高考数学知识点总结

高考数学知识点总结(一)集合基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为A€A；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果A€B，同时B€A，那么A=B.如果A€B，B€C，那么A€C.［注］:®Z=｛整数｝(”) Z=｛全体整数｝(X)已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N,,则CsA=｛0｝)空集的补集是全集.若集合厶=集合B，则CBA=0，CAB=0CS(CAB)=D (注：CAB=0).①((x，y)Ixy=0，x^R，y^R｝坐标轴上的点集.｛(x,y)lxy<0，xER,yER„二、四象限的点集.｛(x,y)lxy>0,xER，yER｝一、三象限的点集.［注］：①对方程组解的集合应是点集.例：*y=3解的集合｛(2,1)｝.2x-3y=1②点集与数集的交集是。.(例：A=｛(x,y)ly=x+1｝B=｛yly=x2+1｝则AHB=0)①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n—1个.③n个元素的非空真子集有2n—2个.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题=逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题=逆否命题.例：①若a,b<5,贝Ua<2或b<3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3,则a+b=5,成立，所以此命题为真.②x<1且y<2,主二x,y<3.解：逆否：x+y=3七'"x=1或y=2.x<1且y<2 x,y<3,故x,y<3是x<1且y<2的既不是充分,又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.例：若xa5,nxa5或xy2.集合运算：交、并、补.交：厶{工丨*EA,且xeB}并：AU8o{*丨xeA或xeB}补：CA€{xeU,且x,A}U主要性质和运算律包含关系：A匸A,①匸A,A匸U,A匸U,UA匸B,B匸C…A匸C;Al呉4厶口具;AUgA,A\JB^B.等价关系：A匸B€AnK=AoAUK=K0A\JB=Uu集合的运算律：交换律：AnB=BnA;AuB=BUA.结合律：(anB)nc=an(bnc)；(auB)uc=au(buc)分配律：.an(buc)=(anB)u(anc)；au(bnc)=(auB)n(auc)0-1律：①门厶=①，①u厶厶等幕律：AnA=A,AuA=A.求补律：ACCA二eAUCA=UCCU=eCCe二UU U U U反演律：Cu(ACB)=(CnA)U(CdB) Cd(AUB)=(CdA)C(CdB)有限集的元素个数 U U定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card(A)规定card(e)=0.基本公式：(1)card(AU8)=card(A)+card(B)-card(Ap|B)⑵card(AU8UC)=car^A+card(B)+card(C)-card(Ap|B)-card(BQC)-card(Cp|A)+card(Ap|BplC)(3)card(CuA)=card(U)-card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸整式不等式的解法根轴法(零点分段法)将不等式化为a(x-x)(x-x)・・・(x-x)〉0(〈0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为0 1 2 m了统一方便)求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么？)；若不等式(X的系数化“+”后)是“〉0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等

式是“<0”，则找“线”在X轴下方的区间.■Ox1m-3Xn-1■Ox1m-3Xn-1>x(自右向左正负相间)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"则不等式,axn~1,axn~2,…,a>0(<0)(a>0)的解可以根据各区间的符号0 1 2 n 0确定.特例①一元一次不等式ax〉b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.„>0„=0„<0二次函数y=ax2,bx,c(a>0)的图象Kv-1一兀二次方程ax2,bx,c=0(a>0的根有两相异实根x,x(x<x)1 2 1 2有两相等实根bx=x=-——1 2 2a无实根ax2,bx,c>0(a>0)的解集x<x或x>x}1 2Ixx«[2aJRax2,bx,c<0(a>0)的解集4x<x<x}1 200TOC\o"1-5"\h\z分式不等式的解法\o"CurrentDocument"f(x) f(x) f(x) f(x)(1)标准化：移项通分化为半〉0(或竺<0)；牛20(或牛W0)的形式,\o"CurrentDocument"g(x) g(x) g(x) g(x)f(x) f(x)(2)转化为整式不等式(组)>0“f(x)g(x)>0^-'0“<g(x) g(x)含绝对值不等式的解法公式法：|ax,b<c，与|ax,b\>c(c>0)型的不等式的解法.定义法：用“零点分区间法”分类讨论.几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.一元二次方程根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)(1)根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.(2)根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.映射与函数映射与一一映射函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.反函数反函数的定义设函数y= A)的值域是c,根据这个函数中x,y的关系，用y把X表示出，得到x=(P(y).若对于y在C中的任何一个值，通过x=(P(y),x在A中都有唯一的值和它对应，那么,x=(P(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x=(P(y)(yeC)叫做函数>=f(X)(XC人)的反函数，记作=习惯上改写成函数的性质函数的单调性定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X],X2⑴若当XX<X2时，都有RxJVfg),则说f(X)在这个区间上是增函数；⑵若当X1<X2时，都有f(X])>f(X2),则说f(X)在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.函数的奇偶性偈函数的定义:如果对于函数甲)的定义域内任竟个犯都有那么函数Rx)就叫做偶函数.是偶函數3心=六-力-/(M)3。桀=奇函数的定义，细果对「函数HX)的定义域内任意-个Xi都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.f⑴是奇函成：—/(-X)=-ywo/(F+ 冬2=S)*0)正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 /(尤)为奇函数或偶函数的必要不充分条件； (2)f(-x)=f(x)或f(-x)€-f(x)是定义域上的恒等式。2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反・如果f(x)是偶函数，则f(x)=f(IxI),反之亦成立。若奇函数在x=。时有意义，则f(。)=0。奇函数，偶函数：⑴偶函数：f(-x)=f(x)设(a,b)为偶函数上一点，则(—a,b)也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：y=x2,1在［1,-1)上不是偶函数.满足f(-x)=f(x)，或f(-x)-f(x)=0，若f(x)尹0时，=1.f(-x)⑵奇函数：f(-x)=-f(x)设(a,b)为奇函数上一点，则(-a,-b)也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：y=x3在［1,-1)上不是奇函数.满足f(-x)=-f(x)，或f(-x),f(x)=0，若f(x)尹0时，f(x)=-1.f(-x)对称变换：①y=f(x)―y轴对称＞y=f(—x)②y=f(x)―x轴对称＞y=—f(x)③y=f(x)-原点对称＞y=-f(—x)判断函数单调性(定义)作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：:'~: '~ (x-x)(x,x)f(x1)-f(x2)=qx2,b2-Vx2,b2= ~12x2,b2,、：x2,b2x 1在进行讨论.外层函数的定义域是内层函数的值域.x例如：已知函数f(x)=1+ 的定义域为A,函数f［f(x)］的定义域是8,则集合A与1一x集合BW间的关系是 .解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域eR，故BeR，而A={xIx尹1},故BoA.常用变换：①f(x,y)=f(x)f(y)=f(x-y)= .f(y)

