双曲线和抛物线

双曲线和抛物线一、基础知识标准方程图形范围顶点对称轴焦点焦距离心率准线参数方程焦半径通径1．双曲线及其标准方程：（1）第一定义：_________________________________________________________________。第二定义：____________________________________________________________________。（2）标准方程、图形、性质：（见右表）３．抛物线及其标准方程：（1）定义：_______________________________________________________。（2）抛物线的参数方程：（t为参数）（3）标准方程、图形、性质：标准方程图形焦点准线方程对称轴焦半径（4）抛物线的通径：_______________________________________称为抛物线的通径，其长度为________。（5）已知抛物线的焦点为F，、是过F的直线与抛物线的两个交点，且直线AB的倾斜角为，则：①，。②；____________；③过焦点的弦中通径长最小，其值为。④⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。A1FB1F，AM1BM1，M1FAB。⑥P是抛物线上一点，则是钝角三角形。二、基础练习：1.与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）的双曲线的标准方程是____________；2、如果双曲线5x上的一点P到双曲线右焦点的距离是3，那么P点到左准线的距离是3、与圆A：和圆B：都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.4、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是5、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为三、典型例题：例1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.例2已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．例3在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。四、巩固练习：BCFEAD1、以抛物线y2＝4x的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A(－1，3)的直线l相切，则直线BCFEAD____________________．2、如图，正六边形的两个顶点为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是___________________．3、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，则直线AB的斜率为4、以点为圆心、双曲线的渐近线为切线的圆的标准方程是______。5、若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程为_______6、已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为7、若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程：8、若椭圆的离心率为，一个焦点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为9、已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数=10、设实数满足则的取值范围是11、如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．⑴．设点P满足（为实数），证明：；⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．12、双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围．13、设是双曲线的上两点，点是线段的中点。（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）如果线段的垂直平分线与双曲线相交于两点，那么四点是否共圆？为什么？14、如图,是抛物线上上的一点,动弦分别交轴于两点,且.(1)若为定点,证明:直线的斜率为定值;(2)若为动点,且,求的重心的轨迹.高二数学寒假辅导资料（4）双曲线和抛物线一、基础知识标准方程图形范围顶点对称轴焦点焦距离心率准线参数方程焦半径通径1．双曲线及其标准方程：（1）第一定义：_________________________________________________________________。第二定义：____________________________________________________________________。（2）标准方程、图形、性质：３．抛物线及其标准方程：（1）定义：_______________________________________________________。（2）标准方程、图形、性质：标准方程图形焦点准线方程对称轴焦半径（3）抛物线的通径：_______________________________________称为抛物线的通径，其长度为________。（4）已知抛物线的焦点为F，、是过F的直线与抛物线的两个交点，且直线AB的倾斜角为，则：①_______，____________；②____________；③____________；④____________；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线____________⑥P是抛物线上一点，则是钝角三角形。二、基础练习：1.与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）的双曲线的标准方程是－＝.2、如果双曲线5x上的一点P到双曲线右焦点的距离是3，那么P点到左准线的距离是3、与圆A：和圆B：都外切的圆的圆心P的轨迹方程为－=1（x＞0）4、已知双曲线(a>0,b)0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是解析：由题意，该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，5、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为解析：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9三、典型例题：例1已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程；（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）.求k的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则，而于是②由①、②得故k的取值范围为例2已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．解：（Ⅰ）设双曲线的方程为，由题设得解得所以双曲线的方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，点，的坐标满足方程组,将①式代入②式，得，整理,得．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得．③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，．从而线段的垂直平分线的方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得，整理得，．解得或．所以的取值范围是例3在直角坐标系xOy中，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1、F2.F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且。（1）求C1的方程；（2）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A、B两点，若·=0，求直线l的方程。解：（Ⅰ）由：知．设，在上，因为，所以，得，．在上，且椭圆的半焦距，于是消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，因为，所以与的斜率相同，故的斜率．设的方程为．设，，由消去并化简得．，．因为，所以．．所以．此时，故所求直线的方程为，或．巩固练习：BCFEAD1、以抛物线y2＝4x的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A(－1，3)的直线l相切，则直线l的方程是_x＝－1或5xBCFEAD2、如图，正六边形的两个顶点为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率的值是___________________．3、过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点C．若，则直线AB的斜率为4、以点为圆心、双曲线的渐近线为切线的圆的标准方程是______。5、若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程为_______6、已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为7、若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程8、若椭圆的离心率为，一个焦点恰好是抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为9、已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数=10、设实数满足则的取值范围是11、如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．⑴．设点P满足（为实数），证明：；⑵．设直线AB的方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．解⑴．依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：①设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，所以，．由点P满足（为实数，），得，即．又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．====0所以，．⑵．由得点A、B的坐标分别是、．由得，所以，抛物线在点A处切线的斜率为．设圆C的方程是，则解得：．所以，圆C的方程是．12、双曲线(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围．解：直线l的方程为bx+ay－ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l的距离d1=．同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2=.s=d1+d2==.由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.于是得5≥2e2.即4e2－25e+25≤0.解不等式,得≤e2≤5.由于e>1>0,所以e的取值范围是.13、设是双曲线的上两点，点是线段的中点。（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）如果线段的垂直平分线与双曲线相交于两点，那么四点是否共圆？为什么？解：（Ⅰ）依题意，可设直线的方程为代入，整理得①记，则。由是的中点得：，∴解得，所