高数考研试题4

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一.填空题（此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上.）

（1）设

f(x)?lim(n?1)xn??nx2?1,则f(x)的休止点为x?0.

此题属于确定由极限定义的函数的连续性与休止点.对不同的x,先用求极限的方法得出f(x)的表达式,再探讨f(x)的休止点.

显然当x?0时,f(x)?0;

1(1?)x(n?1)xn?x?1f(x)?lim2?lim2n??nx?1n??1xx2x?n当x?0时,,

?0,x?0???1,x?0?f(x)x?所以,

由于x?0limf(x)?lim1???f(0)x?0x

故x?0为f(x)的休止点.

此题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21

3??x?t?3t?1?3y?t?3t?1确定,则曲线y?y(x)向上凸的x?y(x)?（2）设函数由参数方程

取值范围为

（??，1）（或（-?，1]）.

?x?x(t)?判别由参数方程定义的曲线的凹凸性，先用由?y?y(t)

2d2yy??(t)x?(t)?x??(t)y?(t)dy??0232?dx(x(t))dx定义的求出二阶导数,再由确定x的取值范

围.

dydy3t2?3t2?12dt??2?2?1?2dxdx3t?3t?1t?1dt,

d2yd?dy?dt?2??14t??1???????dx2dt?dx?dx?t2?1?3(t2?1)3(t2?1)3,d2y?02dx?t?0.令

3x?1?x?(??,1]时，又x?t?3t?1单调增,在t?0时,x?(??,1)。(t?0时，

曲线凸.)

此题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导

数,如1989、1991、1994、2023数二考题，也考过函数的凹凸性.关于参数方程求二阶导数是文登考研辅导班强调的重点,类似例题见《数学复习指南》P53一般方法及和《临考演习》P86.

（3）

?1??dxxx2?1??2.

利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.

?1??dxxx?12x??101t11(?2)dt??dt?arcsint02t11?t?12t?2.

此题为混合广义积分的基本计算题,主要考察广义积分(或定积分)的换元积分法,完全类似的例题见《数学复习指南》P130-131.

2x?3zz?ez?z(x,y)（4）设函数由方程

?z?z???2y确定,则?x?y32.

此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.在z?e2x?3z?2y的两边分别对x,y求偏导,z为x,y的函数.

?z?z?e2x?3z(2?3)?x?x,

?z?z?e2x?3z(?3)?2?y?y,

?z2e2x?3z??x1?3e2x?3z,从而?z2??y1?3e2x?3z

?z?z1?e2x?3z3??2??22x?3z1?3e所以?x?y

2x?3zF(x,y,z)?e?2y?z?0令

?F?F?2?F?e2x?3z(?3)?1?e2x?3z?2则?x,?y,?z

?F?ze2x?3z?22e2x?3z?x???????F?x?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z,

?F?z22???y????F?y?(1?3e2x?3z)1?3e2x?3z?z,

?3e2x?3z?z?z13??2??2x?3z2x?3z?x?y1?3e1?3e?从而

利用全微分公式,得

dz?e2x?3z(2dx?3dz)?2dy

?2e2x?3zdx?2dy?3e2x?3zdz(1?3e2x?3z)dz?2e2x?3zdx?2dy

???2?

2e2x?3z2?dz?dx?dy1?3e2x?3z1?3e2x?3z

?z2?z2e2x?3z??2x?3z2x?3z即?x1?3e,?y1?3e

?z?z??2从而?x?y

3此题属于典型的隐函数求偏导.相像的例题见《数学复习指南》P282.

6y?3（5）微分方程(y?x)dx?2xdy?0满足x?15的特解为

y?13x?x5.

此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.

dy11?y?x22,原方程变形为dx2xdy1?y?0dx2x先求齐次方程的通解:

dy1?dxy2x

1lny?lnx?lnc?2积分得

y?cx设y?c(x)x为非齐次方程的通解,代入方程得

c?(x)x?c(x)12x?11c(x)x?x22x2

13c?(x)?x22,从而

5131c(x)??x2dx?C?x2?C25积分得,

于是非齐次方程的通解为

151y?x(x2?C)?Cx?x355y?x?16?C?15,

1y?x?x35.故所求通解为

dy11?y?x22,原方程变形为dx2x由一阶线性方程通解公式得

11dx?1??dx??22x2xy?exedx?C???2??

?e1lnx2lnx?12?1?2xedx?C????2?

5?13???1?x??x2dx?C??x?x2?C??2??5?

y(1)?6?C?15,

1y?x?x35.从而所求的解为

此题为求解一阶线性方程的常规题,相像的例题见《临考演习》P62.

?210???A??120??001???,矩阵B满足ABA??2BA??E,其中A?为A的伴（6）设矩阵

随矩阵,E是单位矩阵,则B?19.

利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.ABA?2BA?E???ABA??2BA??E,

?(A?2E)BA??E,

?A?2EBA??E?1,

B?1111???010(?1)?(?1)329A?2EA?2100A00?1.

??1A?AA由,得

ABA??2BA??E?ABAA?1?2BAA?1?