证：=S= ,…-州⑴②f(x)=f(x)-f(y)=f(x-y)=f(x),f(y)y证：f(x)=f(--y)=f(x),f(y)yy12.⑴熟悉常用函数图象：例：y=21-I一IxI关于y轴对称.y=I2x2y=I2x2,2x-1I一IyI关于x轴对称.⑵熟悉分式图象：例：y=2x*‘=2,——<定义域(xIx-3 x-3值域（yIy尹2,yeR}一值域丰x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数y=ax（a＞。且a"1）的图象和性质对数函数y=logax的图象和性质:对数运算：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"log(M-N)，logM+logN⑴a a aM\o"CurrentDocument"log一,logM-logNaNa alogMn,nlogCtM)2)aa: 1log logM\o"CurrentDocument"a aalogaN,N换底公式：ogN,1°%Nalogab推论：logb-logc-loga,1a bc„loga-loga-...-loga,logaa2a3 a、nan1 2 n-1 1(以上M€0,N€0,a€0,a丰1,b€0,b。1,c€0,c。1,^,^...a€0且丰1)注⑴：当a,by0时，log(a-b),log(-a)+log(-b).⑵：当ma0时，取"+”，当n是偶数时且My0时，Mna0，而My0，故取“一”.例如：logx2„2logx(2logx中x>0而logx2中xER).a a a a(2)y,ax(aa0,a„1)与y,logx互为反函数.当aa1时，y,logax的a值越大，越靠近x轴；当0YaY1时，则相反.(四)方法总结(1).相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.log(M-N),logM+logN(I)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a aMlog——,logM-logNaN a alogMn,nlog(…M)2)aalog^M logMa na⑴对数运算：alogaN,N换底公式：logN,aloga推论：logb-logc-loga,1abc„loga-loga-...-loga,logaai2 a23 an-1n ain(以上M€0,N€0,a€0,a。1,b€0,b。1,c€0,c。1,a,a...a€0且。1)1 2n注⑴：当a,bY0时，log(a-b),log(-a)+log(-b).⑵：当m€0时，取"+”，当n是偶数时且MY0时，Mn€0，而MY0，故取“一”.例如：logx2尹2logx,/(2logx中x>0而logx2中x^R).a a a a⑵y,ax(a€0,a。1)与y,logx互为反函数.当a€1时，y,logax的a值越大，越靠近x轴；当0YaY1时，则相反.(2).函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.(5).函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法;⑤不等式法；⑥函数的单调性法.(6).单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且X1〈X2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较.(7).奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)：f(-X)=T为奇函数.

⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.1.⑴等差、等比数列:等差数列等比数列定义a，一a=dn„1 na+1=q(q丰0)an递推公式a=a+d；a=a+mdnn-1 nm-na=aq；a=aqn-mn n-1 n m通项公式a=a+(n-1)dn 1a=aqn-(a,q。0)中项a+aA=―n-k n„k2(n,k<N*,n€k€0)JG=+Jaa(aa€0)n-kn„k n-kn„k(n,k<N*,n€k€0)前n项和S=—(a+a)n2 1 n„n(n-1)7S一na+ dn1 2S=Vnna£q=1*a1-qn丿a-aq\ =^~^~(q>2)1-q 1-q重要性质a+a=a+a(m,n,p,q<N*,m n p qm+n=p+q)a-a=a-a(m,n,p,q<N*,m+n=p+q)mn pq质等差数列等比数列定义{a}为厶-P,a-a=d(常数)n n„1na{a}为G-P,一也=q(常数)n an通项公式a=a+(n-1)d=a+(n-k)d=dn+a-dn 1 k 1a=aqn-1=aqn-kn 1 k求和公式n(a+a) n(n-1)rs= 1 『=na+ d— 2 1 2de/ d、一一n2+(a-—)n2 12S=<nna (q=1)a(1-qn) a-aq ,八—=―三 (q21)[1-q 1-q中项公式a+bA= 推广：2a=a+a2 nn-m n+mG2=ab。推广：a2=a xan n-mn+mi性1若m+n=p+q贝a+a=a+am n p q若m+n=p+q，贝aa=aa。mn pq

