线性代数答案3章习题

第一节向量的概念及其运算一.已知解:第三章习题答案解:二.已知向量满足关系式求解:三.

已知向量满足关系式：其中四、

把向量表示为其余向量的线性组合1、2、解：

1、设解线性方程组则有:2、设解线性方程组则有:解方程组得：第二节线性相关与线性无关一.用定义判断下列向量组的线性相关性(1)解:线性相关2、解:所以向量组线性无关.二.判断向量组的线性相关性，并说明理由1、解:线性无关两个向量的对应分量不成比例2、解:线性相关包含零向量的向量组线性相关3、解:所以向量组线性无关4、因为向量个数大于向量维数，所以向量组线性解:相关。三.

判断题1、

若线性无关，且则√（）√3、

包含零向量的向量组必线性无关。（）2、

单独的一个零向量是线性相关的。（）×√4、

一个向量组若线性无关，则它的任何部分组都线性无关。（）5、

设是互不相等的数，则向量组是线性无关的。×（）√6、

向量组线性相关，则向量必可√7、

若向量组线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。（）由线性表示。（）四.

填空题1、

向量线性无关的充要条件是两向量线性相关的充要条件是

。则__.对应分量成比例2、若向量组线性相关，则线性

关。相3、n维单位向量组一定线性

关。无4、若向量组

线性无关，则k

.解:要使线性无关,则有5、若向量组线性相关，则t=

.解:要使线性相关,则有解:要使线性无关,则有6、设线性无关，则a，c必满足关系式

。7、由m个n维向量组成的向量组，当m

n时向量组一定线性相关。（填>，=，<）8、若向量组线性无关，向量组线性相关，则向量能由向量组

线性表示。（填“不惟一”或“惟一”）惟一五.

选择题则

().(Ⅰ)1、设向量组(A)(Ⅰ)相关B(Ⅱ)(Ⅱ)相关(B)(Ⅰ)无关(Ⅱ)无关(C)

(Ⅱ)无关(Ⅰ)无关(D)(Ⅰ)相关(Ⅱ)无关线性无关的充要条件是().都不是零向量；2、n维向量组(A)(B)中任一向量均不能由其它向量(C)中任意两个向量都不成比(D)B线性表示；中有一个部分组线性无关；中至少有一个零向量；3、n维向量组线性相关的充要(A)(B)中至少有两个向量成比例；(C)中任意两个向量都不成比例；(D)D中至少有一个向量可由其它向量条件是().线性表示；一.填空题1、若向量组的秩为3，则向量组线性______.第三节向量组的秩相关2、设向量组(Ⅰ)的秩为向量组(Ⅱ)的秩为相等解:因为二向量组等价,则它们的秩相等.应填:相等或且(Ⅰ)≌(Ⅱ)，若向量组的秩为4，则向量组线性______.无关3、若向量组和向量组都是向量组的极大线性无关组，则=4、已知向量组的秩为2，则t=

。解:r

t.二.求下列向量组的秩，并判断其线性相关性解:(必须有解题过程)向量组线性相关解:向量组线性无关解:向量组线性无关四.利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.解:无关组为：向量组的极大线性且有:解:无关组为向量组的极大线性且有:3、解:向量组的极大线性无关组为：且有:一.在向量空间中，求向量在基下的坐标。解:第四节向量空间一.在向量空间中，求向量在基下的坐标。解:第四节向量空间二、已知向量1、将化为单位向量；解:2、向量是否正交？所以正交三.把向量组解:正交化一.选择题1、设向量组线性无关，则下列向量组综合练习题三线性相关的是（）（A）C（C）（D）（B）解:（A）所以向量组线性无关一.选择题1、设向量组线性无关，则下列向量组综合练习题三线性相关的是（）（A）C（C）（D）（B）解:(B)所以向量组线性无关一.选择题1、设向量组线性无关，则下列向量组综合练习题三线性相关的是（）（A）C（C）（D）（B）解:(C)所以向量组线性相关2、设向量组线性相关，线性无关，则（）（A）C（C）（D）（B）解:线性相关线性无关3、设向量组的秩为r，则（

）（A）A（C）（D）（B）中至少有一个由

r个向量组部分组线性无关；成的部分组线性无关；线性无关；都线性无关；4、若向量组的极大线性无关组，则下列论断不正确的是（）（A）B（C）（D）（B）5、设n维向量组（）（A）向量组B（C）（D）任一向量都不能由其余向量线性表示（B）向量组6、设A为n阶方阵，，则在A的n个（A）必有r个列向量线性无关A（C）任意r个列向量都构成极大线性无关组（D）任何一个列向量都可以由其它r个列向量线（B）任意r个列向量线性无关列向量中（

）性表出；7、设A、B为n阶方阵，且（A）D（C）（D）（B），则（

）8、已知向量（A）B（C）（D）（B）都是四维列向量，且四列式则行列式（）解:9、

以下说法不正确的是（

）（A）正交向量组必线性无关；B（C）正交向量组不含零向量；（D）线性无关向量组不含零向量；（B）线性无关向量组必正交；解:选项（B）的反例：线性无关不正交二、已知向量组可以由向量组

线性表示？若可以，写出，问：向量

是否其表达式.解:二、已知向量组可以由向量组

线性表示？若可以，写出，问：向量

是否其表达式.解:三、设向量组足什么条件时向量组线性无关，问常数线性相关？解:设因为线性无关要使线性相关要满足有非零解四、设向量组的秩为3，向量组证明：向量组

线性无关解:设因为线性无关所以线性无关五、设向量组线性相关，向量组也线性相关,问向量组解:不一定是否一定线性相关？试举例说明之当向量组中出现零向量时，向量组线性相关，如否则，线性无关，如六、求下列向量组的秩（提示：需要对

进行讨论）解:当时，当时，当时，七.

已知向量组(1)求(2)求向量组的一个极大线性无关组，并将其余解:的秩为3的向量用极大线性无关组线性表示。√√√且当时，将矩阵的第3行加到第四行可将第四行化为零行，则向量组的极大线性无关组为八.

已知3维向量空间中的向量在基(1)求由基

到基

的过渡矩阵；解（1）设下的坐标为与

在基

下的坐标

满足(2)求基.由题设知（2）由知：九.已知向量组向量组的秩为2,线性表示；证明:（1），且表达式唯一。（2）(1)根据向量组线性相关性的性质可得：的秩为3，证明：能由不能由线性表示。线性表示能由因为线性无关，则线性无关，线性相关,又因为线性表示能由用反证法证明：证明：即：(2)代入上式得：不能由线性表示能由线性表示设由（1），可设即能由线性表示线性相关.与已知条件矛盾，假设不成立，故命题成立.九.已知向量组向量组的秩为2,线性表示；（1）（2）的秩为3，证明：能由不能由线性表示。十.已知向量组若各向量组的秩分别为:(Ⅱ)(Ⅲ)R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=3,R(Ⅲ)=4