2024年上海市数学高考名校模拟题分类汇编-空间直线与平面含详解

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一空间直线与平面

一、填空题

1.（2324上.浦东新•期末）正四面体A8CO的各棱长均为3,则点A到平面8c。的距离为

2.（2223上•长宁•一模）如图，在三棱台ABC-AAC的9条棱所在直线中，与直线A/是异面直线的共有

条.

3.（2223・静安•二模）如图，正方体中，E为A3的中点，尸为正方形BCC4的中心，则直线EF

与侧面BB©C所成角的正切值是.

4.（22・23下•宝山•阶段练习）如图所示，ABCD-A'3'CZ）'是长方体，其中AB=2,AD=A4'=1,点E是棱C'D上

一点，若异面直线与DE互相垂直，则O'E=.

5.（2223上•闵行•一模）如图，对于直四棱柱ABCZ）-AB|C|2,要使则在四边形A8CO中，满足的条

件可以是.（只需写出一个正确的条件）

6.（2223上•宝山•一模）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一个直角边长为

6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30。角，则当遮阳篷ABC

与地面所成的角大小为时，所遮阴影面面积达到最大.

7.（2223・奉贤•三模）正方体的棱长为4,P在平面BCG与上，A,P之间的距离为5,则G、P

之间的最短距离为.

8.（2324上•黄浦•开学考试）定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离.若二面角内一点到二面角的

两个半平面的距离分别为。和、&,到棱的距离为2a,则此二面角的大小是.

9.（2223・嘉定•三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》

时所做的天文计算.图中的钻,AC,CD都是以。为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中N,K分别

在线段8,。瓦。4上，MNL0B,KN工0B.记0c=/AOB,jB=ZAOC,y=NBOD,3=ZCOD,给出四个关系

式，其中成立的等式的序号有.

①sin，=sin/cos5

②cos)3=cosycost5；

公.sinS

(3)sma=------.

cos,，

…COS/COS(5

(4)coscr=----------------.

10.（23.24上•普陀•阶段练习）已知平面a与夕所成的二面角为80°,尸为久夕外一定点，过点尸的一条直线与a、夕所

成的角都是30,则这样的直线有且仅有条.

二、单选题

11.（2）23•浦东新•二模）在空间中，下列命题为真命题的是（）.

A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；

C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；

D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

12.（2223・金山・二模）如图，在矩形中，E、/分别为边AD、上的点，S.AD=3AE,BC=3BF,设尸、Q

分别为线段■、CE的中点，将四边形形正沿着直线所进行翻折，使得点A不在平面8所上，在这一过程中,

下列关系不熊成立的是（）

A.直线〃直线CDB.直线直线尸。

C.直线尸。〃直线即D.直线尸。〃平面

13.（2223•闵行•三模）已知龙,Mz是空间的直线或平面，要使命题“若则x//y”是真命题，龙,可以是

（）

A.无,y*是三个不同的平面B.尤,z是两条不同的直线，y是平面

c.x，y，z是三条不同的直线D.苍丁是两条不同的直线，z是平面

14.（2324上•虹口•期中）已知“〃是两条不同的直线，a,#,7是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若alB/ly,则e〃/

B.若mua,nu/3,m//",则cr〃/

C.若狐〃是异面直线，机ua,加〃A〃u£,〃//a,则a〃尸

D.平面。内有不共线的三点到平面夕的距离相等，则夕//月.