2若｛k｝成A.P(其中k€N)则｛a｝n n kn也为A.P。若｛k｝成等比数列（其中k€N），n n则｛a｝成等比数列。kn3.s,s一s,s一s成等差数列。n2n n3n 2ns,s一s,s一s成等比数列。n2n n3n 2n47a一aa一a/ 、d=—n 1= n(m,n)n—1 m—na aqn-1=―n ， qn-m=——『a a1 m(m,n)5⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：a一a =d（n„2,d为常数）n n-12a=a+a（n>2）n n+1 n-1 a=kn+b（n,k为常数）.n⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法：a=aq（n>2,q为常数，且,0）n n-1a2=a-a（n>2,aaa ,0）①nn+1n-1 nn+1n-1注①：i.b=<-ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b=、•：ac a、b、c等比数列.ii.b=<ac（ac>0）—为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b=±、：ac一为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.b=±<0^且ac€0一为a、b、c等比数列的充要.注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个.③a=cqn(c,q为非零常数).n=a1(n=1)-sn-1(n>2)TOC\o"1-5"\h\z④正数列｛=a1(n=1)-sn-1(n>2)⑷数列｛a｝的前n项和S与通项a的关系：ann n n［注］:①a=a+（n-1）d=nd+（a-d）（d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数n1 1列也是等差数列）一若d不为0,则是等差数列充分条件）.'d、 'd、d②等差｛a｝前n项和S=An2+Bn=—n2+a-—n——可以为零也可不为零一为等差n n 2 12 9‘2丿 ‘ 2丿2的充要条件一若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍2k2k S偶 an+1偶=an若等差数列的项数为2n(„N+S偶 an+1偶=an 若等差数列的项数为2n-1C„N+)，则S=(2n-1)a,2n-1 nn代入n到2n-1得到U所求项数.3.常用公式：①1+2+3•••+〃=n"+‘)2②12+22+32+...n2=n"+出n+1) ③13+23+33…n3=］也貝¥［注］：熟悉常用通项：9,99,999,na=10〃-1；5,55,555,...na=-n-1)n n9等比数列的前n项和公式的常见应用题： ⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产 量成等比数列，公比为1+r.其中第n年产量为a(1+r)n-1，且过n年后总产量为:a+a(1+r)+a(1+r)2+...+a(1+r)n-1=a~a "*"',1-(1+r)⑵银行部门中按复利计算问题.例如：一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按 a(1+r)[1-(1+r)12]1-(1+r)复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1+r)n元,因此，第二年年初可存款：a(1+r)12+a(1+r)11+a(1+a(1+r)[1-(1+r)12]1-(1+r) xG+r)m-1 ar。+r xG+r)m-1 ar。+r nx=—\—aG+r)m=xG+r)m-1+xG+r)m-2+ ....xG+r)+xnaG+r+r^n—1数列常见的几种形式： ⑴a=pa+qa(p、q为二阶常数)—用特证根方法求解.TOC\o"1-5"\h\zn+2 n+1 n具体步骤:①写出特征方程x2=Px+q(x2对应a ,对应a)，并设二根x,x②若xxn+2 n+1 12 12可设a=cxn+cxn，若x=x可设a=(c+cn)xn•③中初始值aa确定ccacxcx x_x a\cc，za_,a c•n. 11 22 1 2 n、12，1 1 2 12 ⑵a=Pa「+r(P、r为常数)r用①转化等差，等比数列•②逐项选代;③消去常数n 转化为a=Pa+qa的形式，再用特征根方法求a;④a=c+cPn-1(公式法),c,cn+2 n+1 n n n12 12由a,a确定.12转化等差，等比：a+x=P(a+x),a=Pa+Px一x,x=—-—.TOC\o"1-5"\h\zn+1 n n+1 n P-1选代法：a=Pa+r=P(Pa+r)+r=,a=(a+—-—)Pn-1一一-—=(a+x)Pn-1-xn n-1 n一2 n1P-1 P-1 1=Pn-1a+Pn一2„r+ +Pr+r.1a=Pa+rI用特征方程求解：n+1 n ■相减,,a -a =Pa-Pa ,a =（P+1） a -Pa .a=Pa+r n+1nn n-1 n+1 n n-1n n-1丿由选代法推导结果：c=—-—，c=a+—-—，a=cPn-1+c=（a+—-—）Pn-1+——.11-P 21P-1 n2 1 1P-1 1-P6,几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为S，在dY0时，有最大值.如何确定使S取最大值时的n值，有nn两种方法：TOC\o"1-5"\h\z一是求使a>0,aY0，成立的n值；二是由S=—n2+（a-—）n利用二次函数的性质求nn n+1 n2 12的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和,例如：1」,3丄,...（2〃-1）丄,…24 2n⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d，d的最小公倍数.1 2判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法:对于nN2的任意自然数,/a、验证a-a（―—）为同一常数。（2）通项公式法。（3）中项公式法：验证n n-1an-12a=a+a （a2=aa）neN都成立。n+1 n n-2n+1 nn+2fa>0在等差数列｛a｝中，有关S的最值问题：（1）当a>0,d<0时，满足<皿/八的项数mn n 1 la<0m+1fa<0使得s取最大值.（2）当a<0,d>0时，满足<m、八的项数m使得s取最小值。在解含绝m 1 la>0 mm+1对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。（三）、数列求和的常用方法公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。裂项相消法:适用于< 卜其中｛a｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部laaInnn+1“分无理数列、含阶乘的数列等。错位相减法:适用于Lb｝其中｛a｝是等差数列，如｝是各项不为0的等比数列。nn n n

倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.常用结论n(n+1):l+2+3+...+n=一-一21+3+5+...+(2n-1)=n23)13+23+…+n3=2n(n+1)3)13+23+…+n3=2n(n+1)4)12+22+32+ +n2=丄n(n+1)(2n+1)65)n(n+1) nn+1 1——丄)n(n+2) 2nn+26)1 1 1——(一--)pqq—ppq(p<q)三角函数知识要点(0°<a<360°)终边相同的角的集合(角a与角<的终边重合)：I<=kx360°+a,ke1.①与a终边在％轴上的角的集合：|I<=kx18G。,keZ^终边在y轴上的角的集合：I<=kx18G。+90。,kez}终边在坐标轴上的角的集合：|I<=kx90。,keZ^终边在轴上的角的集合：iI<=kX18G°+45。,ke终边在y=-%轴上的角的集合：I<=kx18G。-45。,keZ^SIN\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、四象限一半所在区域若角a与角<的终边关于％轴对称，则角a与角<的关系：a=360°k-<若角a与角<的终边关于y轴对称，则角a与角<的关系：a=360°k+180。-<若角a与角<的终边在一条直线上，则角a与角<的关系：a=180°k+<⑩角a与角<的终边互相垂直，则角a与角<的关系：a=360°k+<±90°2.角度与弧度的互换关系：360°=2‘180°=‘1°=0.017451=57.30。=57。18，注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad=180°^57.30°=57°18'. 1°=工0.01745(rad)‘ 180⑶若o<x<2，则sinx<x<tanx三角函数定义域„f(x)—sinxixIx…f(x)—cosxlxIx…f(x)—tanxV口 1 'xIx…R且x尹k兀+—兀,k…Z〔一 2 、J1f(x)—cotxixIx…R且x尹k兀,k…Z:f(x)—secxV口 1 'xIx…R且x尹k兀+—兀,k…Z〔, 2 、〕1f(x)—cscxlxIx…R且x尹k兀,k…Z„3、弧长公式：I—IaI'Y.扇形面积公式：，扇形：2—-lr=-I，I'r2

24、三角函数：设，是-原点的）一点P（x,y）-个任意角，在，的终边上任取（异于P3、弧长公式：I—IaI'Y.扇形面积公式：，扇形：2—-lr=-I，I'r2

24、三角函数：设，是-原点的）一点P（x,y）-个任意角，在，的终边上任取（异于P与原点的距离为r则cos,- tan，=~，r x5、三角函数在各象限的符号:x・ r・—' sec,=一 'y X(一全二正弦，1,CSC,——y三切四余弦)x正弦、余割yx正切、余切余弦、正割a的终边sin,—6、三角函数线正弦线：MP; 余弦线：OM正切线:16.几个重要结论⑴yAT.7.三角函数的定义域:cosinx>cos:sx>sinx|cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|-(2)y|sinx|8、同角三角函数的基本关系式：业J即，淄=顷,cos， sin,sec,'cos,—1tan,•cot,=1sec,'cos,—1sin2,+cos2,=1sec2，—tan2，=1csc2,-cot2,—19、诱导公式：把匝土a的三角函数化为a的三角函数，概括为:2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系sinx•cscx=1tanx=sinxcosxsin2x+cos2x=1cosx,secx=131x=cosxsinx1+tan2x=sec2xtanx•cotx=1公式组四1+cot2x=csc2x公式组五sin(兀+x)=-sinxsin(2,-x)=-sinxcos(兀+x)=-cosxcos(2,-x)=cosxtan(,+x)=tanxtan(2,-x)=-tanxcot(,+x)=cotxcot(2,-x)=-cotx公式组一（二）角与角之间的互换sin(兀一x)=sinxcos(,一x)=-cosxtan(,一x)=-tanxcot(,一x)=-cotx公式组二公式组三sin(2知+x)=sinxsin(-x)=-sinxcos(2k,+x)=cosxcos(-x)=cosxtan(2k,+x)=tanxtan(-x)=-tanxcot(2k,+x)=cotxcot(-x)=-cotx公式组六公式组一cos(a+„)=cosacos„-sinasin„ sincos(a-„)=cosacos„+sinasin„ cos公式组二=2sinacosa=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin(a+„)=sinacos„+cosasinsin(a-„)=sinacos„-cosasintan2a=2tana1一tan2asin1-cosa±i'tan(a+„)=tana+tan„1-tanatan„cos1+cosa± tan(a-„)=tana-tan„1+tanatan„tan.1一cosasina1一cosa公式组三2tan—2sina= 1+tan2—21—tan2一2cosa= +cosa1+cosasina公式组四f)sinacos„=—kin<a+„)+sin<a-„刀2cosasin„=—Cin<a+„)-sin(a-„)]2cosacos„=丄IcosCx+„)+cos<a-„H公式组五cos(—兀-a)=sinasin(2兀-a)=cosa'2 1sinasin„=-2tost邛)-cosG-„)] 响2,«)=顷仪cos(2兀+a)=-sinatan(—兀+a)=—cota2sin(2兀+a)=cosasina+sin„=2sin以+„cos22a+„.a-„sina-sin„=2cos sin 2

