第一章知识点

第一章知识点一、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数例1求下列极限：二、数列极限的性质1.收敛数列的有界性例如,有界无界注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.收敛数列的保号性推论3.收敛数列的归并性(子数列的收敛性)

定理3：如果数列收敛，那么它的子数列也收敛并且收敛于同一值。课本P40例94.唯一性定理4每个收敛的数列只有一个极限.三、函数极限的定义自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限播放自变量趋向无穷大时函数的极限单侧极限2.自变量趋向有限值时函数的极限单侧极限3.单侧极限:例如,左右极限存在但不相等,例2证函数极限的统一定义例3解左极限存在,右极限存在,不存在.1、无穷小1.1定义:极限为零的变量称为无穷小.四、极限的运算法则例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);1.2.无穷小的运算性质:定理1在同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一变化过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小2、无穷大*绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．直线为函数的铅直渐近线。直线为函数的水平渐近线。3、无穷小与无穷大的关系定理4在同一变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.4、极限运算法则定理推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论25、极限计算举例例4解解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例5分母=0,分子≠0,注

在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，消去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化，等等。解例6（消去零因子法）例7解(无穷小因子分出法)“抓大头”小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例8求解

（消去零因子法）例9求解（分子有理化）例10求解（分母有理化）例11解例12解左右极限存在且相等,例13解先变形再求极限.例14换元法例15解极限符号可以与函数符号互换;6.夹逼准则x0y注意:准则I和准则I'称为夹逼准则.例16解由夹逼定理得注：1)求n项和的数列极限时常用夹逼准则。

2)使用夹逼准则时需要对极限的值有个猜测。7、单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:注:

此准则只给出了极限存在的充分性条件，并没有给出极限是什么。但是，在已知极限存在时常可以通过一些方法求出极限（特别是由递推公式给出的数列的极限问题）。8、两个重要极限(1)例18.求例19.求例20.求例21.求例18.求解:例19.求解:例20.求解:xa时，(x)=xa0,故例21.求解:一般地，(i)(k为常数).(ii)当xx0(或x)时，(x)0，则注意：(2)（利用单调有界收敛准则）例22解例23解例24.求解:幂指函数例25解例269、无穷小的比较无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.例如,不可比.观察各极限定义:例1例２例3例27解例28解10、等价无穷小定理(等价无穷小替换定理)1、等价无穷小的代换性质例29解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意结论（P60）例30解解错时的几个常见的等价无穷小*例31例34例32例33常用等价无穷小:总结1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.特殊：1.裂项2.分子或分母有理化3.换元法4.夹逼法5.数列求和6.多项式除法（区别x趋于无穷大还是无穷小）7.重要极限8.等价无穷小替换(乘积)课堂练习题例34、求下列极限：1、2、3、4、可见,函数在点定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;五、函数的连续性例36证由定义1知11.1单侧连续结论：例37解右连续但不左连续,11.2、区间上的连续函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.11.3、函数的间断点(1)可去间断点例38解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.如例38中,(2)跳跃间断点例39解可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.特点(3)第二类间断点例40解例41解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx判断下列各间断点类型:例42例43解六、最大值和最小值定理定理1闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.七、零点定理与介值定理定义:几何解释:例44.证明方程一个根.证:令又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有注意:如：P74例1BuAab