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文档简介
八年级下学期选拨竞赛考试数学试卷一、填空题1.满足不等式的整数的个数是.2.已知长分别为14,13,9,7的四条线段可以构成梯形,则在所有可能构成的梯形中,连接梯形两腰中点的线段长度的最大值是.3.如图,已知在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90o,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE=AC+AD,其中结论正确的是(填序号)4.已知,则.5.在平面直角坐标系内有两点A,B,其坐标为,,点M为x轴上的一个动点,若要使的值最大,则点M的坐标为.6.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=7.如图,P为Rt△ABC内一点,其中∠BAC=90°,并且PA=3,PB=7,PC=9,则BC的最大值为.二、解答题8.已知实数a,b,c满足,,求的值.9.已知:.求的值.10.如图,Rt△ABC中,AC>BC,∠ACB=90°,CD是△ABC的中线,点E在CD上,且∠AED=∠B,求证:AE=BC.11.某同学对矩形纸片ABCD进行了如下的操作:如图,先沿直线AG折叠,使点B落在对角线AC上的点P处,再沿直线CH折叠,使点D落在AC上的点Q处.若,,求四边形的面积.12.已知关于x的方程只有一个实数根,求实数a的值.13.设为非零实数,两个函数与的图象相交于,两点,若,求的值.14.回答下列问题:(1)如图,当时,,将△PAB绕B点顺时针旋转90°画出旋转后的图形;(2)在(1)中,若,,,求的大小.(3)如图,,,且,,,则△面积是.(4)如图,△ABC中,,,点P在△ABC内,且,,,求△ABC的面积.15.设为质数,m为整数,满足,求和m的所有可取值.16.解方程组:.17.已知点M、N分别在△ABC的边AB、AC上,且不同于所在边的端点,满足,,P关于直线BC的对称点为A,证明:PA是∠MPN的角平分线.18.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式;(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若,求m的值;(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.
答案解析部分【解析】【解答】解:,,∵,∴,∵,,∴,故1.6与5.24之间的整数有4个.故答案为:4.【分析】对不等式组两边的式子进行分母有理化可得-4<m<3+,根据估算无理数大小的方法估算出-4、3+的范围,得到m的范围,进而可得整数m的个数.【解析】【解答】解:当这个梯形的上底和下底分别为7和9时,则如图所示:过点A、C分别作AF⊥BC,CE⊥AD,由题意得:AD∥BC,AD=7,BC=9,AB=14,CD=13,∴AF=CE,AE=CF,设AE=CF=x,则有DE=7-x,BF=9-x,在Rt△AFB中,由勾股定理得:,在Rt△DEC中,由勾股定理得:,∴,解得:,∴此情况符合题意,则取AB、CD的中点M、N,∴;当这个梯形的上底和下底分别为7和13时,则AB=14,CD=9,如图所示:同理可得:,解得:,∴此种情况符合题意,即;当这个梯形的上底和下底分别为7和14时,则AB=13,CD=9,如图所示:同理可得:,解得:,∴此种情况符合题意,即;当这个梯形的上底和下底分别为9和13时,则AB=14,CD=7,如图所示:同理可得:,解得:,∴此种情况不符合题意;当这个梯形的上底和下底分别为9和14时,则AB=13,CD=7,同理可知也不符合题意;当这个梯形的上底和下底分别为14和13时,则AB=9,CD=7,同理可知也是不符合题意;∴综上所述:当以这四条边作为梯形的边长,两腰的中线最大值为10.5;故答案为:10.5.【分析】当这个梯形的上底和下底分别为7和9时,过点A、C分别作AF⊥BC,CE⊥AD,由题意得:AD∥BC,AD=7,BC=9,AB=14,CD=13,设AE=CF=x,则DE=7-x,BF=9-x,利用勾股定理可得x的值,取AB、CD的中点M、N,根据梯形中位线的性质可得MN;当这个梯形的上底和下底分别为7和13时,则AB=14,CD=9,同理可得MN;当这个梯形的上底和下底分别为7和14时,则AB=13,CD=9,同理可得MN;当这个梯形的上底和下底分别为9和13时,则AB=14,CD=7,同理可得MN,据此解答.