a+„cosa+cos„=2cos cos22

a+„.a-„cosa一cos„=-2sin sin __2 -sin15=COS75=^^'sin75。=cos15。='6+'2，tan15。=cot75。=2-、.3，tan75。=st15。=2+、3.\o"CurrentDocument"4 42tan—2tana= 1-tan2—2冗④y冗④y=sin（①x+,）的对称轴方程是x=kn—的对称轴方程是x= （k<Z）10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=Asinuox+,)(A、①>0)定义域RR<x1x<R且x力kn+丄冗,k<Z>£1x<R且x丰kn,k<Z}R值域[—1,+1][—1,+1]1 2 JRRLA,A〕周期性2n2nnn2nro奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当，莉,非奇非偶当,=0,奇函数单调性[-=+2kn,2n—+2kn]2上为增函数 ；[—+2kn,23na■,—+2kn]2上为减函数(k<Z)［（2k-1）i,2kn］ ，上为增函数［2kn,（2k+1丄］上为减函数（k<Z）—生+kn，生+kn］12 2丿上为增函数（k<Z）（kn,（k+1U上为减函数（k<Z）〜n ]2kn ,2 (A)(A),ro〜 12kn+—n-,2 (A)(一A)_ ro “上为增函数；- n ]2kn+——,2 (A)(A),roc, 32kn+-n—,2 (A)(—A)_ ro “上为减函数(k<Z)注意：①y=-sinx与y=sinx的单调性正好相反；y=-cosx与y=cosx的单调性也同样相反.一般地，若y=f（x）在［a,b］上递增（减），则y=-f（x）在［a,b］上递减（增）.y=Isinx\与y=Icosx|的周期是兀.y=sin(①x+,)或y=cos(rox+,)(①纟0)的周期T= .y=tanx的周期为2兀(T=^fT=“，如图，翻折无效).2 1=尸1=(k<Z)，对称中心(k兀,0)；y=cos(o)x+,)21，对称中心（kn+1兀。）；y=tan（ox+,）的对称中心2，号。）.y=cos2x—原点对称>y=—cos(-2x)=—cos2x兀 兀⑤当tan>-tanP=1,a+B=kn+—(k<Z)；tan>-tanP=—1,a—B=k兀+—(k<Z).2 2⑥y=cosx与y==sinx+二+2kn是同一函数，而⑥y=cosx与y=2丿

y„（皿…,）=sin（由+心1兀）=±c°s（g函数y=tanx在R上为增函数.（x）［只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域,y=tanx为增函数，同样也是错误的］.定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=f（x），奇函数：f（-x）=-f（x））奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函数，y=tan（x+丄兀）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若。ex的定义域，则f（x）一定有f（0）=0.（。右x的定义域，则无此性y-cos1x1y-cos1x1图象y=lcos2x+1/2l图象y=sin|x不是周期函数；y=|sinx|为周期函数（T=兀）；y=coS是周期函数（如图）；y=|cosx|为周期函数（T=兀）y=cos2x+1的周期为兀（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:2y=f（x）=5=f（x+k）,keR.⑩y=acosa+bsin。=•侦a2+b2sin（a+,）+cos,=—有v'a2+b2>|y|.a11、三角函数图象的作法：1）、几何法：2）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin（3x+q）的振幅|A|,周期T=丝，频率.=丄=@1，相位€x+,；初相,I€| T2兀（即当x=0时的相位）.（当A>0，«>0时以上公式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当IAI>1）或缩短（当0VIAI<1）至源来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|«|<1）或缩短（|«|>1）到原来的宀倍，得到y=sin«x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用€替换x）由y=sinx的图象上所有的点向左（当p>0）或向右（当p<0）平行移动E丨个单位,

得到y=sin(x+p)的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+p替换x)由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动丨b丨个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(«x+p)(A>0,«>0)(x^R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：卩的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx,它的定义域是［一1卩的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx,它的定义域是［一1,兀兀2‘2函数j=cosx,(XE［0,n］)的反应函数叫做反余弦函数，记作函数j=cosx,定义域是［一1，1］,值域是［0,兀］.的反函数叫做反正切函数，记作j=arctanx,它的定义域是(一函数y=tanx,……d,„xq-2m的反函数叫做反正切函数，记作j=arctanx,它的定义域是(一函数y=ctgx, ［xE(0,n)］的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx,它的定义域是(一8,+8)，值域是(0,n).II.竞赛知识要点一、反三角函数.1.反三角函数:⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin(-x)=-arcsinx,xgI-1,1(一注：sin(arcsinx)=x,xgI—1,1],arcsinxG定要注明定义域，若X注：sin(arcsinx)=x,xgI—1,1],arcsinxG兀兀2,2J⑵反余弦函数y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=兀+2k兀,xgL1,11注：①cos(arccosx)=x,xgL1,1‘，arccosxet),兀].②y=cosx是偶函数，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx为奇函数.兀兀⑶反正切函数：y=arctanx，定义域(-s’”s)，值域(—一,—),y=arctanx是奇函数,22arctan(—x)=一arctanx，xG .注：tan(arctanx)=x,xG(-•,”•).兀兀⑷反余切函数：y=arccotx，定义域(—•,”•)，值域(—一,—),y=arccotx是非奇非2<2<偶.arccot(-x)+arccot(x)=兀+2k兀,xG(-•,”•).注：①cot(arccotx)=x,xG(-•,”•).②y=arcsinx与y=arcsin(1-x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇而y=arccosx与y=arccotx非奇非偶但满足arccos(—x)+arccosx=兀+2k兀,xg[-1,1]arccotx+arccot(—x)=兀+2kR,xg[-1,1].

