奈奎斯特准则

奈奎斯特准则1第1页，共45页，2023年，2月20日，星期四奈奎斯特准则：实际系统的传输函数很难具有理想低通的形式。有没有其它形式的传输函数也能满足：把上式的积分区间(-∞,∞)用分段积分代替，每段长为2π/Tb，则上式可写成：t=nTb处过零，此即抽样位置2第2页，共45页，2023年，2月20日，星期四令ω′=ω-2mπ/Tb，变量代换后又可用ω代替ω′，则有引入等效系统传输函数:3第3页，共45页，2023年，2月20日，星期四t=nTb处过零，此即抽样位置4第4页，共45页，2023年，2月20日，星期四只要系统等效传输函数Heq(ω)具有理想低通形式，就能使冲激响应无码间干扰。这个结论被称作奈奎斯特准则（第一准则）等效传输函数的意思是：将H(ω)在ω轴上以2πRB为间隔分段，然后把各分段沿ω轴平移到(-πRB，πRB)区间内进行叠加。准则要求其叠加结果应当为一常数（不必一定是Tb）。5第5页，共45页，2023年，2月20日，星期四判断一个系统有无码间干扰，不仅要看它的传输函数经分段、平移、叠加后的等效传输函数是否具有理想低通形式，还要看等效传输函数的带宽是否与所设定的码率匹配。定义等效传输函数的带宽BN叫做奈奎斯特带宽。它与所设定的码率的关系为：BN=1/2Tb=RB/2或RB=2BNBN是无码间串扰的理想系统带宽，或者说基带传输的带宽最佳利用率为2波特/赫兹。6第6页，共45页，2023年，2月20日，星期四[例1]系统传输函数如图所示。问采用下列码率传输数据时有无码间串扰？(1)1000Baud；(2)2000Baud；(3)3000Baud。解：首先判断它能平移迭加得到理想低通形式；从而求得到BN=1000Hz，进而得到

RBmax=2000B;与各码率比较，判知(2)无码间串扰。(3)有码间串扰。而(1)的码率1000Baud是RBmax的1/2倍，也无码间串扰7第7页，共45页，2023年，2月20日，星期四[例2]要求以2/T波特的码率传输数据，问采用下列系统传输函数时是否有码间串扰？将H(ω)在ω轴上以4π/T为间隔分段，然后把各分段沿ω轴平移到(-2π/T,2π/T)区间内进行叠加。按准则要求，其叠加结果为一常数时则无码间干扰，不是常数则存在码间干扰。(1)(2)(4)存在码间干扰。(3)满足无码间干扰条件。8第8页，共45页，2023年，2月20日，星期四h(t)的主波峰跨越了3个Tb；而拖尾每Tb过零一次。h(t)并不满足的条件h(t)满足h(t)9第9页，共45页，2023年，2月20日，星期四若用h(t)作为传送波形，码元间隔为Tb，显然每个Tb并非都是过零点。在每个Tb时刻抽样，确有串扰。然而，在(n+1/2)Tb时刻抽样，串扰只发生在相邻两码元之间。每个抽样值等于该时刻本码元的值加上前一码元的值。相邻码元极性相反时贡献相抵消，相邻码元极性相同时贡献相迭加。以“111100”的响应波形为例：10第10页，共45页，2023年，2月20日，星期四蓝色红色金色11第11页，共45页，2023年，2月20日，星期四

6.5.1二元码的误比特率

码间串扰和信道噪声是影响接收端正确判决而造成误码的两个因素。本节则在无码间串扰的条件下，讨论噪声对基带信号传输的影响，即计算噪声引起的误码

12第12页，共45页，2023年，2月20日，星期四

一、误码的产生只考虑噪声的基带信号传输模型如下图所示。

假设无噪声的基带信号为s(t)，混入信号中的噪声为nR(t)，则接收滤波器的输出是信号加噪声的混合(抽样电平):x(t)=s(t)+nR(t)13第13页，共45页，2023年，2月20日，星期四抽样电平:x(t)=s(t)+nR(t)=A1+nR(t)，发送“1”码时

