常用统计技术中级

常用统计技术中级第1页，共92页，2023年，2月20日，星期四第一节方差分析

一、几个概念二、单因子方差分析

第2页，共92页，2023年，2月20日，星期四一、几个概念

在试验中改变状态的因素称为因子，常用大写英文字母A、B、C、…等表示。因子在试验中所处的状态称为因子的水平。用代表因子的字母加下标表示，记为A1，A2，…，Ak。试验中所考察的指标（可以是质量特性也可以是产量特性或其它）用Y表示。Y是一个随机变量。单因子试验：若试验中所考察的因子只有一个。第3页，共92页，2023年，2月20日，星期四[例2.1-1]现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件的平均强度是否相同？

工厂量件强度

甲

乙

丙

10310198110

113107108116

82928486三个工厂的零件强度

第4页，共92页，2023年，2月20日，星期四在这一例子中，考察一个因子：因子A：工厂该因子有三个水平：甲、乙、丙试验指标是：零件强度这是一个单因子试验的问题。每一水平下的试验结果构成一个总体，现在需要比较三个总体均值是否一致。如果每一个总体的分布都是正态分布，并且各个总体的方差相等，那么比较各个总体均值是否一致的问题可以用方差分析方法来解决。第5页，共92页，2023年，2月20日，星期四二、单因子方差分析

假定因子A有r个水平，在Ai水平下指标服从正态分布，其均值为，方差为，i=1,2,…,r。每一水平下的指标全体便构成一个总体，共有r个总体，这时比较各个总体的问题就变成比较各个总体的均值是否相同的问题了，即要检验如下假设是否为真：第6页，共92页，2023年，2月20日，星期四当不真时，表示不同水平下的指标的均值有显著差异，此时称因子A是显著的，否则称因子A不显著。检验这一假设的分析方法便是方差分析。第7页，共92页，2023年，2月20日，星期四方差分析的三个基本假定1.在水平下，指标服从正态分布；2.在不同水平下，各方差相等；3.各数据相互独立。第8页，共92页，2023年，2月20日，星期四设在一个试验中只考察一个因子A，它有r个水平，在每一水平下进行m次重复试验，其结果用表示，i=1,2,…,r。常常把数据列成如下表格形式：单因子试验数据表第9页，共92页，2023年，2月20日，星期四记第i水平下的数据均值为，总均值为。此时共有n=rm个数据，这n个数据不全相同，它们的波动（差异）可以用总离差平方和ST去表示记第i水平下的数据和为Ti，；第10页，共92页，2023年，2月20日，星期四引起数据波动（差异）的原因不外如下两个：一是由于因子A的水平不同，当假设H0不真时，各个水平下指标的均值不同，这必然会使试验结果不同，我们可以用组间离差平方和来表示，也称因子A的离差平方和：这里乘以m是因为每一水平下进行了m次试验。第11页，共92页，2023年，2月20日，星期四二是由于存在随机误差，即使在同一水平下获得的数据间也有差异，这是除了因子A的水平外的一切原因引起的，我们将它们归结为随机误差，可以用组内离差平方和表示：Se：也称为误差的离差平方和第12页，共92页，2023年，2月20日，星期四可以证明有如下平方和分解式：ST、SA、Se的自由度分别用、、表示，它们也有分解式：，其中：因子或误差的离差平方和与相应的自由度之比称为因子或误差的均方和，并分别记为：两者的比记为：第13页，共92页，2023年，2月20日，星期四当时认为在显著性水平上因子A是显著的。其中是自由度为的F分布的1-α分位数。单因子方差分析表

第14页，共92页，2023年，2月20日，星期四各个离差平方和的计算：

其中是第i个水平下的数据和；T表示所有n=rm个数据的总和。

第15页，共92页，2023年，2月20日，星期四进行方差分析的步骤如下：

（1）计算因子A的每一水平下数据的和T1，T2，…，Tr及总和T；

（2）计算各类数据的平方和；

（3）依次计算ST，SA，Se；

（4）填写方差分析表；

（5）对于给定的显著性水平α，将求得的F值与F分布表中的临界值比较，当时认为因子A是显著的，否则认为因子A是不显著的。

第16页，共92页，2023年，2月20日，星期四对上例的分析

（1）计算各类和：

每一水平下的数据和为：

数据的总和为T=1200

（2）计算各类平方和：

原始数据的平方和为：

每一水平下数据和的平方和为

第17页，共92页，2023年，2月20日，星期四（3）计算各离差平方和：

ST=121492-12002/12=1492，fT=3×4-1=11SA=485216/4-12002/12=1304,fA=3-1=2Se=1492-1304=188,fe=11-2=9第18页，共92页，2023年，2月20日，星期四（4）列方差分析表：

