三角形的文档

三角形三角形的三条重要线段(1)三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．如图(1)．三角形的中线的几何表达形式是：AD是△ABC的BC边的中线，或AD是△ABC的中线..(2)三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图(2)．三角形的角平分线的几何表达形式是：AD是△ABC的角平分线，或∠BAD=∠CAD且D在BC上．(3)三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．如图(3)．三角形的高的几何表达形式是：AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD⊥BC于D，或∠BDA=∠CDA=90°．说明：(1)三角形的中线、角平分线、高线都是线段．三角形的定义及表示方法和三角形基本元素(1)三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做三角形．(2)三角形的表示方法：如图所示的三角形可用符号“△”表示，如“△ABC”．(3)三角形的基本元素①三角形的边：组成三角形的三条线段，叫做三角形的边．三角形的边有两种记法，如图中一种为AB、BC、AC；另一种为a、b、c．②三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．三角形的顶点用大写的英文字母表示，如上图，顶点为A、B、C.③三角形的角(内角)：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．如上图，∠BAC、∠ABC、∠ACB都是△ABC的内角，当以A为顶点的角只有一个时，可简记作∠A．说明：三角形的定义要注意两点：①三条线段必须不在同一直线上；②三条线段首尾顺次相接.如图中的三个图形都是由三条线段组成的图形，但它们都不是三角形，三角形的分类(1)按角分类：三角形按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．锐角三角形：指所有的内角都是锐角的三角形；直角三角形：指有一个内角是直角的三角形；钝角三角形：指有一个内角是钝角的三角形．(2)按边分类：不等边三角形：是指三条边互不相等的三角形.等腰三角形：是至少有两条边相等的三角形．等边三角形：是指三条边都相等的三角形．说明：(1)锐角三角形和钝角三角形合称为斜三角形；(2)按边将三角形分类，不能分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．(3)等边三角形也叫正三角形．因为等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，二者并非并列关系．三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边，设三角形的三边为a、b、c，则有b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c，由此可得以下结论：(1)三角形的任何两边的差小于第三边，即有b－c＜a，c－a＜b．a－b＜c．(2)三角形的第三边大于其他两边的差，小于其他两边的和．即有b－c＜a＜b+c，c－a＜b＜c+a，a－b＜c＜a+b．说明：(1)三角形的三边关系性质说明了三角形三边长的大小要遵循一定的规律，受到一定的限制，大的不能太长，小的不能太短，最长的一边也小于其他两边的和，最短的一边要大于其他两边的差(大的一边的长减去小的一边的长)；(2)反过来，判断三条线段能否组成三角形时，只需判断最长的一边是否小于较短两边的和，或最短的一边是否大于较长两边的差．(3)如图，B、C可以看做是两个定点，在所有连接这两点的线中，有一条是线段BC,另一条是折线B→A→C，显然B→A→C，经过的路线长度大于线段BC的长度．也就是AB+AC＞BC,同理可得AC+BC＞AB，AB+BC＞AC．由上述推理可知三角形的任意两边之和大于第三边．三角形的三个内角和等于180度已知：△ABC，证明：∠A+∠B+∠C=180°．方法一：延长一边(如延长BC到D，作CE∥BA)，利用同位角、内错角平移两角，凑出平角180°，如图．证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)，∴∠ECD=∠B(两直线半行，同位角相等)．∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°(平角的定义)，∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)．方法二：过一顶点作其对边的平行线(如过A作BC的平行线)，利用内错角平移两角凑出平角180°，如图．说明：证明三角形内角和定理时，要注意思考添加辅助线的目的是构造平行线，将三角形的两个或三个角移到一起，要学会添加辅助线的方法．三角形的外角及性质(1)三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．说明：(1)要正确理解外角与内角的位置关系,即某个外角的邻补角是三角形的一个内角,而三角形的另外两个内角与这个外角是不相邻的;(2)三角形的每个顶点处均有两个外角，故共有六个外角，但同一顶点处的两个外角相等，故我们常说每个顶点处的一个，即三个外角.(2)三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．三角形外角定理的推论：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．(3)三角形的外角和等于360°．三角形的外角和是指在每个顶点处取一个外角，所得的三个外角之和．三角形外角和的推导实际上是运用了化归思想，通过三角形外角与内角的关系，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，将外角和转化为内角和，然后利用我们所熟悉的“三角形的内角等于180°”而获得结论，这种化归思想方法是数学学习和研究