15.（2223上・黄浦•一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCQ,平面ABCD,且

MD=A®=1,点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（）

A.MC±ANB.平面£）CM//平面ABN

C.直线GB与AM是异面直线D.直线GB与平面AMD无公共点

16.（2324上•浦东新•期末）已知直线相、n,平面a,£,满足a£="且a"L#,则“〃社〃”是_L£”的（）

条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

17.（22・23・黄浦・二模）如图.与△BCD都是等腰直角三角形.其底边分别为8。与BC,点E、F分别为线

段B。、AC的中点.设二面角A-即-C的大小为。，当a在区间（0,兀）内变化时、下列结论正确的是（）

A,存在某一a值.使得AC/3D

B.存在某一a值.使得

C.存在某一a值.使得EF1CD

D.存在某一a值，使得

18.（22・23・普陀・二模）设a,6表示空间的两条直线，a表示平面，给出下列结论：

（1）若a//6且bua,则a〃ar

（2）若a〃右且6ua,则a//6

（3）若a//6且a〃cr,则Z?//e

（4）若a//ar且方//a,则a//6

其中不正确的个数是（）

A.1B.2个C.3个D.4个

19.（22・23下・浦东新•阶段练习）已知正方体ABC。-A耳GR中，M,N,尸分别是棱A，，Dg,的中点,

。是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线尸。异面的是（）

A.AB.B.BQC.C4D.DD}

20.（2223彳余汇•二模）如图：棱长为2的正方体ABC。-A4clp的内切球为球O,E、尸分别是棱AB和棱cq的

中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（）

①存在点G,使。。垂直于平面印G；②对于任意点G,。4平行于平面EFG；③直线所被球。截得的弦长为夜；

④过直线EF的平面截球0所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为1.

2

21.（22-23•浦东新•模拟预测）两个平面"与夕相交但不垂直，直线加在平面a内，则在平面夕内（）

A.一定存在直线与加平行，也一定存在直线与旭垂直；

B.一定存在直线与机平行，不一定存在直线与加垂直；

C.不一定存在直线与加平行，一定存在直线与机垂直；

D.不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与优垂直

22.（2223・长宁•二模）如图，已知正方体488-4旦£2,点尸在直线AQ上，。为线段8。的中点，则下列命题

A.存在点尸，使得尸Q，4G

B.存在点P,使得PQ//AB

C.直线P。始终与直线CG异面

D.直线PQ始终与直线BG异面

23.（22.23下•普陀・模拟预测）已知平面名尸所成角为80，尸为两平面外一点，则过点尸且与平面外〃所成角均为40

的直线有（）条.

A.1B.2C.3D.4

三、解答题

24.（2223・金山•二模）如图，在正三棱柱ABC-中，已知A3=A4j=2,。是AB的中点.

⑴求直线CC,与。用所成的角的大小;

（2）求证：平面平面并求点8到平面CZ）4的距离.

25.（2223・长宁•二模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AB1BC,AB=AD,

BC=2AB,瓦尸分别为棱BC,BP中点.

⑴求证：平面A£F〃平面。CP；

⑵若平面PBC/平面A3CD,直线AP与平面尸3c所成的角为45,且CPLPB,求二面角P-AB-C的大小.

26.(2223松江•二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，。是AC与的交点，ZADCM5，

AD=AC=2,尸01平面ABC。，PO=2,M是尸。的中点.

(1)证明：P3//平面ACM

(2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小.

27.（2223下杨浦•期中）如图，在三棱锥尸-ABC中，PAL平面ABC,ABAC=90°,\AB\=\AP\=\AC\=2,M、

N分别为PAPC的中点.

(1)求直线BN与平面A3c所成角的大小；

(2)求平面MNB与平面ABC所成二面角的大小.

28.(2223•闵行•三模)如图，线段AA是圆柱。。1的母线，8C是圆柱下底面。的直径.

4

E

A

—1—

(1)若。是弦AB的中点，且AE=/M，求证：OE〃平面A8C；

JT

(2)若8C=2,NABC=30。，直线AC与平面ABC所成的角为三，求异面直线4。与A3所成角的大小.

29.(2223・虹口•三模)已知圆锥的顶点为S,底面圆心为。，半径为2,母线SA、S3的长为2夜，4403=90。且

M为线段的中点.

(1)证明：平面SOM1平面&48；

(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小.

30.(2324上•宝山•开学考试)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是矩形，分别为棱PD,PC的中点,

PA=AD,平面PAD_L平面A3CD求证：

(1)MN〃平面BIB；

(2)AM2平面PC。.

备战2024高考优秀模拟题分类汇编（上海专版）一一空间直线与平面

一、填空题

1.（2324上•浦东新•期末）正四面体ABCD的各棱长均为3,则点A到平面BCD的距离为

【答案】76

【分析】设G是底面△BCD的中心，则AG的长是点A到平面BCD的距离，由勾股定理计算可得.

