高中数学必修三《线性回归》练习题

线性回归练习题[A.基础达标]1．(2015·张掖高一检测)有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是()A．①③ B．②③C．② D．③解析：选C.①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系．2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是()A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系解析：选C.由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B，D错．3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，回归系数eq\o(b,\s\up6(^))()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：选C.当eq\o(b,\s\up6(^))＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但eq\o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.4．(2013·高考湖北卷) 四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：()①y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y与x负相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：选D.由正负相关性的定义知①④一定不正确．5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：选D.当x＝170时，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为58.79kg，故D不正确．6．已知一个回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，则eq\x\to(y)＝________．解析：因为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x，y)，所以eq\x\to(y)＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表，若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________.x24568y3040605070解析：设回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，易知eq\x\to(y)＝50，eq\x\to(x)＝5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－32.5＝17.5，即回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.58．对某台机器购置后的运营年限x(x＝1，2，3，…)与当年利润y的统计分析知具备线性相关关系，线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估计该台机器使用________年最合算．解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即eq\o(y,\s\up6(^))≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以该台机器使用8年最合算．答案：89．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－eq\f(33,4))2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．(2013·高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得eq\i\su(i＝1,10,yi)=80，eq\i\su(i＝1,10,yi)=20,eq\i\su(i＝1,10,xiyi)=184，eq\i\su(i＝1,10,xi2)=720.（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y＝bx＋a中，b=eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up6(-))eq\o(y,\s\up6(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up6(-))\s\up6(2))a=eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中为eq\o(x,\s\up6(－)),eq\o(y,\s\up6(－))样本的平均值，线性回归方程也可写为eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^))解：（1）由题意知n=10,eq\o(x,\s\up6(－))=eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8,eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2))=720-10×82=80,eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up9(-)),－beq\o(x,\s\up9(-)),＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[B.能力提升]1．回归直线方程的系数eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是最小二乘法估计中使函数Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))取得最小函数值时所满足的条件，其中Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))的表达式是()A.eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）) B.eq\i\su(i＝1,n,|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|2）)C.(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2 D.|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|解析：选A.用最小二乘法确定两变量之间的线性回归方程的思想，即求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))使n个样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）与直线y＝eq\o(a,\s\up6(^))+eq\o(b,\s\up6(^))x的“距离”的平方和最小，即使得Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))=(y1－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x1)2+(y2－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x2)2+…+(yn－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xn)2=eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）)达到最小，故选A.2．对于两个变量的散点图：①若所有点都落在某一函数曲线上，则变量之间具有函数关系；②若所有点都落在某一曲线附近，则变量之间具有相关关系；③若所有点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系；④若所有点都杂乱无章，则变量之间不具有相关关系．其中正确的是()A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：选D.①②③④四个说法全部正确．3．(2015·江西重点中学盟校联考)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为________．解析：由已知可计算求出eq\o(x,\s\up9(-))＝30，而回归直线方程必过点(eq\o(x,\s\up9(-))，eq\o(y,\s\up6(－)))，则eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，设模糊数字为a，则eq\f(a＋62＋75＋81＋89,5)＝75，计算得a＝68.答案：684．近年来，我国高等教育事业有了迅速发展，为了解某省从2000年到2014年18岁到24岁的青年人每年考入大学的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开统计．为了便于计算，把2000年编号为1，2001年编号为2，…，2014年编号为15，如果把年份从1到15作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.42x＋1.80；县镇：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72；城市：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.84x＋9.50(y的单位是万)．则下列说法中正确的是________．(把你认为正确说法的序号填上)①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入大学的人数约是上一年的2.32倍；③在这一阶段，城市组的大学入学人数增长最快；④0.42表示农村青年考入大学的人数以每年约4200人递增．解析：①由于三个组的线性回归方程中x的系数均为正数，故三个组的两个变量都是正相关关系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72的意义是县镇考入大学的人数每年大约比上一年增加23200人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归方程中，城市组所对应的方程的x的系数最大，表示城市组入学人数增加得最快，故③正确．答案：①③④5．现对x，y有如下观测数据：x1825303941424952y356788910(1)作出散点图；(2)试求y对x的线性回归方程．解：(1)散点图如下：(2)可求得x＝37，y＝7，eq\i\su(i＝1,8,x\o\al(2,i))=11920，eq\i\su(i＝1,8,x\o\al(,i))yi＝2257.设线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,8,xiyi)-8eq\o(x,\s\up6(-))eq\o(y,\s\up6(-)),eq\i\su(i＝1,8,x\o\al(2,i))-8eq\o(x,\s\up6(-))\s\up6(2))＝eq\f(2257－8×37×7,11920－8×372)＝eq\f(185,968)≈0.19，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,