[例2.1-1]的方差分析表

第19页，共92页，2023年，2月20日，星期四（5）如果给定=0.05，从F分布表查得

由于F>4.26，所以在=0.05水平上结论是因子A是显著的。这表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。

当因子A是显著时，我们还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。在单因子试验的场合，第i个水平指标均值的估计为：

，

第20页，共92页，2023年，2月20日，星期四在本例中，三个工厂生产的零件的平均强度的的估计分别为：

由此可见，乙厂生产的零件的强度的均值最大，如果我们需要强度大的零件，那么购买乙厂的为好；而从工厂来讲，甲厂与丙厂应该设法提高零件的强度。

误差方差的估计：这里方差的估计是MSe。在本例中：的估计是20.9。

的估计是

[例2.1-2]略（见教材P92）第21页，共92页，2023年，2月20日，星期四三、重复数不等的情况若在每一水平下重复试验次数不同，假定在Ai水平下进行次试验，那么进行方差分析的步骤仍然同上，只是在计算中有两个改动：

第22页，共92页，2023年，2月20日，星期四例2.1-3某型号化油器原中小喉管的结构使油耗较大，为节约能源，设想了两种改进方案以降低油耗。油耗的多少用比油耗进行度量，现在对用各种结构的中小喉管制造的化油器分别测定其比油耗，数据如表所列，试问中小喉管的结构（记为因子A）对平均比油油耗的影响是否显著。（这里假定每一种结构下的油耗服从等方差的正态分布）

第23页，共92页，2023年，2月20日，星期四[例2.1-3]的试验结果

水平试验结果（比油耗-220）A1：原结构11.012.87.68.34.75.59.310.3A2：改进方案12.84.5-1.50.2A3：改进方案24.36.11.43.6（为简化计算，这里一切数据均减去220，不影响F比的计算及最后分析因子的显著性）

第24页，共92页，2023年，2月20日，星期四（1）各水平下的重复试验次数及数据和分别为：

A1：m1=8,T1=69.5A2：m2=4,T2=6.0A3：m3=4,T3=15.4总的试验次数n=16，数据的总和为T=90.9

第25页，共92页，2023年，2月20日，星期四（2）计算各类平方和：

（3）计算各离差平方和：

ST=757.41-516.43=240.98，fT=16-1=15SA=672.07-516.43=155.64,fA=3-1=2Se=240.98-155.64=85.34,fe=15-2=13第26页，共92页，2023年，2月20日，星期四（4）列方差分析表：

[例2.1-3]方差分析表

第27页，共92页，2023年，2月20日，星期四（5）如果给定=0.05，从F分布表查得

由于F>3.81，所以在α=0.05水平上我们的结论是因子A是显著的。这表明不同的中小喉管结构生产的化油器的平均比油耗有明显的差异。

第28页，共92页，2023年，2月20日，星期四我们还可以给出不同结构生产的化油器的平均比油耗的估计：

这里加上220是因为在原数据中减去了220的缘故。

由此可见，从比油耗的角度看，两种改进结构都比原来的好，特别是改进结构1。

在本例中误差方差的估计为6.56，标准差的估计为2.56。

第29页，共92页，2023年，2月20日，星期四第二节回归分析

例2.2-1合金的强度y与合金中的碳含量x有关。为了生产出强度满足顾客需要的合金，在冶炼时应该如何控制碳含量？如果在冶炼过程中通过化验得到了碳含量，能否预测合金的强度？