【详解】如图，取△BCD的中心G,CD的中点连接8M,AG,

为正四面体，则AG_L平面BCD,BM±CD,

BMu平面3CD,

AGLBM,

由题意可得：BC=3,CM=-,BM=^BC2-CM2=-V3>

则BG=13M=«,AG=AMB2-8G2=V6,

故点A到平面BCD的距离为AG=76.

故答案为：屈.

2.（2223上•长宁•一模）如图，在三棱台ABC-的9条棱所在直线中，与直线入出是异面直线的共有

条.

【答案】3

【分析】利用异面直线的判定定理判断即可.

【详解】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面,

由图可知九条棱中4瓦，AG，AA,AB,BB],BC与A/相交,

没有直线与4B平行，

所以与直线4/是异面直线的共有3条，分别为4G，AC,CG，

故答案为：3

3.（2223・静安•二模）如图，正方体ABCO-AgG。中，E为的中点，E为正方形BCQ用的中心，则直线E尸

与侧面BBXCXC所成角的正切值是.

【分析】连接8尸，得到㈤B即为斯与平面网GC所成的角，在直角△EFB中，即可求解.

【详解】如图所示，连接印,

在正方体ABC。-AgGA中，可得_1_平面3CG耳,

所以ZEFB即为EF与平面BBXCXC所成的角,

设正方体A3CZ)-4旦。］。1的棱长为2,则EB=1,BF=A/2,

在直角△EFB中，tan/EEB=2=1

BF2

故答案为：叵.

4.（2223下•宝山•阶段练习）如图所示，A3C。一A'3'C'。'是长方体，其中AB=2,AD=A4'=1,点E是棱CD上

一点，若异面直线A3与DE互相垂直，则O'E=.

【答案】1/0.5

【分析】构造平行使异面直线夹角化为共面直线夹角，在平面中解边长即可.

【详解】如图所示，作历，43',连接AR则可〃4'。'〃4£）,且

即四边形ADE尸为平行四边形，所以

ArD<D1

故在矩形ABB'A中ZA'AF=ZB'A'BntanZAAF=——=tanZB'A'B=——=-,

AAA'B'2

解得4歹=；=£>右

故答案为：!

5.（2223上•闵行•一模）如图，对于直四棱柱ABC。-A4G2,要使4。，片2,则在四边形ABCD中，满足的条

件可以是.（只需写出一个正确的条件）

【答案】AG1B,D,（只要使得4G，耳2即可）.

【分析】利用线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.

【详解】连接AG，如下图所示:

因为CC1，平面，BRu平面A耳CQi,则BR1CG,

若AG_LBQ,AGcq=c,,cq、46匚平面4℃],；.耳。_1平面4u6,

ACu平面ACC],，AC_LBR.

故答案为：ACA^D,（只要使得AG，42即可）.

6.（2223上•宝山•一模）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一个直角边长为

6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30。角，则当遮阳篷ABC

与地面所成的角大小为时，所遮阴影面的。面积达到最大.

C

【分析】遮阴影面反。'面积达到最大即是点C到AB的距离最大，根据正弦定理表示出点C'到的距离，即可找

出角度取值与面积之间的关系.

【详解】如图，过点C作0），48交42于。，连接C'。，由题可知GDLAB

C.

因此NC'OC就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为所以求遮阴影面ABC面积最大，即是求C'。最大,

其中已知NCC'D=30。，CD=3叵

设NDCC'=9,0e（O°,15O°）,根据正弦定理一"=必nC'D=6近sin。

sin30°sin6

当6=90。时遮阴影面ABC面积最大，此时NC'QC=60。

故答案为：60°

7.（2223・奉贤•三模）正方体ABCD-AgGR的棱长为4,P在平面BCG耳上，A,尸之间的距离为5,则G、尸

之间的最短距离为.

【答案】4"-3/-3+4应

【分析】分别连接AR8P,利用线面垂直的性质得钻上的，计算出忸尸|的长，从而得到点尸的轨迹，再利用圆外

定点到圆上动点距离最值模型即可得到答案.

