广州市番禺区初中数学青年教师解题比赛试题(含答案)

广州市番禺区初中数学青年教师解题比赛试题本试卷共6页，第1-2页为选择题和填空题，第3-6页为解答题及答卷。请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上。全卷共三大题20小题，满分150分，考试时间120分钟。选择题（每小题5分，共40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）60次数人数92060次数人数9202559.569.579.589.599.5第2题图（A）－3（B）－1（C）0（D）1如右图三个半圆的半径均为R，它们的圆心A、B、C在一条直线上,且每一个半圆的圆心都在另一个半圆的圆周上,⊙D与这三个半圆均相切，设⊙D的半径为r，则R：r的值为（A）15：4（B）11：3（C）4：1（D）3：1是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件又非必要条件某旅馆底层客房比二层客房少5间，某旅游团有48人，若全部安排住底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有的房间住不满.又若全部安排住二层，每间住3人，房间不够；每间住4人，有的房间没有住满.则这家旅馆的底层共有房间数为（A）9（B）10（C）11（D）12已知线段AB=10，点P在线段AB上运动（不包括A、B两个端点），在线段AB的同侧分别以AP和PB为边作正APC和正BPD，则CD的长度的最小值为（A）4（B）5（C）6（D）已知、是不全为零的实数，则关于的方程的根的情况为（A）有两个负根（B）有两个正根（C）有两个异号的实根（D）无实根已知点C在一次函数的图象上，若点C与点A（－1，0）、B（1，0）构成RtΔABC，则这样的点C的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分，将答案直接填在第三页的答题卷上）多项式的最小值为*.方程的全体实数根之积为*.如右图，已知点P为正方形ABCD内一点，且PA=PB=5cm，点P到边CD的距离也为5cm，则正方形ABCD的面积为*cm2.如右图，已知半圆O的直径AB=6，点C、D是半圆的两个三等份点，则弦BC、BD和弧围成的图形的面积为*.(结果可含有)若，且，则的取值范围为*.三、解答题（共7小题，满分85分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）（本题满分10分）设实数、满足及，求的值.（本题满分10分）某制糖厂2003年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从2003年起，约几年内可使总产量达到30万吨？（结果保留到个位，可使用计算器，没带计算器的老师可参考如下数据：，，）（本题满分12分）已知O为ΔABC的外心，I为ΔABC的内心，若∠A+∠BIC+∠BOC=3980，求∠A、∠BIC和∠BOC的大小.（本题满分12分）某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第年的维修、保养费用累计为万元，且，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元图1图2图3求二次函数图1图2图3投产后，这个企业在第几年就能收回投资并开始赢利.（本题满分13分）已知⊙O1和⊙O2外切于A（如图1），BC是它们的一条外公切线，B、C分别为切点，连接AB、AC，求证：AB⊥AC将两圆外公切线BC变为⊙O1的切线，且为⊙O2的割线BCD（如图2），其它条件不变，猜想∠BAC+∠BAD的大小，并加以证明.将两圆外切变为两圆相交于A、D（如图3），其它条件不变，猜想：∠BAC+∠BDC的大小？并加以证明.（本题满分14分）如图，已知⊙O的半径为1，AB、CD都是它的直径，∠AOD=600，点P在劣弧上运动变化，问APC的大小随点P的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围.线段PA+PC的长度大小随点P的变化而变化？若不变化，说明理由，若变化，求出其变化范围.（本题满分14分）已知两个二次函数和图象分别与轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻的两点间的距离都相等,求实数，的值.2004年广州市番禺区初中数学青年教师解题比赛试题参考答案选择题（每小题5分，共40分）题号12345678答案ABCABBDC二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．