A0+nR(t)，发送“0”码时其中，A1为“1”码电平值，A0

为“0”码电平值。对单极性码，A1＝A，A0=0。对双极性码，A1＝A/2，A0=-A/2。设Vb为判决基准电平值（阈值电平），判决规则为：x(kTb)＞Vb，判为“1”码

x(kTb)＜Vb，判为“0”码14第14页，共45页，2023年，2月20日，星期四

15第15页，共45页，2023年，2月20日，星期四图(a)是无噪声影响时的信号波形。图(b)则是图(a)波形叠加上噪声后的混合波形。16第16页，共45页，2023年，2月20日，星期四噪声是引起误码的基本原因。由于随机噪声叠加于信号波形上，造成波形畸形。当噪声严重时，就会在抽样判决时，发生漏报（原“1”错判成“0”）和虚报（原“0”错判成“1”）。见上图*号的代码。误码有两种来源。定义误码率Pe为发生漏报和虚报的概率之和设P(S1)和P(S0)为发端发送“1”码和“0”码的概率,Vb为判决门限电平值（阈值电平），则:P[x<Vb|S1]=P(0|1)表示发出“1”码而错判为“0”码的概率（漏报概率）P[x>Vb|S0]=P(1|0)表示发出“0”码而错判为“1”码的概率（虚报概率）总误码率为:Pe=P(S1)·P(0|1)+P(S0)·P(1|0)17第17页，共45页，2023年，2月20日，星期四信道加性噪声n(t)通常被假设为均值为0、方差为σn2的平稳高斯白噪声，kTb时刻的抽样值服从高斯概率密度函数：式中，x是噪声的瞬时取值nR(kTb)。无噪声情况下，“1”码电平为A1，“0”码电平为A0，迭加上噪声后，抽样值x的分布分别就应当是以A1和A0为中心值的高斯概率密度函数。18第18页，共45页，2023年，2月20日，星期四发送“0”时发送“1”时漏报概率虚报概率19第19页，共45页，2023年，2月20日，星期四因此，误码率为：以双极性二进制基带信号为例，x(t)概率密度曲线如图：20第20页，共45页，2023年，2月20日，星期四三、最佳判决门限电平（最佳阈值）在A1、A0和σn2一定的条件下，可以找到一个使误码率最小的判决门限电平Vb*，这个门限电平称为最佳门限电平。设21第21页，共45页，2023年，2月20日，星期四(1)信源等概：将P(1)＝P(0)＝1/2代入上式解得：Vb*=(A1+A0)/2对于双极性码：A1=A/2，A0=-A/2，则Vb*=0；对于单极性码：A1

＝A，A0=0，则Vb*=A/2；22第22页，共45页，2023年，2月20日，星期四由图可知，只有Vb取在两曲线交点上时，误码率（阴影）才会最小。考虑到高斯分布曲线的对称性，此交点位置必然在(A1+A0)/2。23第23页，共45页，2023年，2月20日，星期四(2)信源不等概P(1)≠P(0)时，对于双极性码解得对于单极性码（A1＝A，A0=0)解得24第24页，共45页，2023年，2月20日，星期四四、(信源等概时的)误码率公式：无论单极性码还是双极性码，最佳门限电平公式是一样的：Vb*=(A1+A0)/2；将它代入Pe公式，同时设25第25页，共45页，2023年，2月20日，星期四利用误差函数互补误差函数则误码率公式26第26页，共45页，2023年，2月20日，星期四误码率与信噪比的关系：对单极性不归零码(信源等概)：“1”码电平A1=A，平均功率为S1＝A2

。“0”码电平A0=0，平均功率为S2=0。信号平均功率为S=P(1)·S1+P(0)·S0＝A2/2噪声平均功率为N=σn2信噪比为γ=S/N=A2/2σn2,则单极性不归零码误码率为：27第27页，共45页，2023年，2月20日，星期四对双极性不归零码(信源等概)：“1”码电平A1