【详解】分别连接ARBP,

因为A51平面BCCXBX,BPu平面BCQBI,

所以AB_L3P,AP=5,AB=4,\BP\=y/52-42=3,

故点P的轨迹为以8为圆心，3为半径的!段圆弧，

4

故《PL小国-3=40-3

故答案为：4A/2-3-

8.（2324上.黄浦.开学考试）定义：点到半平面的距离为该点到半平面所在平面的距离.若二面角内一点到二面角的

两个半平面的距离分别为“和0a，到棱的距离为2a,则此二面角的大小是.

【答案】75或165

【分析】根据给定条件，按二面角的平面角是钝角和不是钝角分类求解作答.

【详解】点尸在二面角£-/-6内，过尸作PAL平面a,平面夕，垂足分别为A8,不妨令PA=&i,PB=a,

则/_LPA,/_LP3,PA尸8=尸,m,23<=平面/15,于是平面令/与平面交于点C,

连接AC,BC,PC,贝〃，AC,/_L3C,因此NACB是二面角a-/一£的平面角或其补角，

当/ACB不是钝角时，如图，

ZPCA=45,

在RtP3C中，sinZPCB=—=-,ZPCB=30,

PC2

因此ZACB=NPC4+NPC3=75；

当NACB是钝角时，如图，

a

同理得NPG4=45,ZPCB=30,ZACB=ZPCA-ZPCB=15,

因此二面角c-/-，的平面角为180。-15。=165。,

所以二面角的大小是75或165.

故答案为：75或165

9.（2223・嘉定•三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》

时所做的天文计算.图中的钻,AC,瓦）,CD都是以。为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中N,K分别

在线段8,。瓦。4上，肱.记a=13=AAOC,y=NBOD,3=ZCOD,给出四个关系

式，其中成立的等式的序号有.

①sin尸=sin/cos

@cos]3=cos/cosJ；

_.sinS

③sina=------.

cos6'

cos/cosS

(4)coscz=------------

cos尸,

【答案】①③④

【分析】利用题设中的垂直关系可得Rt一COK、RtAOAfV,RtOMC、RtZiKON,利用这些直角三角形逐项计算

各角的三角函数后可得它们的关系，从而可得正确的选项.

【详解】因为四边形CMXK是矩形，WMN1KN,而MN_LOB,

KN。3=",3,。3（=平面403,故肱V_L平面A03.

因为四边形政是矩形，故KC7/MZV,故KC_L7CV,而KC_LOB,

而©V03=7^M,03<=平面493,故KCL平面AOB.

而K2V_LO3,MNLKN,KNIICM,.

故CM_LQB,MN1CM,而MJWOB=N,MN,OBu平面MON,

故CM_L平面MON,因OOu平面MON,故OW_LOD,

同理脑V_LO3,KC±OA.

KCMN

在RtCOK中，有sinp-sinZ.AOC—

MN

在RtZ\OMN中，有sin/=sinZDOB=---；

OM

在Rt_QWC中，有cosS=sinNDOC=爆；

故sin/cos5==sin夕，故①正确.

.±*.•/snKNMC

在RtZAiKQN中，有sina=smNAOB=-----=------,

OKOK

KC

在RtCOK中，有cos£=cosZAOC=；

故smacos4二二,故sma=故③正确.

OCcos分

ON

在Rtz\KON中，有COSIMCOSNAOBUK-,

OK

ON

在RtAOM/V中，有cos/=cosZDOB=；

ON___Ox_M___

,,cos/cos<5OMQCON.小十必

故一="——=cosa,故④正确.

cospK(JKO

OC

若cos尸=cosycos5不成立，否则由④的结论可得COS£Z=1,这样a为锐角矛盾.

故答案为：①③④.

【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系

实现不同面中的垂直关系的转化.

10.(23.24上•普陀•阶段练习)已知平面。与P所成的二面角为80°,尸为以月外一定点，过点P的一条直线与a、4所

成的角都是30,则这样的直线有且仅有条.

