初中数学组合

初中数学组合初中数学组合/初中数学组合组合授课目的：1、理解组合的看法，正确区分排列、组合问题；、掌握组合数的计算公式；3、经过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生解析问题和解决问题的能力；授课内容：组合的看法及组合数的计算方法授课重点：组合的看法、组合数授课难点：解组合的应用题授课方法：排列与组合结合法授课过程设计一、知识回顾1、排列的看法一般地，从n个不一样的元素中取出m(mn)个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个排列。2、排列数看法一般地，从n个不一样的元素中每次取出m(mn)个元素的所有排列的个数，称为从n个不一样元素中取出m个不一样元素的排列数，记作Anm。3、排列数计算公式：Anmn(n1)(n2)L(nm1)(mn)二、学习新课课题引入：经过上节课研究排列的问题出发，比较引出另一种与排列不一样的计数方法，即组合。【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不一样的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担当班委，共有多少种不一样的方法？该问题与原问题有何差异？)解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为A32，对应的排列为：甲乙乙甲甲丙丙甲丙乙乙丙变化后的问题对应的可能情况为：甲乙甲丙丙乙解析：与排列不一样的是，这个问题是从3个不一样的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有序次。这就是本节课研究的别的一个计数问题，组合问题（引出组合的看法）组合一般地，从n个不一样的元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不一样元素中取出m个元素的一个组合。解析：比较排列和组合的定义，同样是从n个不一样的元素中取出m(mn)个元素，而排列是把取出的m个元素依照必然的序次排成一列，也就是说排列与元素的序次有关，而组合单单是把取出的m个元素并成一组，与元素的序次没关。组合数同样地近似于排列，我们研究从n个不一样的元素中取出m(mn)个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为Cnm。【问题2】从3个不一样的元素a,b,c中每次取出2个，共有多少种不一样的排列？（若改为从3个不一样的元素a,b,c中每次取出2个，共有多少种不一样的组合？）解：原问题为从三个不一样的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为A32，对应的排列为：变化后的问题为从三个不一样的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为C32，对应的组合为：总结：经过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，若是与序次有关，则是排列问题，若果与序次没关，则是组合问题。经过例题讲解区分排列与组合问题。【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？从6个风景点中选出2个安排旅游，有多少种不一样的方法？从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的旅游序次，有多少种不一样的方法？解：(1)选出的2个风景点，不用明确旅游序次，这是一个组合问题，对应的组合数为C62（先标记在后边，一会再求解）。选出的2个风景点，必定明确旅游序次，这是一个排列问题，对应的排列数为A62（学生求解排列数A62，复习牢固上节课排列数的计算公式）。课堂练习：书55页课后练习题3(1)8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？解：与序次没关，因此是组合问题，组合数为C82（先标记在后边，一会再求解）。(2)6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张?解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不同样，因此有序次性，是排列问题，排列数为A62（学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不一样的票价？解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不一样的车票，有序次性，是排列问题，排列数为A52（学生求解）；第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是同样的，没有序次性，是组合问题，组合数为C52（标记在后边，一会再求解）。平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段(有向线段)共有多少条？解：线段AB与线段BA为两条同样的线段，因此没有序次性，是组合问题，组合数为C102（标记在后边，一会再求解）；有向线段（有方向的线段，即：有向线段AB与有向线段BA是两条不一样的线段），因此有序次性，是排列问题，排列数为A102（学生计算）。组合数计算公式思虑：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？回到问题2，从三个不一样的元素a,b,c中每次取出2个的排列与组合的关系如图：A32：abbaA22abC32从图中关系可以看出组合共有C32个；将每一个组合中的元素进行全排列，均有A22=2个排列；因此，从3个不一样的元素中取出2个元素的排列数A32，可以分成以下两个步骤来完成：第一步：从3个不一样的元素中取出2个元素的组合数为C32；第二步：对每一个组合中的2个不一样的元素进行全排列，其排列数为A22。依照分步乘法原理，得从而有C32=A32A22（从特别回到一般）一般地，从n个不一样的元素中取出m个不一样元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成，即由此获取组合数计算公式：CnmAnmn(n1)(n2)L(nm1)Ammm!由于Anmn!，因此组合数公式还可以表示为nm!Cnmn!（其中，n,mN，mn）m!(nm)!由于计算需要，规定Cn01【例2】计算C107解：由组合公式得C107A10710987654120A777654321课堂练习经过组合公式的推导及例题2的讲解，请学生将从前标记过的组合数在练习本上求解（并请4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）2A6265151、C6221A22、C2A8287288A22213、C2A5254105A22214、C102A10210945A2221习题讲解，提出计算组合数需要注意3点：1、公式不要列错；2、项不要列错；3、计算不要马虎。【例3】一批产品20件，其中有2件次品，其他均为正品，从20件产品中任意抽取3件进行检验，问：解析：经过画图进行图形结合法，如图共有多少种不一样的抽法？解析：从20件产品中任意抽取3件，没有特别要求，因此不用考虑特别情况，不一样的抽法等于组合数。解：C203A2032019181140A33321(2)恰有一件次品的不一样抽法有多少种？解析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成：1第二步：从18件正品中任意抽取2件，有C182种不一样的抽法。依照分步乘法原理，所有的抽法种数为解：C21C182A2111A22121所有是正品的不一样抽法有多少种？解析：抽取的3件产品所有是正品，即从18件正品中任意抽取3件，不一样的抽法为解：C183A183181716816A33321至多有一件次品的不一样抽法有多少种?解析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？（讲解至多的看法，并与学生一起解析包含几类情况）第一类：3件产品中没有次品，即从18件正品中任意抽取3件，不一样的抽法为C183第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不一样的抽法有C21C182依照分类加法原理，不一样的抽法总数为123A21A182A183218171817163061122解：C2C18C18A11A22A33121816321最少有一件次品的不一样抽法有多少种？解析：抽取的3件产品中最少有一件次品，包含几类情况？（讲解最少的看法，并与学生一起解析包含几类情况）第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不一样的抽法有C21C182；第二类：3件产品中有两件次品，分两步来完成，不一样的抽法有C22C181（请同学思虑，借鉴第二题给出）依照分