＝A/2，平均功率为A2/4。“0”码电平A0=-A/2，平均功率为A2/4。信号平均功率为S=P(1)·S1+P(0)·S0＝A2/4噪声平均功率为N=σn2信噪比为γ=S/N=A2/4σn2,则双极性不归零码误码率为28第28页，共45页，2023年，2月20日，星期四注意：对双极性不归零码，有时并不是以A/2与-A/2来表示1和0的。如果用A1=A表示“1”码电平，平均功率为A2

。用A0=-A表示“0”码电平，平均功率也为A2

。信号平均功率为S=P(1)·S1+P(0)·S0＝A2。噪声平均功率为N=σn2信噪比为γ=S/N=A2/σn2，这时双极性不归零码误码率仍为：29第29页，共45页，2023年，2月20日，星期四结论：（对于等概信源）误码率公式统一表达为：在用信噪比表达的情况下单极性码为双极性码为30第30页，共45页，2023年，2月20日，星期四Pe与γ曲线(1)在信噪比γ相同条件下，双极性误码率比单极性低，抗干扰性能好。(2)在误码率相同条件下，单极性信号需要的信噪功率比要比双极性高3dB

。(3)Pe~γ曲线总的趋势是γ↑，Pe↓，但当γ达到一定值后，γ↑，Pe将大大降低。31第31页，共45页，2023年，2月20日，星期四五、误码率计算1、计算基带系统误码率有关的问题时，首先应明确思路。从系统来分析：计算信噪比与所采用的码型有关：单极性γ=A2/2σn2,双极性γ=(A1-A0)2/4σn2；而噪声功率σn2=n0B，不归零B=Rb，归零B=2Rb；32第32页，共45页，2023年，2月20日，星期四2、使用误码率公式有两种方法

①查表法：查附录C的《Q函数和误差函数》，利用以下关系式：对单极性码对双极性码33第33页，共45页，2023年，2月20日，星期四②近似法：（当x≥3，即Pe≤10-5时）

对单极性码对双极性码34第34页，共45页，2023年，2月20日，星期四

6.6扰码与解扰(简介)在数字信号的传输中，发送端往往要加扰码器，相对应的接收端要加解扰器。将二进制数字信息先作“随机化”处理，变为伪随机序列，限制连“0”码的长度。这种“随机化”处理称为“扰码”。这种“随机化”处理的目的主要有：

1)便于提取比特定时信息；

2)使信号频谱扩散，周期不长的数字基带信号其频谱集中，并含有相当大的线谱，而易于造成对其它系统的干扰。35第35页，共45页，2023年，2月20日，星期四

6.6.1m序列的产生和性质

m序列是一种最常见的伪随机序列，它是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，并具有最长周期。反馈逻辑

图中示出了4级移位寄存器，其中有3,4级经模2加法器反馈到第1级。符合下式：36第36页，共45页，2023年，2月20日，星期四

任何一级寄存器的输出，在脉冲的触发下，都会产生一寄存器序列。上面移位寄存器的状态具有周期性，且周期长度为15。设初始状态为0001，则得到的序列为：P212表6-2

n级线性反馈移位寄存器的输出是一周期序列，其周期长短取决于移位寄存器的级数、线性反馈逻辑和初始状态，若周期最长，则初始状态非全0即可，关键是线性反馈逻辑。37第37页，共45页，2023年，2月20日，星期四

一般形式的n级线性反馈移位寄存器见下图。其反馈逻辑表达式为：其中，表示连线贯通，表示连线断开。38第38页，共45页，2023年，2月20日，星期四

设，则有定义多项式，其中i表示元素的位置。该多项式称为线性反馈移位寄存器特征多项式。可以证明，当F(x)满足下列3个条件时，就一定能产生m序列：（1）F(x)是不可约的，即不能再分解因式；（2）F(x)可整除，这里；（3）F(x)不能整除，这里。39第39页，共45页，2023年，2月20日，星期四

例如，对4级移位寄存器，有，应能整除，而可进行如下因式分解：

由于，所以不是本原多项式，而前两个因子都是，且是互逆的，找到了一个，另一个可直接写出来。40第40页，共45页，2023年，2月20日，星期四

本原多项式的计算结果已列在表6-3中，这里给出了只有三项或项数最少的本原多项式。m序列性质：

（1）由n级移位寄存器产生的m序列，其周期为