【答案】4

【分析】过点尸作平面AOB垂直于平面a,6的交线/,并且交直线/于点。，连接。尸，则OP_L/,过点P在平面AOB

内作-AOB的平分线以。片为轴在6的角平分面内转动。片，根据题意可得出有两条直线满足题意；以

OP为轴在平面AO3'内前后转动。鸟，根据题意可得出有两条直线满足题意，综合可得结果.

【详解】解：首先给出下面两个结论：

①两条平行线与同一个平面所成的角相等；

②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面内或平行于角平分面.

(1)如图1,过二面角内任一点作棱/的垂面AO3,交棱/于点。，

a

图1

与两半平面交于OA,08,

因为平面A08,0AoBu平面A0B,所以。4，/,08，/,

则/AO3为二面角a-/一6的平面角，则NAO3=80。，

设。［为/A03的平分线，则ZAOq=4O8=40。，

0P,与平面d尸所成的角都是40。,此时过点尸且与。［平行的直线符合要求，

当。《以。为轴心，在二面角0-/-£的平分面上转动时，。片与两平面的夹角会变小,

会对称地出现两条符合成30。的情形；

（2）如图2,设。鸟为/AO3的补角NA0*的平分线，

图2

则4OB=ZJ^OA=50。，。鸟与平面d尸所成的角都是50°,

当。巴以。为轴心，在二面角a-1-P'的平分面上转动时，

。心与两平面夹角变小，对称地在图2中。鸟的两侧会出现30。的情形，有两条，

此时，过点P且与。心平行的直线符合要求，有两条.

综上所述，符合条件的直线有4条.

故答案为：4.

二、单选题

11.（2223.浦东新.二模）在空间中，下列命题为真命题的是（）.

A.若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；

B.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直；

C.若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直；

D.若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.

【答案】D

【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明.

【详解】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交,

如图1,直线BC±AB,但与8C异面，故A错误；

B选项，如图2,力，alla,/311b,则a///?,

故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误;

图2

C选项，如图3,平面A3CD与平面CD2G垂直，交线为。，

则过平面内ABCD一点A的直线机垂直于交线8,但机与另外一个平面CDDG平行，C错误;

5

图3

选项D,如图4,直线“〃（z,直线加_La,则m_L〃，理由如下：

因为〃〃a,nu/3,ac/3=a,所以〃//a,

因为加_La,aua,所以加_L。，故机_L〃，证毕.

若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确

图4

故选：D

12.（2223・金山・二模）如图，在矩形ABCD中，E、尸分别为边AD、3c上的点，S.AD=3AE,BC=3BF,设尸、Q

分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABEE沿着直线E尸进行翻折，使得点A不在平面CD所上，在这一过程中,

下列关系不用成立的是（）

A.直线〃直线CDB.直线AB人直线尸。

C.直线尸。〃直线EDD.直线尸。〃平面ADE

【答案】C

【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关

命题.

【详解】翻折之后如图所示:

①因为4>=3AE,BC=3BF,所以加//EF且EF〃CD,

因此AS//CD,故选项A成立；

②连接ED,因为尸、Q分别为摩、FD的中点，所以尸。//仞,

又因为AB_LAD,所以故选项B成立；

③因为PQ//AD,EDcAD=D,所以PQ与“不平行，故选项C不成立；

④因为PQ〃AD,且尸平面ADE,">u平面ADE,

所以尸。〃平面ADE,故选项D成立.

故选：C

13.（22-23•闵行•三模）已知羽y，z是空间的直线或平面，要使命题“若x_Lz,y_Lz,则无〃y”是真命题,工，/2可以是

（）

A.x，y，z是三个不同的平面B.尤,z是两条不同的直线，y是平面

c.x'y,z是三条不同的直线D.羽丁是两条不同的直线，z是平面

【答案】D

【分析】根据线面、面面的、线线的垂直关系逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A：若x，y，z是空间中三个不同的平面，且x，z,y，z,则平面X和平面y的位置不确定，故A错误；

对于C：若x，y，z是空间中三条不同的直线，且无，z,y，z,则直线X和直线y的位置不确定，故C错误；

对于B：x,z是空间中两条不同的直线，y是空间的平面，且x，z,y，z,

则直线X和平面y的关系为直线x〃平面y或直线xu平面y,故B错误；

对于D：x，y是空间中两条不同的直线，z是空间的平面，且x_Lz,y_Lz,则x//y,故D正确，

故选：D.

