2023年湖南师大附中理科试验班数学测试数学测试 复试卷

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2023年湖南师大附中理科试验班数学测试数学测试复试卷

学校:_______姓名:____________电话:__________

一、填空题(5小题,每题3分,共15分)

1.若|m|,|n|是直角三角形的两条直角边,则这个直角三角形的斜边长为______,其中m,n满

?m2?2m?3?|2m?4|?(3n?4m)2?4?2m.

2.已知实数对(x,y)满足方程(x?2)2?y2?3,记yx的最小值,最大值分别为

a,b,

则a2?b2?______.

3.若任取n个整数,必能从中取出3个数,它们的和能被3整除,则n的最小值是______.

4.设[x]表示不超过实数x的最大整数,譬如[2.1]?2,[1]?1.若实数a满足

a?5a?4a(a?3)a?3,则[a]?______.5.如图,在梯形ABCD中,

DC//AB,DC1AB?3,MN为中位线,

EF//AB且通过AC与BD的交点,点E,F分别在AD,BC上.

则梯形CDEF,梯形FEMN,梯形NMAB面积的连比等于______.

三、解答题(4小题,共35分)

1.(8分)如图,在?ABC中,?BAC??ACB.M,N分别是边BC上两点,

?BAM??CAN,并且?AMN??MAN.求?MAC.

ABMNC

2.(9分)若干个人相聚,其中有些人彼此认识,已知:

(1)假使某两个人有相等数目的熟人,则他俩没有公共的熟人;(2)有一个人至少有56个熟人.

证明:可找出一个聚会者,他恰好有56个熟人.

3.(9分)已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与一次函数y?x的图象两个交点的横坐标为x11,x2,且0?x1?x2?a.(1)试用a,x1,x2表示b,c;

(2)若0?t?x1,当x?t时,二次函数的值记为f(t),证明:t?f(t)?x1.

4.(9分)已知有正整数k,使得

815?n7n?k?13成立.求正整数n的最小值.

2023年湖南师大附中理科试验班数学复试卷答案学校:___________姓名:_________电话:____________

一、填空题(5小题,每题3分,共15分)

1.若|m|,|n|是直角三角形的两条直角边,则这个直角三角形的斜边长为______,其中m,n满

?m2?2m?3?|2m?4|?(3n?4m)2?4?2m.

分析:53.

2.已知实数对(x,y)满足方程(x?2)2?y2?3,记

yx的最小值,最大值分别为a,b,则a2?b2?______.

分析:令y?tx.则(1?t2)x2?4x?1?0.

由??(?4)2?4(1?t2)?0??3?t?3?a2?b2?6.

3.若任取n个整数,必能从中取出3个数,它们的和能被3整除,则n的最小值是______.

分析:5.一方面,0,1,2,3这4个数中任取3个的和不被3整除.

另一方面,整数除以3,余数有3类,即0,1,2.任何5个整数,假使有3个除以3余数在同一类,它们的和可以被3整除.否则5个数中至少有3个数除以3,余数互不一致,它们的和被3整除.

4.设[x]表示不超过实数x的最大整数,譬如[2.1]?2,[1]?1.若实数a满足

a?5a?4a(a?3)a?3,则[a]?______.

分析:原方程等价于a2?5?4a(a?3)?3a,a?0或a?3.

设x?a(a?3)?0,则x2?4x?5?0,解得x1?1,x2??5(舍去).于是a(a?3)?1?a2?3a?1?0?a3?131?2,a3?132?2.故[a]??1或3.

5.如图,在梯形ABCD中,

DC//AB,DCAB?13,MN为中位线,EF//AB且通过AC与BD的交点,点E,F分别在AD,BC上.则梯形CDEF,梯形FEMN,梯形NMAB面积的连比等于______.

分析:5:7:20.易证梯形CDEF梯形NMAB,梯形CDMN梯形FEAB.

设DC?1,则AB?3,MN?1132(1?3)?2,EF?2(1?2)?2.

设梯形CDEF的面积为1,则梯形NMAB的面积为4.再设梯形FEMN的面积为x,

注意到

MNAB?21?x2473,由梯形CDMN梯形FEAB得:x?4?(3)2?9?x?5.所以梯形CDEF,梯形FEMN,梯形NMAB的面积的连比为1:75:4?5:7:20.A三、解答题(4小题,共35分)

1.(8分)如图,在?ABC中,?BAC??ACB.M,N分别是

边BC上两点,?BAM??CAN,并且?AMN??MAN.求?MAC.

BMNC分析:设?BAM?x,则?MAN??BAC?2x.又

?MAN??AMN??B?x?(180??BAC??ACB)?x?180?2?BAC?x,

于是?BAC?2x?180?2?BAC?x??BAC?60?x.

所以?MAC??BAC??BAM?60.

2.(9分)若干个人相聚,其中有些人彼此认识,已知:

(1)假使某两个人有相等数目的熟人,则他俩没有公共的熟人;(2)有一个人至少有56个熟人.

证明:可找出一个聚会者,他恰好有56个熟人.

分析:考虑聚会者中熟人最多的人(假使不止一个,则任取其中之一),记为A.

设A认识了n个人B1,B2,于是,B1,B2,,Bn.

由于任意两人Bi,Bj都以A为共同熟人,由条件(1)知Bi,Bj熟人的数目不相等,

,Bn各人的熟人数互不相等,且均不超过n(根据n的最大性),

因此,必然是1,2,,n.

再根据条件(2)知n?56.因此1,2,,n中包含着56,即B1,B2,,Bn中必有人

恰好认识56人.

3.(9分)已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与一次函数y?x的图象两个交点的横坐标为x1,x2,且0?x1?x2?(1)试用a,x1,x2表示b,c;

(2)若0?t?x1,当x?t时,二次函数的值记为f(t),证明:t?f(t)?x1.

分析:(1)由已知得ax?bx?c?x,即ax2?(b?1)x?c?0,其两根分别为

2n,k都是正整数,所以

由①得7n?8k?r,r为正整数③;由②得6n?7k?s,s为正整数④.7?③?8?④消去k,得n?7r?8s?15.当r?s?1,k?13时,n?15.

所以正整数n的最小值为15.

1.ax1,x2.

则x1?x2??b?1c,x1x2?,于是b??a(x1?x2)?1,c?ax1x2.aa(2)当0?t?x1时,有

f(t)?t?at2?bt?c?t?at2?(b?1)t?c?a(t?x1)(t?x2).

由0?t?x1?x2,a?0得,a(t?x1)(t?x2)?0,从而f(t)?t?0?f(t)?t.

又

f(t)?x1?at2?bt?c?x1?a(t?x1)(t?x2)?(t?x1)?(t?x1)[1?a(x2?t)].

1由0?t