1展开成x的幂级数。2(1?x)85、把f(x)?x展开成(x?5)的幂级数。2x?5x?6?n286．判断级数?n的敛散性

n?132?n!87．判断级数?2n的敛散性

n?13(?1)n2n88．求幂级数?x的收敛区间及和函数。nn?15??n89.判别级数

1n(?1)ln(1?)是否收敛，假使收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？?nn?1?90.求微分方程y???4y??5满足初始条件y(0)?1,y?(0)?0的特解。91.求微分方程y??ysinx?满足初始条件y|x???1的特解。xx?x92.求微分方程y???2y??3y?xe的通解。93.求微分方程y??23y?(x?1)3满足初始条件y|x?0?的特解。x?1294.求微分方程y??ycosx?sinxcosx满足初始条件y|x?0?1的特解。95．求微分方程y''?3y'?2y?2x?1的通解。

四、综合题

x21．证明极限lim2不存在。

x?0x?y2y?0?2z?2z2.设z?f(x?y,2xy)，其中f(u,v)具有二阶连续偏导数，求2，。

?x?x?y22

x?2z3.设z?f(,xy)，其中f(u,v)具有二阶连续的偏导数，求。

y?x?y4.设z