14.（2324上.虹口•期中）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若a_L△尸_L7,贝ija〃Y

B.若mua,nu/3,m”n,则cr//〃

C.若"?，”是异面直线，mua,mlI/3,nu/3,〃lIa,则a〃力

D.平面。内有不共线的三点到平面夕的距离相等，则a〃尸.

【答案】C

【分析】利用直观想象判断直线与平面的位置关系可判断ABD；利用线面平行的性质定理与面面平行的判定定理

可判断C,从而得解.

【详解】因为加、〃是两条不同的直线，a、/3、7是三个不同的平面，

对于A,若C#,g，则a与/可能相交，故A错误；

对于B,若mua,nu/3,mUn,则a与4可能相交，故B错误；

对于C,因为muc,所以加0力，又机//£,

所以由线面平行的性质定理可知在夕内存在"/〃z,贝U/<Za,进而可得〃/a,

因为狐〃是异面直线，nu/,所以/与〃相交，

又“//e,所以由面面平行的判定定理得C//〃，故C正确；

对于D,平面a内有不共线的三点到平面夕的距离相等，则a与夕可能相交，故D错误.

故选：C.

15.（22・23上・黄浦•一模）如图，四边形ABC。是边长为1的正方形，“D,平面ABCD,平面ABCD,且

MD=NB=1,点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（）

A.MCLANB.平面少CA7〃平面ABN

C.直线GB与AM是异面直线D.直线GB与平面AMD无公共点

【答案】D

【分析】根据给定条件，证明AN/ADG判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点0,证得四边

形A3GO是梯形判断CD作答.

【详解】因为平面ABC。，NB人平面ABC。，则MD//NB,

取AB,CD,AN的中点£瓦8,连接EF,EG,FH,GH,如图，点G为MC的中点，

鞘EGUMD!INBIIFH,且EG=；MD=；NB=FH,于是四边形跳EG是平行四边形，

GH//EF,GH=EF,在正方形A3CD中，EF//AD,EF=AD,则GW〃A。,G/f=AZ),

因此四边形ADGH为平行四边形，AN//DG,而MD=CD=1,点G为MC的中点，

有DG_LMC,所以MCLAN,A正确；

因为MDI/NB,ME»u平面。CM,平面。CM,则NS〃平面。。0,

又AB〃CD,CDu平面DCM,平面DCM,则AB〃平面0c

而NBAB=B,NB,ABu平面ABN,所以平面Z)CA7〃平面A3N,B正确；

取DM中点。，连接GO,AO,则有GO//C£>//AB,GO=gcD=gAB,即四边形ABGO为梯形，

因此直线AO,BG必相交，而AOu平面AMD于是直线GB与平面AM。有公共点，D错误；

显然点Ae平面A3GO,点Me平面ABGO,直线BGu平面A3GO,点Ae直线3G,所以直线GB与AM是异面

直线，C正确.

故选：D

【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.

16.(23・24上.浦东新.期末)已知直线〃?、n,平面a1,满足a£=兀且a_L£,则是的()

条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.

【详解】因为a/3=n,所以“u/7,

若机_L耳，则机_L〃，

即“，武是“，力”的必要条件；

如图，在长方体中，设面45co为面。、面3CEF为面夕，

则根_1_〃，且根与面夕不垂直,

即“〃U〃”不是“机的充分条件;

所以“，〃”是“ml尸”的必要不充分条件

故选：B.

17.（2223•黄浦•二模）如图.与△3CD都是等腰直角三角形.其底边分别为与BC,点£、厂分别为线

段2。、AC的中点.设二面角A-BD-C的大小为a,当a在区间（0,兀）内变化时、下列结论正确的是（）

A.存在某一a值.使得AC1BD

B.存在某一a值.使得EF_LBD

C.存在某一a值.使得EF1CD

D.存在某一a值,使得

【答案】D

【分析】利用反证法，结合线面垂直的判定地理和性质定理以及面面垂直的判定定理逐项判断.

