2023年全国高考数学试题及答案

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2023年普通高等学校招生全国统一考试（XX卷）

数学Ⅰ

注意事项

考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求

、解答题（第15题——第20题）。本卷总分值1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）160分，考试时间为120分钟。考试终止后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上依照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必需用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹明白。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写明白，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式：

1n1n2样本数据x1,x2,,xn的方差s??(xi?x),其中x??xi

ni?1ni?12一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上.．．1.若复数z1?4?29i,z2?6?9i，其中i是虚数单位，则复数(z1?z2)i的实部为★.

?20略

2.已知向量a和向量b的夹角为30，|a|?2,|b|?3，则向量a和向量b的数量积

ab?★.3a3.函数

b?2?3?3?3。2f(x)?x3?15x2?33x?6的单调减区间为★.

(?1,11)f?(x)?3x2?30x?33?3(x?11)(x?1)，由

1数，

y(x?11)(x1)?0?4.函数

得单调减区间为(?1,11)。

y?sAi?n?(x?)A?(为?常

???2?3??31O1x

A?0,??0)在闭区间[??,0]上的图象如下图，则??★.3

32T??，T??，所以??3，235.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为★.0.2略

6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生甲班乙班1号662号7723号764号875号79开始则以上两组数据的方差中较小的一个为s

?★.25?★.略

7.右图是一个算法的流程图，最终输出的W22略

8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正周边体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为★.1：8略

9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x3S?0T?1S?T2?SS?10T?T?2NYW?S?T?10x?3上，

且在其次象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为★.(?2,15)略10.已知a?输出W终止5?1x，函数f(x)?a，若实数m,n满足f(m)?f(n)，则m,n的大22

小关系为★.m?n略11.已知集合

A??x|log2x?2?，B?(??,a)，若A?B则实数a的取值范围是

(c,??)，其中c?★.4

由log2x?2得0?x?4，A?(0,4]；由A?B知a?4，所以c?4。

12.设?和?为不重合的两个平面，给出以下命题：

（1）若?内的两条相交直线分别平行于?内的两条直线，则?平行于?；（2）若?外一条直线l与?内的一条直线平行，则l和?平行；

（3）设?和?相交于直线l，若?内有一条直线垂直于l，则?和?垂直；（4）直线l与?垂直的充分必要条件是l与?内的两条直线垂直.上面命题中，真命题的序号★（写出所有真命题的序号）.．．．（1）（2）略

x2y213．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆2?2?1(a?b?0)的

ab四个顶点，F为其右焦点，直线A线段OT与椭圆的交点M1B2与直线B1F相交于点T，恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为★.e?27?5

B2yTM用a,b,c表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.14．设

?an?是公比为

q的等比数列，

|q|?1，令

A1OA2xbn?an?1(n?1,2,若数列?bn?有连续四项在集合

??53,?23,19,37,82?中，则6q?★.?9

将各数依照绝对值从小到大排列，各数减1，观测即可得解.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．（本小题总分值14分）

3

设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?)（1）若a与b?2c垂直，求tan(?（2）求|b?c|的最大值;（3）若tan?tan???)的值；

?16，求证：a∥b.

由a与b?2c垂直，a?(b?2c)?a?b?2a?c?0，

即4sin(???)?8cos(???)?0，tan(???)?2；

b?c?(sin??cos?,4cos??4sin?)

|b?c|2

?sin2??2sin?cos??cos2??16cos2??32cos?sin??16sin2??17?30sin?cos??17?15sin2?，

最大值为32，所以|b?c|的最大值为4由tan?tan?2。

?16得sin?sin??16cos?cos?，

即4cos??4cos?所以a∥b.

?sin?sin??0，

16．（本小题总分值14分）如图，在直三棱柱ABC?D在B1C1上，A1BC11中，E,F分别是A1B,AC1的中点，点

A1D?B1C

求证：（1）EF∥平面ABC

（2）平面AFD?平面BBC111C

A

D

F

B1

C1

E

证明：（1）由于E,F分别是A1B,AC1的中

B

A

C

4

点，所以EF//BC，又EF?面ABC，BC?面ABC，所以EF∥平面ABC；

，BB1?AABC?A1B1C1，所以BB1D，又1?面A1B1C1（2）由于直三棱柱

A1D?B1C，所以

A1D?面B1，C又ADB1C?面AFD11，所以

平面AFD?平面BBC111C。

17．（本小题总分值14分）

?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22?a32?a42?a52,S7?7

（1）求数列?an?的通项公式及前n项和Sn；

设

（2）试求所有的正整数m，使得解析：（1）设公差为d，则a2由性质得?3d(a4由于d2amam?1为数列?an?中的项.

am?2222，?a5?a4?a3?a3)?d(a4?a3)，

?0，

所以a4?a3?0，

?0，

即2a1?5d又由S7解得a1?7得7a1???5，

7?6d?7，2d?2

所以

（2）

?an?的通项公式为an?2n?7，前n项和Sn?n2?6n。

amam?1(2m?7)(2m?5)?，令2m?3?t，

am?2(2