这时需要研究两个变量间的关系。首先是收集数据(xi,yi)，i=1,2,…,n。现从生产中收集到表2.2-1所示的数据。

第30页，共92页，2023年，2月20日，星期四表2.2-1数据表

第31页，共92页，2023年，2月20日，星期四一、散布图

6050400.150.200.10xy[例2.2-1]的散布图

第32页，共92页，2023年，2月20日，星期四二、相关系数

1．相关系数的定义

在散布图上n个点在一条直线附近，但又不全在一条直线上，称为两个变量有线性相关关系，可以用相关系数r去描述它们线性关系的密切程度

第33页，共92页，2023年，2月20日，星期四其中

第34页，共92页，2023年，2月20日，星期四性质：

表示n个点在一条直线上，这时两个变量间完全线性相关。

r>0表示当x增加时y也增大，称为正相关

r<0表示当x增加时y减小，称为负相关

r=0表示两个变量间没有线性相关关系，但并不排斥两者间有其它函数关系。

第35页，共92页，2023年，2月20日，星期四2．相关系数的检验

若记两个变量x和y理论的相关系数为，其中x为一般变量，y服从等方差的正态分布，则对给定的显著性水平，当可以认为两者间存在一定的线性相关关系，可以从表2.2-2中查出。（其中n为样本量）。

第36页，共92页，2023年，2月20日，星期四3．具体计算

求上例的相关系数：

步骤如下：

（1）计算变量x与y的数据和：

Tx==1.90,Ty==590.5

（2）计算各变量的平方和与乘积和：

第37页，共92页，2023年，2月20日，星期四（3）计算Lxx,Lyy,Lxy：

Lxy=95.9250-1.90×590.5/12=2.4292

Lxx=0.3194-1.902/12=0.0186

Lyy=29392.75-590.52/12=335.2292

（4）计算r：在=0.05时，，由于r>0.576，说明两个变量间有（正）线性相关关系。

第38页，共92页，2023年，2月20日，星期四四、一元线性回归方程

1.一元线性回归方程的求法：

一元线性回归方程的表达式为

其中a与b使下列离差平方和达到最小：

通过微分学原理，可知

，

称这种估计为最小二乘估计。

b称为回归系数；a一般称为常数项。

第39页，共92页，2023年，2月20日，星期四求一元线性回归方程的步骤如下：

（1）计算变量x与y的数据和Tx，Ty；（2）计算各变量的平方和与乘积和；（3）计算Lxx,Lxy；（4）求出b与a；第40页，共92页，2023年，2月20日，星期四利用前面的数据，可得：

b=2.4392/0.0186=130.6022

a=590.5/12-130.6022×1.90/12=28.5297

（5）写出回归方程：

画出的回归直线一定通过（0，a）与两点

上例：

或第41页，共92页，2023年，2月20日，星期四2.回归方程的显著性检验

有两种方法：

一是用上述的相关系数；

二是用方差分析方法（为便于推广到多元线性回归的场合），将总的离差平方和分解成两个部分：回归平方和与离差平方和。

第42页，共92页，2023年，2月20日，星期四总的离差平方和：

回归平方和：

离差平方和：

且有ST=SR+SE，其中

它们的自由度分别为：

fT=n-1，fR=1，fE=n-2=fT-fR

第43页，共92页，2023年，2月20日，星期四计算F比，

对给定的显著性水平，当时认为回归方程是显著的，即回归方程是有意义的。一般也列成方差分析表。

第44页，共92页，2023年，2月20日，星期四对上面的例子，作方差分析的步骤如下：

根据前面的计算

（1）计算各类平方和：

ST=Lyy=335.2292，fT=12-1=11SR=bLxy=130.6022×2.4292=317.2589，fR=1SE=335.2292-317.2589=17.9703，fE=11-1=10

第45页，共92页，2023年，2月20日，星期四（2）列方差分析表：

[例2.2-1]的方差分析表

第46页，共92页，2023年，2月20日，星期四对给定的显著性水平=0.05，有

F0.95(1,10)=4.96

由于F>4.96，所以在0.05水平上认为回归方程是显著的（有意义的）。

第47页，共92页，2023年，2月20日，星期四3．利用回归方程进行预测

对给定的，y的预测值为

概率为的y的预测区间是

其中

当n较大，与相差不大，那么可给出近似的预测区间，此时

第48页，共92页，2023年，2月20日，星期四进行预测的步骤如下：

（1）对给出的x0求预测值

上例，设x0=0.16，则

（2）求的估计

上例有

第49页，共92页，2023年，2月20日，星期四（3）求

上例n=12，如果求概率为95%的预测区间，那么t0.975(10)=2.228，所以

（4）写出预测区间

上例为(49.43-3.11,49.43+3.11)=(46.32,52.54)

