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文档简介

赋值法解抽象函数有关问题我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数，由于这种表现形式的抽象性，使得直接求解思路难寻，解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论。下面分类予以说明。1．判断函数的奇偶性例1、若对于实数、都成立，且不恒为零，判断函数的奇偶性。解：在中令，得又在中令，得即，因为，所以由于不恒为零，所以函数是奇函数例2、已知不恒为零的函数对任意不等于零的实数、都有，试判断函数的奇偶性。解：取得又取得再取得由于不恒为零，所以函数是偶函数2、讨论函数的单调性例3、设定义于实数集上，当时，，且对于任意实数、都有，求证：在R上为增函数。证明：由中取，得若，令，，则得，与矛盾所以，，即有当时，当时，，，而所以，当时，设，则，所以，在R上为增函数。3、求函数的值域例4、已知函数在定义域上是增函数，且满足，求的值域。解：当时，，即又因为，函数在定义域上是增函数，所以当时，可设则所以对于时有当时，可设则所以对于时有综上所述，当时，的值域为全体实数。4、判断函数的周期性例5、函数的定义域为全体实数，对任意实数a、b，有，且存在，使得，求证：是周期函数。证明：令，代入可得所以即是以2c为周期的周期函数。例6、若对于常数m和任意实数x，等式恒成立，求证：是周期函数。证明：将已知恒等式中的x换成x+m得又将上式中的x换成x+2m得故是以4m为周期的周期函数。5、解不等式例7、已知函数满足(1)；(2)函数的值域是[-1，1]；(3)在其定义域上单调递减；(4)对于任意实数数、恒有解不等式：解：由已知条件(2)(3)知，函数的反函数存在，且，又因为函数在定义域[-1，1]上单调递减，设，则有，即，即有于是原不等式等价于：故原不等式的解集为{0}。6、求函数的解析式例8、设对于满足的所有实数，函数满足，求的解析式。解：将取为代入原等式，有(1)又将取为代入原等式，有(2)(1)+(2)得，例9、设对于满足的所有实数，函数满足，求的解析式。解：因为，(1)将取为代入原等

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