⑵正弦、余弦、正切、余切函数的解集:0的取值范围解集①sinx=。的解集a的取值范围解集a的取值范围解集②COSX=Q的解集=1Ix=2kn+arcsina,k„Z}=1 ,xIx=2kn+arccosa,k„Z}<1Ix=kn+ l)karcsina,k„Z'<1I尤=kn+arccosa,k„Z}③tanx=a的解集：Ix=kn+arctana,k„Z}③cotx=a的解集:x=kn+arccota,k„二、三角恒等式.组一 sin2n+1a"cosacos2acos4a...cos2na= 2n+1sinasin3a=3sina-4sin3acos3a=4cos3a一3cosasin2a-sin2P=sinG+=cos2P一cos2aP)sinG-P)组二Haaaaasinacos—=cos—cos—cos—…cos—= 2k 2 4 8 2n ak=1 2nsin—2nEcos(x+kd)=cosx+cos(x+d)+…+cos(x+nd)=，讽(n+1)d)cos(x+时)k=0sindEsin(x+kd)=sinx+sin(x+d)+…+sin(x+nd)=&((n+1)d)sin(x+n)k=0sindt(公) tana+tanP+tany一tanatanPtanytan(a+p+y)=■: zz1一tanatanp一tanptany-tanytana组三三角函数不等式nsinx<x<tanx,x„(0,—)2f(x)=‘也x在(0,n)上是减函数x若A+B+C=n，则x2+y2+z2>2yzcosA+2xzcosB+2xycosC高中数学第五章-平面向量2.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法a=xi+yj=(x,y).⑶向量的长度：即向量的大小，记作丨aI.特殊的向量：零向量〃=。=I特殊的向量：零向量〃=。=IaI=0.单位向量〃为单位向量=IaI=1.0 0相等的向量：大小相等，方向相同(X],yp=(6)相反向量：a二bOb二一aOa+b二0⑺平行向重(共线向重)：方向相冋或相反的向重，称为平行向重•记作〃〃b.平行向重也称为共线向量.3.向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法平行四边形法则三角形法则—A—>a+b=(x+x,y+y)1212―►―►―►—►a+b=b+a—A ―A —A ―A ―A ―A(a+b)+c=a+(b+c)AB+BC=AC向量的减法三角形法则a-b=(x—x,y—y)1212a—b=a+(—b) A A 匸 ■ ■ IAB=—BA,OB—OA=AB数乘向量M是一个向量，满足：丨為i„ixiia1x>0时，xa与a同向； A —Ax<0时，xa与a异向；—►—►x=0时，xa„0.xa=(xx,xy)x(卩a)=。卩)a(x+卩)a=xa+卩ax(a+b)=xa+xba//b€a=xb向量的数量积a•b是一个数i.a=0或b=0时，—►―►a•b=0.a丰0且b丰0时,2一一一a,b=1aiib1cos(a,b)—>—>a•b=xx+yy12 12—►—► —►—►a•b=b•a(xa)•b=a•(xb)=x(a•b)—A —A —A —A—A —A—A(a+b)•c=a•c+b•ca2=iai2艮卩lal=Jx2+y2ia•bi<iaiibi■4.重要定理、公式平面向量基本定理e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数七，