第50页，共92页，2023年，2月20日，星期四由于u0.975=1.96，故概率为0.95的近似的预测区间为：∵∴所求区间：（49.43-2.63，49.43+2.63）=（46.80，52.06）相差较大的原因总n较小。第51页，共92页，2023年，2月20日，星期四四、可化为一元线性回归的曲线回归在两个重复的散布图上，n个点的散布不一定都在一条直线附近波动，有时可能在某条曲线附近波动，这时以建立曲线回方程为好。

1.确定曲线回归方程形式

2.曲线回归方程中参数的估计

通过适当的变换，化为一元线性回归的形式，再利用一元线性回归中的最小二乘估计方法获得。

第52页，共92页，2023年，2月20日，星期四回归曲线的形式：（1），（a>0，b>0）（2），（b>0）（3），（b>0）（4），（b>0）第53页，共92页，2023年，2月20日，星期四3.曲线回归方程的比较

常用的比较准则：

（1）要求相关指数R大，其平方也称为决定系数，它被定义为：

（2）要求剩余标准差s小，它被定义为：

第54页，共92页，2023年，2月20日，星期四第三节试验设计

一、试验设计的基本概念与正交表

（一）试验设计

多因素试验遇到的最大困难是试验次数太多，若十个因素对产品质量有影响，每个因素取两个不同状态进行比较，有210=1024、如果每个因素取三个不同状态310=59049个不同的试验条件

第55页，共92页，2023年，2月20日，星期四选择部分条件进行试验，再通过数据分析来寻找好的条件，这便是试验设计问题。通过少量的试验获得较多的信息，达到试验的目的。

利用正交表进行试验设计的方法就是正交试验设计。

第56页，共92页，2023年，2月20日，星期四（二）正交表

第57页，共92页，2023年，2月20日，星期四“L”表示正交表，“9”是表的行数，在试验中表示试验的条件数，“4”是列数，在试验中表示可以安排的因子的最多个数，“3”是表的主体只有三个不同数字，在试验中表示每一因子可以取的水平数。

第58页，共92页，2023年，2月20日，星期四正交表具有正交性，这是指它有如下两个特点：

（1）每列中每个数字重复次数相同。

在表L9(34)中，每列有3个不同数字：1,2,3，每一个出现3次。

（2）将任意两列的同行数字看成一个数对，那么一切可能数对重复次数相同。

在表L9(34)中，任意两列有9种可能的数对：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)每一对出现一次。

第59页，共92页，2023年，2月20日，星期四常用的正交表有两大类

（1）一类正交表的行数n，列数p，水平数q间有如下关系：

n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)

如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以考察因子间的交互作用。

（2）另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足上述的两个关系

如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等

这类正交表不能用来考察因子间的交互作用

常用正交表见附录第60页，共92页，2023年，2月20日，星期四二、无交互作用的正交设计与数据分析

试验设计一般有四个步骤：

1.试验设计2.进行试验获得试验结果3.数据分析4.验证试验第61页，共92页，2023年，2月20日，星期四例2.3-1磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高磁鼓电机的输出力矩。

第62页，共92页，2023年，2月20日，星期四（一）试验的设计

在安排试验时，一般应考虑如下几步：

（1）明确试验目的

（2）明确试验指标

（3）确定因子与水平

（4）选用合适的正交表,进行表头设计，列出试验计划

第63页，共92页，2023年，2月20日，星期四在本例中：

试验目的：提高磁鼓电机的输出力矩

试验指标：输出力矩

确定因子与水平：经分析影响输出力矩的可能因子及水平见表2.3-2

表2.3-2因子水平表第64页，共92页，2023年，2月20日，星期四选表：首先根据因子的水平数，找出一类正交表

再根据因子的个数确定具体的表

把因子放到表的列上去，称为表头设计把放因子的列中的数字改为因子的真实水平，便成为一张试验计划表，每一行便是一个试验条件。在正交设计中n个试验条件是一起给出的的，称为“整体设计”，并且均匀分布在试验空间中。表头设计ABC列号