【解析】【解答】解:∵∠BAC=∠DAE=90o,AB=AC,AD=AE又∠BAD=∠BAC+∠CAD∠CAE=∠EAD+∠CAD∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE(SAS)∴BD=CE,故①正确;∴∠BDA=∠CEA=45°又∠ADE=45°∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°∴BD⊥CE,故②正确;∵△BAD≌△CAE∴∠ACE=∠ABD又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°,故③正确;在△BAE中AB+AE>BE又AB=AC,AE=AD∴AC+AD>BE,故④错误.故答案为:①②③.【分析】首先利用SAS判断出△BAD≌△CAE,根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE,故①正确;根据全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA=45°,然后根据角的和差得出∠BDE=90°,从而得出BD⊥CE;根据全等三角形的对应角相等得出∠ACE=∠ABD从而根据角的和差及等量代换得出∠ABC=45°;根据三角形三边的关系及等量代换得出AC+AD>BE,从而即可一一判断得出答案.【解析】【解答】解:∵,分三种情况讨论:∴或x2-x-1=-1且指数为偶数或,①当时,∴,当时,∴,②x2-x-1=-1且指数为偶数时,x=0;③当时,因式分解得解得故答案为:-2或0或-1或2.【分析】根据零次幂的运算性质可得x2-x-1≠0且x+2=0,求解可得x的值;根据有理数的乘方法则可得x2-x-1=-1且x+2为偶数,求解可得x的值;令x2-x-1=1,求出x的值,据此解答.【解析】【解答】解:如图,作点A(﹣1,﹣1)关于x轴的对称点A′(﹣1,1),作直线A′B交x轴于点M,
由对称性知:MA′=MA,
∴MB﹣MA=MB﹣MA′=A′B,
若N是x轴上异于M的点,则NA′=NA,这时NB﹣NA=NB﹣NA′<A′B=MB﹣MA′,
∴点M就是使MB﹣MA的值最大的点,MB﹣MA的最大值是A′B,
设直线A′B的解析式为:y=kx+b,
把A′(﹣1,1),B(2,4)代入得:,
解得:,
∴直线A′B的解析式为y=x+2,
当y=0时,x+2=0,解得x=﹣2,
∴点M的坐标为(﹣2,0).
故答案为:(﹣2,0).
【分析】利用轴对称图形的性质可作点A关于x轴的对称点A′,连接A′B,交x轴于点M,由对称性可得MA′=MA,从而得到MB﹣MA=MB﹣MA′=A′B,若N是x轴上异于M的点,则NA′=NA,这时NB﹣NA=NB﹣NA′<A′B=MB﹣MA′,因此点M就是使MB﹣MA的值最大的点,MB﹣MA的最大值是A′B,再利用待定系数法求得直线A′B的解析式为y=x+2,求得直线A′B与x轴的交点M即为所求.【解析】【解答】解:(1)图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90°∴四边形OECF为矩形∵OE=OF∴矩形OECF为正方形设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r∴3﹣r+4+r=5,r==1∴S1=π×12=π2)图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD∴CD=由勾股定理得:AD==,BD=5﹣=由(1)得:⊙O的半径==,⊙E的半径==∴S1+S2=π×+π×=π3)图3,由S△CDB=××=×4×MD∴MD=由勾股定理得:CM==,MB=4﹣=由(1)得:⊙O的半径=,:⊙E的半径==,:⊙F的半径==∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故答案为:π.【分析】(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径r=(a、b是直角边,c为斜边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π;(2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和=π;(3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求三个圆的半径,从而求出三个圆的面积和=π;综上所述:发现S1+S2+S3+…+S10=π.