入,使a=入e+入e.2 11 22 两个向量平行的充要条件a〃力=a=Xb(b哄0)=xy~xy=0.,r2 2」i两个向量垂直的充要条件a_LA=a•A=0=xx+yy=0.12丿M2线段的定比分点公式TOC\o"1-5"\h\z 9- V- V设点p分有向线段尸尸所成的比为入，即PP=XPP,则12 1 2渺=—矛+丄矛(线段的定比分点的向量公式)1+A1 1+A 2X,况x=——厂2,1+, (线段定比分点的坐标公式)y= .1,人当入=1时，得中点公式：x,xx—1 2,OP=1(OP+OP)或… 22 1 2 y，y\o"CurrentDocument"y= .〔 2平移公式设点P(x,y)按向量«=(h,k)平移后得到点P'(x‘，y‘), —— fx'=x,h,则OP=OP+a或(Iy—y，k.曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y一k=f(x一h)正、余弦定理正弦定理:sinAsinBsinC=2R.余弦定理：a2=b2+c2—2bccosA,b2=c2+a2—2cacosB,C2=a2+b2—2abcosC.三角形面积计算公式：设^ABC的三边为a,b,c,其高分别为h,hb，h,半周长为P,外接圆、内切圆的半径abc为R,r.①S=1/2ah=1/2bhb=1/2ch ②S=Pr ③S=abc/4R④S^=1/2sinC•ab=1/2ac•sinB=1/2cb•sinA ⑤S=P(P—a)P-b)P-c)[海伦公式/⑥S=1/2(b+c-a)口如下^]=1/2(b+a-c)r=1/2(a+c-b)rc b［注］：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心.如图:B图3图2图1中的I为saABC的内心,△=Pr图2中的1为Sm的一个旁心，S*2Cb+c-a)racN附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.⑸已知。。是△ABC的内切圆，若BC=a,AC=b,AB=c［注：sABC的半周长，即竺旦£2则：®AE=s-a=1/2(b+c-a)®BN=s-b=1/2(a+c-b)®FC=s-c=1/2(a+b-c)综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边(如图4).特例：已知在RtAABC,c为斜边，则内切圆半径r=£±土,ab (如图3).2 a+b+c(6)在AABC中，有下列等式成立tanA+tanB+tanC,tanAtanBtanC.证明：因为A+B,兀-C,所以tan(A+B),tan„i-C),所以tanA€tanB，-tanC,结论!1一tanAtanB(7)在AABC中，D是BC上任意一点，则AD2,AC2BD+Ab2BC-日口.dc.BC证明：在AABCD中，由余弦定理，有AD2,ab2+BD2-2-AB-BDcosB…①在AABC中，由余弦定理有cosB,AB2摄BC2…②，②代入①，化简可得，AD2,AC2BD+AB2BC—bd.DC(斯德瓦定理)BC①若ad是BC上的中线,②若ad是za的平分线,>,：bc.p„p-a),其中p为半周长;b+c图5c③若ad是BC上的高，hyp„p-a)„p-b)„p-c)，其中p为半周长.a⑻AABC的判定:C2,a2+b2€AABC为直角△€ZA+ZB=亚2c2<a2+b2€△ABC为钝角△€ZA+ZBV光2c2>a2+b2€△ABC为锐角△€ZA+ZB>生2附：证明：cosC，a2+b2c2，得在钝角△ABC中，cosCY0€a2+b2-c2Y0,€a2+b2€c22ab⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.|a+b2+a-b2,2（a2+印）空间向量空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量•⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下・ ■ ・一OB,OA+AB,a+bBA，OA-OB，a-bOP，la(人…R)运算律：⑴加法交换律：a+b,b+a⑵加法结合律：(&+b)+c，a+(b+c)⑶数乘分配律：人(a+b)，la+箱3.共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a〃b.当我们说向量a、b共线(或a//b)时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4.共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b己0)，a//b的充要条件是存在实数2,—►使a=2b.推论：如果i为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点o,点p在直线i上的充要条件是存在实数t满足等式OP=OA+1a.其中向量a叫做直线i的方向向量.向量与平面平行：已知平面a和向量a,作=U,如果直线OA平行于a或在a内，那么我们说向量a平行于平面，，记作:an，.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的+共面向量定理：如果两个向量口方不共线，p与向量为共面的充要条件是存在实数乙y使刀=宓+yR推论：空间一点尸位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对兀y，使—►—►—► —-—*—-—-MP=xMA+^[B或对空间任一点O，有OP^OM+xMA+^LB ①①式叫做平面MAB的向量表达式.7•空间向量基本定理：如果三个向量叫方（不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x,y,乙，使刀=血+ +推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数y,z，使—xOA+yOB+zOC*8.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量5b，在空间任取一点O，作OA=a,OB=B，则ZAOB叫做向量a与b的夹角，记作<久方>；且规定0 ><n，显然有〈久方>=<方0>；若一兀 一 一<a.b>=—，则称a与b互相垂直，记作：a丄b.29.向量的模：设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：Iai.10.向量的数量积:a-b=Ial・l方l・cos<a,b>.已知向量ab=a和轴i，e是i上与i同方向的单位向量，作点a在i上的射影a',作点B在i上的射影B，则祯叫做向量AB在轴i上或在e上的正射影. A ► ►可以证明AB的长度IA'B'1=1■■Icos<瓦9>=1办21.11.空间向量:数量:积的性质: ►>(1)刁•2=1丨cos<a.e>.(2)&丄人。在-b-0.(3)I矛2= .12.空间向量数量积运算律:（1）（為=為（命8）=&・（xB）.（2）$S=B.互（交换律）（3）a・（5+Q=a・B+a-c（分配律）.空间向量的坐标运算一.知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），v轴是纵轴（对应为纵轴），Z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a=(a1,a2,a3),b=(b,«,七)，则a+b-(a ±b ,a ±b ,a ±b )人a-(人a ,人a ,人a )(X gR)1 1 2 2 3 3 1 2 3a-b=aib1+a2b2+a3b3a〃b…a—人b,a—人b,a—人b(人gR)=—1——2——31 12 23 3 bbb1 2 3a丄b…a1b1+a2b2+a3b3=0M+a2b2+a3b3€€a-bcos<a,b>— , 1a1-1b1函2+a2+a2.，02+b2+b21 2 3 1 2 3②空间两点的距离公式：d-y'(x-X)2+(v-v)2+(z-z)2.■\ ) [/ 'Jo•/1z 1z（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面a，则称这个向量垂直于平面a，记作a丄a,如果a丄a那么向量a叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面a的法向量，AB是平面a的一条射线，其中Aea，则点B到平面a的距离为业主InI利用法向量求二面角的平面角定理：设n,n分别是二面角a-1-P中平面a,。的法向量,1 2则n,n所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n,n方向相同，则为补角，n,n12 12 12反方，则为其夹角）.证直线和平面平行定理：已知直线a々平面a，A-Bga,C-Dea，且CDE三点不共线,则a〃a的充要条件是存在有序实数对人•卩使AB-人CD+卩CE.（常设aB-人cD+卩CE求解人,卩若人,卩存在即证毕，若人,卩不存在，则直线AB与平面相交）.高中数学第六章■不等式（5）理解不等式丨a丨-丨b|W|a+b|W|a|+丨b丨§06.不等式知识要点不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：a一b>00a>b;a一b-0oa-b;a一b<0oa<b.（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形.不等式的基本性质（1） a>b0b<a（对称性）（2） a>b,b>cna>c（传递性）（3） a>bna+c>b+c（加法单调性） （4） a>b,c>dna+c>b+d（同向不等式相加）（5） a>b,c<dna一c>b一d（异向不等式相减）（6） a.>b,c>0nac>bc（7） a>b,c<0nac<bc（乘法单调性） （8） a>b>0,c>d>0nac>bd（同向不等式相乘） （9）a>b>0,0<c<dnab（异向不等式相除）cd (10)a>b,ab>0n-<-(倒数关系)ab（11） a>b>0nan>bn（neZ,且n>1）（平方法则）（12） a>b>0nna>nb（n&Z,且n>1）（开方法则） 几个重要不等式'1）若aeR,贝I」Ial>0,a2>0 （2） 若a、beR+,则a2+b2>2ab（或a2+b2>21abl>2ab）（当仅当a-b时取等号） （3） 如果a,b都是正数，那么侦<虫（当仅当a-b时取等号）2*极值定理：若x,yeR+,%+y=S,xy=P，则：①如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小；⑵如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等. 4若a、b、ceR+,则皿世>応（当仅当a-b-c时取等号）3 5若ab>0,则也+a>2（当仅当a-b时取等号）ab（6）a>0时，Ixl>a0x2>a20x<-a或x>a; Ixl<a0x2<a20-a<x<a