1234第65页，共92页，2023年，2月20日，星期四试验计划与试验结果

第66页，共92页，2023年，2月20日，星期四9个试验点的分布

3C3C2C1A115798642A2A3B1B2B3第67页，共92页，2023年，2月20日，星期四（二）进行试验，并记录试验结果

在进行试验时，要注意几点：

1.除了所考察的因子外的其它条件，尽可能保持相同

2.试验次序最好要随机化

3.必要时可以设置区组因子

第68页，共92页，2023年，2月20日，星期四（三）数据分析

1.数据的直观分析

（1）寻找最好的试验条件

在A1水平下进行了三次试验：#1，#2，#3，而在这三次试验中因子B的三个水平各进行了一次试验，因子C的三个水平也各进行了一次试验。

在A2水平下进行了三次试验：#4，#5，#6，在这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次试验。

在A3水平下进行了三次试验：#7，#8，#9，在这三次试验中因子B与C的三个水平各进行了一次试验。

第69页，共92页，2023年，2月20日，星期四将全部试验分成三个组，那么这三组数据间的差异就反映了因子A的三个水平的差异，为此计算各组数据的和与平均：

T1=y1+y2+y3=160+215+180=555

=T1/3=185

T2=y4+y5+y6=168+236+190=594

=T2/3=198

T3=y7+y8+y9=157+205+140=502

=T3/3=167.3

同理

对因子B与C将数据分成三组分别比较

第70页，共92页，2023年，2月20日，星期四所有计算列在下面的计算表中

例2.3-1直观分析计算表

第71页，共92页，2023年，2月20日，星期四（2）各因子对指标影响程度大小的分析极差的大小反映了因子水平改变时对试验结果的影响大小。这里因子的极差是指各水平平均值的最大值与最小值之差，譬如对因子A来讲：

RA=198－167.3=30.7

其它的结果也列在上表中。从三个因子的极差可知因子B的影响最大，其次是因子A，而因子C的影响最小。

第72页，共92页，2023年，2月20日，星期四（3）各因子不同水平对指标的影响图从图上可以明显地看出每一因子的最好水平A2，B2，C3，也可以看出每个因子对指标影响的大小RB>RA>RC。

CBA22020519017516090011001300101112708090RARBRC图2.3-2因子各水平对输出力矩的影响

第73页，共92页，2023年，2月20日，星期四由于正交表的特点，使试验条件均匀分布在试验空间中，因此使数据间具有整齐可比性，上述的直观分析可以进行。但是极差大到什么程度可以认为水平的差异确实是有影响的呢？

2.数据的方差分析

要把引起数据波动的原因进行分解，数据的波动可以用离差平方和来表示。

第74页，共92页，2023年，2月20日，星期四正交表中第j列的离差平方和的计算公式：

其中Tij为第j列第i水平的数据和，T为数据总和，n为正交表的行数，q为该列的水平数

该列表头是哪个因子，则该Sj即为该因子的离差平方和，譬如SA=S1

正交表总的离差平方和为：

在这里有：第75页，共92页，2023年，2月20日，星期四[例2.3-1]的方差分析计算表第76页，共92页，2023年，2月20日，星期四第4列上没有放因子，称为空白列。S4仅反映由误差造成的数据波动，称为误差平方和。Se=S4利用可以验证平方和的计算是否正确。第77页，共92页，2023年，2月20日，星期四[例2.3-1]的方差分析表因子A与B在显著性0.10与0.05上都是显著的，而因子C不显著。第78页，共92页，2023年，2月20日，星期四3.最佳条件的选择对显著因子应该取最好的水平；对不显著因子的水平可以任意选取，在实际中通常从降低成本、操作方便等角度加以选择。上面的例子中对因子A与B应该选择A2B2，因子C可以任选，譬如为节约材料可选择C1。第79页，共92页，2023年，2月20日，星期四4.贡献率分析方法当试验指标不服从正态分布时,进行方差分析的依据就不够充足,此时可通过比较各因子的“贡献率”来衡量因子作用的大小。由于S因中除因子的效应外，还包含误差，从而称S因-f因Ve为因子的纯离差平方和，将因子的纯离差平方和与ST的比称为因子的贡献率。（四）验证试验对A2B2C1进行三次试验，结果为：2