310.6011.6412.13.三、解答题14.解:由于，则，则（1分）当时,，则,为方程的两个根（3分），不妨设，,则,,（5分），所以（7分）当时，即,因此=2.（10分）综上：当时，=；当时，=2（10分）注：没有综述但其它均正确者不扣分.另直接求出a,b的值再计算也可以15.解：设表示制糖厂第年的制糖量(1分)，则，，，…(5分)，显然是公比为1.1的等比数列(7分)，设年内的总产量达到30万吨，则(9分),则,所以(11分),答:经过5年可使总产量达到30万吨.(12分)16.解:当∠A时，显然∠BOC=2∠A,(1分)∠BIC=1800－∠IBC－∠ICB=1800－(∠ABC+∠ACB)=1800－(1800－∠A)=900+∠A(2分)由于∠A+∠BIC+∠BOC=3980,则∠A+900+∠A+2∠A=3980(3分)解之得∠A=880(4分)∴∠BOC=2∠A=1760(5分)∠BIC=900+∠A=1340(6分)当∠A为钝角时，∠BOC=2（1800－∠A）=3600－2∠A(7分)，∠BIC=900+∠A（8分），则∠A+900+∠A+3600－2∠A=3980，解得∠A=1040（9分），∠BOC=3600－2∠A=1520（10分），∠BIC=900+∠A=1420（11分）故∠A=880,∠BOC=1760,∠BIC=1340或∠A=1040，∠BOC=1520,∠BIC=1420（12分）注：只有一个正确结果者扣6分.17.解:(1)依题意得,(2分)解之得(4分)即函数解析式为(6分).(2)当时方能收回投资并开始赢利(8分),即(8分),显然不是不等式的解,而是不等式的解(11分),因此投产后，这个企业在第4年就能收回投资并开始赢利.(12分)18．(1)证明：过A作两圆的内公切线,交BC于D,则由切线的性质知DB=DA=DC，则三角形ABC为直角三角形.即AB⊥AC（3分）（2）猜想：∠BAC+∠BAD=1800（4分）证明：过点A作两圆的内公切线,交BC于E，由切线的性质得，∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠ABC+∠ADC（7分），因此∠BAC+∠BAD=∠ABC+∠ADC+∠BAD=1800（8分）（3）猜想：∠BAC+∠BDC=1800（9分），连结AD，由于BC是它们的一条外公切线，由切线的性质得，则∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠DBC+∠DCB（12分），所以∠BAC+∠BDC=∠DBC+∠DCB+∠BDC=1800（13分）.19．解：（1）APC=AOC=（18000）=600，它不会随着点P的变化而变化.（3分）（2）解法1：设AP与CD交于M，PC与AB交于N，连结BC，易证ΔAMO≌ΔCNB，∴AM=CN，MO=NB，(5分)又∠AOD=∠APN，∠MAO=∠NAP=600，∴ΔAMO∽ΔANP，∴，即①(7分)同理，亦即②(9分)，①+②得，，∴(11分)，而AM(12分)，因此PA+PC,故PA+PC的值会随着点P的变化而变化，其变化范围为PA+PC.(13分)解法2：由于三角形AOC为等腰三角形，且AOC=1200，AO=OC=1，因此AC=（5分），在ΔAPC中，由余弦定理得：，即，因此（8分），要确定AP+PC有无变化或其变化范围，只需研究的值有无变化或其变化范围，而，故只需ΔAPC的面积有无变化或其变化范围.由于底边AC为定值，点P在上运动，则点P到AC的距离是变化的，因此ΔAPC的面积是变化的，从而的值也是变化的，且随点P到AC的距离的增大而增大（10分），由于点P到AC的距离的最大值为，此时点P为的中点，三角形APC为正三角形，PA+PC的值为（11分）.点P到AC的距离的最小值为，此时点P与点D或点B重合，PA+PC的值为3（12分），因此，PA+PC值的变化范围为PA+PC（13分）注:1、本题能得出结果但不能证明者扣分.2、本题还可以用O、M、P、N四点共圆、高中解析几何方法等方法证明20．解：设函数与轴的两个交点坐标分别为A，B且（1分），函数与轴的两个交点坐标分别为C，D,且（2分），则则，（4分），同理则，（6分），则A、B、C、D在轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B（7分）若按A，C，