(7)若a、b„R测IIaI—IbII<1a,bl<laI+1bI几个著名不等式(1)平均不等式： 如果a,b都是正数，那么2一a+bTTab糸一+一ab取等号)即：平方平均N算术平均N几何平均N调和平均(a、b为正数)：特别地，ab<(B)2<竺世(当a=b时，(电)2=竺土=ab)2 2 2 22(a,b,c„R,a2(a,b,c„R,a=b=c时取等)幂平均不等式：a2+a2+...+a2>—(a+a+...+a)21 2 nn1 2 n注：例如：(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2).常用不等式的放缩法：①1—丄=_^y丄…丄—!(n>2)nn+1n(n+1)n2n(n—1)n—1n②Tn+1—n=—= ；Y——Y , =\~n—-jn—1(n>1)n+,n+1 27n vn+tn—1柯西不等式：若a,a2,a,a„R,b「b2,b3…,b„R测(ab+ab+ab+—+abj2<(^2+a2+a2+ +a2)(b2+b2+b2+—b2)TOC\o"1-5"\h\z11 22 33 nn 1 2 3 n1 2 3n当且仅当S…弓=%=...=4时取等号bbbb\o"CurrentDocument"12 3 n琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点匸x(x。尤)，有\o"CurrentDocument"1 2 1 2x+/f(x)+f(x)X+ f(x)+f(x)f( )<1 匸或f( )> 1 .2 2 2 2则称f(x)为凸(或凹)函数.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.不等式的解法整式不等式的解法(根轴法)・步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a#0)解的讨论.分式不等式的解法：先移项通分标准化，则壁〉0‘f(x)g(x)>0;壁>0‘卩⑴g(x)>0g(x) 八给 g(x) “g(x)。0无理不等式：转化为有理不等式求解-n定义域

⑰If(x)>g(x)o<g(x)„0或,€f⑴＞[g⑰If(x)>g(x)o<g(x)„0或,€f⑴＞[g⑴卩(4).指数不等式：转化为代数不等式、f(x)<[g(x)]2(4).指数不等式：转化为代数不等式af(x)>ag(x)(a>1)of(x)>g(x); af(x)>ag(x)(0<a<1)of(x)<g(x)(5)af(x)>b(a>0,b>0)of(x)-Iga>Igb(5)对数不等式：转化为代数不等式f(x)>0logf(x)>logg(x)(a>1)o<a ag(x)>0 ;loglogf(x)>logg(x)(a>1)o<a aa af(x)>g(x)(6)含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值； ②应用数形思想;③应用化归思想等价转化|f(x)|<g(x)oJg(x)>0八g()0[_g(x)<f(x)<g(x)If(x)l>g(x)og(x)<0(f(x),g(x)不同时为0)或[g(x)<0()或.()>()J° °J0 f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)注：常用不等式的解法举例(x为正数)：1 12 4①x(1—x)2=2-2x(1—x)(1—x)<2(3)3=27②〉<x(1—x2)n〉2<2x2(1-x2)(1-x2)<|(|)3<±n〉<罕类似于y=sinxcos2x=sinx(l—sin2x)，③|x+丄日xI+Pl(x与1同号，故取等)„2xxx直线和圆的方程知识要点―、直线方程.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与"^轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角