【详解】如图所示:

在等腰三角形△ABD中，设AB=AD=1,则E为的中点，连接AE,CE,则瓦）,

A.假设存在某一a值.使得AC13D,又AELBD,AEAC=A,则即工平面AEC,则30,EC,又比＞，8,

则EC//CD,矛盾，故错误;

B.假设存在某一a值.使得EFLBD,又AE工BD,EFcAE=E,则3D2平面则BD_LAF,即AC1BD,

又CDLBD,CDIAC=C,则平面ACD,则平面A£F//平面ACD,矛盾，故错误；

C.假设存在某一a值.使得EFICD,又CDLBD,EFcBD=E,则CD,平面BFD,则CDLFD,在AWC中，

AD=1,CD=6,P为AC的中点，因为aACD为非等腰三角形，所以不成立，故错误；

D.假设存在某一a值，使得AfiLCD,又CD上BD,ABcBD=B,则CD,平面MD,则CDLAE,又

TT

AE工BD,CDcBD=D,则AE_L平面BCD,因为AEuABD,则平面43D_L平面3CD,所以&=万，故正确，

故选：D

18.(2223・普陀•二模)设a,b表示空间的两条直线，a表示平面，给出下列结论：

(1)若a//6且bua,则a//a

(2)若a//tz且6ua,则a//6

(3)若a//6且a〃cr,则6〃a

(4)若a〃a且b〃a,则a//6

其中不正确的个数是()

A.1B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据直线与直线平行、直线与平面平行的性质分别判断命题真假即可得解.

【详解】若a//6且6ua,则a//a或"ua,故命题错误；

若a//e且bucr,则“//6或。,6为异面直线，故命题错误；

若a//，且a//e,则b〃a或bucr,故命题错误；

若a//tz且。〃则4//6或。,6相交或异面，故命题错误.

故选：D

19.(2223下•浦东新•阶段练习)已知正方体ABCD-4用£4中，M,N,尸分别是棱42，AG，A3的中点,

。是线段MN上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ异面的是()

A.AB,B.BQC.CA,D.DD,

【答案】A

【分析】对于选项A,利用异面直线的判断定理可知选项A正确；对于选项B,当。与N重合时，有尸Q//BG，

从而判断出选项B的正误；对于选项C,当。与N重合时，有PQ与AC1相交，从而判断出选项C的正误；对于选

项D,取A片中点H,连交MN于E,利用。P//2”,可得到PQ与相交，从而判断出选项D的正误.

【详解】对于选项A,A4u面Pe面48旦4，面所以直线PQ与A耳异面；

对于选项B,当。与N重合时，因为PBUNC、,又M,N,P分别是棱AR,2G,A3的中点，所以PB=NC1,

所以PQ//BG，选项B错误；

对于选项C,连接ARPC,CN,W4,,在正方体中，易得AP//CN且A/=CN,所以与PN相交，即当。与N重

合时，PQ与CA相交，选项C错误;

对于选项D,取4用中点//,连交MN于E,连DP,PH,因为PH//。鼻且PH=,所以DP//QH且

DP=D,H,故当。与E重合时，PQ与。2相交，选项D错误.

故选：A.

20.（2223•徐汇・二模）如图：棱长为2的正方体ABCO-A4G2的内切球为球。，E、尸分别是棱和棱CC,的

中点，G在棱BC上移动，则下列命题正确的个数是（）

①存在点G,使OD垂直于平面跳G；②对于任意点G,0A平行于平面EFG；③直线所被球。截得的弦长为血；

7T

④过直线所的平面截球。所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为

【答案】D

【分析】①当点G为中点时，证明与。，平面EFG；②当点G与8重合时，A在平面EFB上，。在平面EEB外，

说明不成立；③点M是线段斯的中点，利用弦长公式求弦长；④当加垂直于过斯的平面，此时截面圆的面积

最小，利用③的结果求圆的面积.