【解析】【解答】解:如图,过P点分别作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F,再过B作BG⊥PF于G,过C作CE⊥PD于E,交BG于H,连接AH、PH∵∠BAC=90°,∴四边形ADPF、四边形ADEC、四边形ABGF、四边形PGHE、四边形ABHC都是矩形∴PD=BG,PF=AD=EC,PG=HE,BC=AH∴∴∵PA=3,PB=7,PC=9∴,解得∵△PAH中,PA=3,∴∵当A、P、H三点共线时∴当A、P、H三点共线时最大故答案为:14.【分析】过P点分别作PD⊥AB于D、PF⊥AC于F,过B作BG⊥PF于G,过C作CE⊥PD于E,交BG于H,连接AH、PH,则四边形ADPF、ADEC、ABGF、PGHE、ABHC都是矩形,由矩形对边相等得PD=BG,PF=AD=EC,PG=HE,BC=AH,则PB2+PC2=PA2+PH2=PF2+PE2+PG2+PD2,代入数据可得PH的值,根据两点之间,线段最短的性质可得:当点P、A、H共线时,AH取得最大值,即BC取得最大值,据此解答.【解析】【分析】根据a+b+c=0得a+b=-c,两边同时平方得2ab=c2-(a2+b2),结合a2+b2+c2=1得ab=c2-,同理得ac=b2-,bc=a2-,待求式可变形为,据此计算.【解析】【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性,由两个非负数的和为0,则每一个都为0可得m+2=0,n-1=0,求出m、n的值,根据去括号法则以及合并同类项法则对待求式进行化简,然后将m、n的值代入进行计算.【解析】【分析】延长CD到F使DF=CD,连接AF,根据中线的性质可得AD=BD,证明△ADF≌△BDC,得到∠F=∠BCD,BC=AF,根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=BD,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BCD,结合已知条件可得∠AED=∠BCD,根据全等三角形的性质可得∠F=∠BCD,推出AE=AF,然后结合BC=AF进行证明.【解析】【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=5,∠B=90°,利用勾股定理可得AC,由折叠的性质可知AP=AB=5,BG=PG,∠B=∠APG=90°,CQ=CD=5,设CG=x,则BG=PG=12-x,利用勾股定理求出x,得出CG的长,同理得出AH,然后判断出四边形AGCH是平行四边形,然后根据S四边形AGCH=CG·AB进行计算.【解析】【分析】将原方程去分母得到整式方程,算出方程根的判别式的值,分当△=0时,a=,显然x=是原方程的解;当△>0时,根据求根公式求出x,只需x2为增根,此时原方程只有一个实数根,求解可得a的值.【解析】【分析】联立一次函数与反比例函数解析式可得关于x的一元二次方程,结合△≥0可得k的范围,根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1x2=-k,则|x1-x2|===,求解可得k的值.【解析】【解答】解:(3)如图3①,将绕点逆时针旋转得到△,连接,△,,,,是等边三角形,,,,,,△是直角三角形,,,,;△,;如图3②,同理可求:和的面积的和,和的面积的和,的面积,的面积的面积与的面积的和.故答案为:.【分析】(1)将点P、A绕点B顺时针旋转90°可得点P′、C,顺次连接可得旋转后的图形;
(2)连接PP′,根据旋转的性质可得BP=BP′,∠APB=∠CP′B,AP=CP′=2,根据等腰直角三角形的性质可得PP′=,∠BP′P=45°,根据勾股定理逆定理知△CP′P为直角三角形,然后根据∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P进行计算;(3)将△PAB绕A点逆时针旋转60°得△P1AC,连接PP1,则AP=AP1,∠PAP1=60°,CP1=BP=4,推出△PAP1是等边三角形,得到PP1=AP=3,利用勾股定理逆定理知△CP1P是直角三角形,根据=+可得四边形APCP1的面积,据此解答;同理可求△ABP和△BPC的面积和,△APC和△BPC的面积的和,然后根据S△APC=S△ABC-(S△APB+S△BPC)进行计算;
(4)作△ABQ,使得∠QAB=∠PAC,∠ABQ=∠ACP,连接PQ,取AQ的中点N,连接PN,则△QAB∽△PAC,由相似三角形性质得AQ、BQ,易得△APN是等边三角形,根据等边三角形的性质得AN=QN=AP=PN,∠ANP=60°,利用勾股定理可得PQ,推出∠PQB=90°,作AM⊥BQ于点M,延
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