函数的对称性与周期性例题习题

函数的对称性与周期性【知识梳理】周期的概念：设函数，若是存在非零常数，使得对任意都有，那么函数为周期函数，T为的一个周期；周期函数的其它形式；；；；，，函数图像的对称性1）.假设，那么的图像关于直线对称；2）.假设，那么的图像关于点对称；3）假设，那么的图像关于直线对称；4）假设，那么的图像关于直线对称；5）假设，那么的图像关于点对称；6）假设，那么的图像关于点对称；常见函数的对称性1）函数的图像关于点对称；2）函数的图像关于直线对称；3）函数的图像关于直线对称；【例题选讲】题型一依照解析式判定函数图像的对称性函数的图像关于对称；函数的概念域为R，且，那么的图像关于对称；函数的图像关于对称；函数的图像关于直线对称；关于点对称；题型二平移变换后，函数图像的对称性1.已知函数是偶函数，在递减，那么()2.已知是偶函数，那么的图像关于对称；3.已知是奇函数，那么的图像关于对称；题型三函数图像的对称性求函数解析式1.已知的图像关于直线对称，且时，，求时，的解析式；2.已知的图像关于点对称，且时，，求时，的解析式；3.已知的图像关于点对称，且时，，求时，的解析式；题型四函数周期性和图像对称的应用1.假设函数的图像关于点对称，求知足的关系；2.已知函数的概念域为，且对任意，都有(1)假设有个根，求所有这些根的和；(2)假设有个根，求所有这些根的和；3.若有两条对称轴和，求证：是以为周期的周期函数；4.设是概念在上的偶函数，它的图像关于直线对称，当时，，求时，的解析式；5.已知概念域为的函数知足，求证函数是周期函数；题型五综合应用1．设是概念在区间上以2为周期的函数，关于，用表示区间，已知当时，（1）求在上的解析式；（2）对自然数k，求集合使方程在上有两个不等实根}。2．已知概念在上的函数的图象关于直线对称，那时，函数。（1）求的值；（2）求的函数表达式；（3）若是关于的方程有解，那么将方程在取某一确信值时所求得所有解的和记为，求的所有可能取值及相对应的的取值范围。3．已知函数（1）求证：函数的图像关于点对称；（2）计算：的值。函数的对称性与周期性课后练习1.概念在R上的函数单调递增，若是的值A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能为0 D．可正可负2.已知函数知足：①是偶函数；②在上为增函数．假设则与的大小关系是A．>B．<C．=D．与的大小关系不能确信3.已知函数是概念在上的偶函数，且，当时，，那使成立的x的集合为A． B．C． D．4.已知函数f(x)知足：f(1)＝eq\f(1,4)，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，那么f(2010)＝________.5..假设知足2x+=5,知足2x+2(x－1)=5,+＝（）A.B.3C.D.46.设指数函数与对数函数的图象别离为C1、C2，点M在曲线C1上，线段OM（O为坐标原点）交曲线C1于另一点N．假设曲线C2上存在一点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N的横坐标的2倍，那么点P的坐标是 A.（4，） B. C. D.7.（1），那么函数图像关于对称；（2），那么函数图像关于对称；（3）假设，那么函数图像关于对称．8.（1）函数是奇函数，那么函数图像关于对称；（2）函数是奇函数，那么函数图像关于对称．9.概念在上的函数知足，，，且当时，，那么______．10.若，那么的周期性是：．11.（1）概念域是的奇函数又是周期为周期函数，那么，．（2）已知是概念在上的奇函数，且知足，那么______；（3）假设和都是概念域是的奇函数，那么．12.概念域是的奇函数图像关于直线对称，当时，那么当时，函数零点个数是．13.已知是R上的偶函数，是R上的奇函数，且，假设，那么．14.（1）已知是概念域为的偶函数，且，当时，，那么．（2）设概念在上的函数知足，假设，那么15.已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有5个不同的根，那么实数的取值范围是．16.设是概念在R上的偶函数，对任意，都有，且当[－2，0]时，，假设在区间（－2，6内关于x的方程恰有三个不同的实数根，那么的取值范围为A.（1，2） B.（2，） C.（1，） D.（，2）17.函数和的零点别离是，求证．答案4.已知函数f(x)知足：f(1)＝eq\f(1,4)，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，那么f(2010)＝________.解析：∵f(1)＝eq\f(1,4)，令y＝1得f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，①f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，②由①②得f(x＋2)＝－f(x－1)，即f(x＋3)＝－f(x)，则f(x＋6)＝f(x)．∴该函数周期为6.∴f(2010)＝f(6×335＋0)＝f(0)．令x＝1，y＝0得4f(1)f(0)＝f(1)＋f(1)，∴f(0)＝eq\f(1,2).∴f(2010)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5..假设知足2x+=5,知足2x+2(x－1)=5,+＝A.B.3C.