【详解】当G为3C中点时，EGLBD,EG1BBtBDcBB/B,

BD,BBiu平面BDB,,.-.EG±平面BDB1,

平面EFG//平面AC。，瓦。u平面8。与，.1EG，耳D,同理GFL5Q,EGGF=G,EG,GFu平面EFG,

所以BQ，平面斯G,即ODL平面EFG,故①正确;

当G与B重合时，A在平面EFB上，。在平面EFB外，故②不正确;

如图，点M是线段EF的中点，由对称性可知OM_LE?7,

由勾股定理可知易知EF=y/EB2+BF2=m,OE=>H,

故③正确；

当。时垂直于过E尸的平面，此时截面圆的面积最小，此时圆的半径就是『=’=更，

22

面积为5=兀产=|■无，故④正确.

故选：D.

21.（2223•浦东新•模拟预测）两个平面a与夕相交但不垂直，直线机在平面a内，则在平面月内（）

A.一定存在直线与加平行，也一定存在直线与加垂直；

B.一定存在直线与加平行，不一定存在直线与加垂直；

C.不一定存在直线与"?平行，一定存在直线与垂直；

D.不一定存在直线与机平行，也不一定存在直线与加垂直

【答案】C

【分析】根据题意，由条件可得分两种情况：加///和mc/=A,然后对选项逐一验证即可得到结果.

【详解】设aP=l,则有两种情况：和〃zc/=A,

当znc/=A时，在平面月内不存在直线与加平行，故AB错误；

当m///时，在平面月内一定存在直线与小平行，也一定存在直线与"z垂直，

当小c/=A时，在平面夕内不存在直线与加平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与加垂直，

综上：不一定存在直线与切平行，但一定存在直线与加垂直，故C正确，D错误；

故选：C

22.（2223・长宁•二模）如图，已知正方体ABC。-A耳GR,点P在直线A。1上，。为线段8。的中点，则下列命题

A.存在点P,使得

B.存在点尸，使得PQ/48

C.直线PQ始终与直线CG异面

D.直线P2始终与直线BG异面

【答案】C

【分析】当点尸和点2重合时，可判断A；通过线面平行的判定定理，当点尸为线段4。的中点时，即可判断B；

当点P和点A重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断C；直线尸。与另一条线所在的平面相交，从

而证明这两条线不相交，也不平行即可判断D.

【详解】正方体ABC。-4耳£2中，易得AG，平面因为点尸在直线AA上，。为线段的中点，

当点尸和点2重合时，「。（=平面302瓦，；.尸。，4&,故A正确；

连接A。、A.B,当点P为线段4。的中点时，PQ为三角形ABD的中位线，即尸。〃AH，故B正确;

CQu平面AAGC,当点尸和点A重合时，PQu平面441GC,所以直线尸。和CG在同一平面内，故C错误;

BGu平面ABC.,PQc平面ABCQ=尸，Pg,所以直线PQ始终与直线BC】不相交，且不平行,

所以直线P2与直线BQ是异面直线，故D正确;

故选：C

23.（22.23下•普陀・模拟预测）已知平面以4所成角为80，尸为两平面外一点，则过点尸且与平面以6所成角均为40

的直线有（）条.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】作出两平面以夕所成二面角a7—尸的平面角403,先考虑二面角a7-6内符合题意的直线，再考虑

在二面角a-/-£的邻补的二面角内符合题意的直线，综合可得答案.

【详解】如图，作出两平面以6所成二面角-尸的平面角NAO3,则ZAO8=80,

403=40,

当。片以。为中心，在二面角-尸的角平分面上旋转时，。片与两平面的夹角变小,

此时与平面久夕所成角均为40的直线仅。片这一条;

设。己为-AO3的补角的角平分线，则N鸟。4=/£。&=50,

当。£以。为中心，在二面角-6的邻补的二面角的角平分面上旋转时，。鸟与两平面的夹角变小,

此时在。鸟的两侧会各出现一条与两平面成40的直线，可设为44,

故过点尸可作一条与。片平行的直线，符合题意；可作与44平行的直线各一条，符合题意,

故过点尸且与平面久夕所成角均为40的直线有3条,

故选：C

三、解答题

24.(2223・金山•二模)如图，在正三棱柱ABC-ABC1中，已知48=714=2,。是A3的中点.

A

⑴求直线