2023九年级数学下册第一章15二次函数的应用练习湘教版

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1.5二次函数的应用

第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题

基础题

知识点1利用二次函数解决实物抛物线问题

1．XX省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如下图的平面直角坐标系，其函数的关12

系式为y＝－x，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为(C)

25

A．－20m

B．10mC

．20m

D．－10m

2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3m，此时距喷水管的水平距1

离为m，在如下图的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)

2

12

A．y＝－(x－)＋3

212

B．y＝－3(x＋)＋3

212

C．y＝－12(x－)＋3

212

D．y＝－12(x＋)＋3

2

3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4m，顶部C离地面高为4.4m.(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；

(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8m，装货宽度为2.4m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．

中学资料1

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解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．将点C(0，4.4)代入得

a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x＋4.4.故此抛物线的表达式为y＝－1.1x＋4.4.(2)∵货物顶点距地面2.8m，装货宽度为2.4，

∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．将x＝1.2代入抛物线，得y＝2.816＞2.8，∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．∴这辆汽车能够通过大门．

知识点2利用二次函数解决面积问题

4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)

22

A．60mC．64m

22

B．63mD．66m

2

2

5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是(B)A．600m

22

B．625mD．675m

2

2

C．650m

6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是

252

cm.2

中学资料2

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7．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，假使要使整个挂图的面积是ycm，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm.

(1)求出y关于x的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；

(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积．

2

解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm，宽为(50＋2x)cm，∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x＋260x＋4000(1≤x≤2)．

652

(2)∵二次函数y＝4x＋260x＋4000的对称轴为直线x＝－，∴在1≤x≤2上，y随x的增大而

2增大．

∴当x＝2时，y取最大值，最大值为4536.

答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4536cm.中档题

8．(2023·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，则水面宽度增加(42－4)m.2

2

9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m.

2

10．如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方

中学资料3

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离地面都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？

解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y＝ax＋c.

??（－0.5）a＋c＝1，

把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得?

?a＋c＝2.5，?

2

2

a＝2，??

解得?1

c＝.??2

12

∴绳子所在抛物线的函数表达式为y＝2x＋.21

∵当x＝0时，y＝，

2

∴绳子最低点距离地面的距离为0.5m.

11．(2023·荆州)为响应荆州市“创立全国文明城市〞号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成，设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝xm，面积为ym.(如图)

2

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160m，求x的值；

(3)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．

单价(元/棵)合理用地(m/棵)22

甲140.4乙161丙280.4中学资料4

解：(1)y＝－2x2

＋36x.(9≤x＜18)(2)由题意，得－2x2

＋36x＝160.

解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x的值为10.

(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a棵，b棵，c棵．则

???a＋b＋c＝400，??a＝－1100＋6c??14a＋16b＋28c＝8600，解得?，??

b＝1500－7c.?－1100＋6c＞0，∵??1500－7c＞0，∴1831＜c＜2??32147

.

c＞0，

∴c最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵．当c＝214时，a＝184，b＝2，

184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m2

)．∵y＝－2x2

＋36x＝－2(x－9)2

＋162，∴当x＝9时，空地的面积最大为162m2

.∵162＞161.2，

∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．

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第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题

基础题

知识点1商品销售问题

1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)A．y＝－10x－560x＋7350B．y＝－10x＋560x－7350C．y＝－10x＋350xD．y＝－10x＋350x－7350

2．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A．5元

B．10元

C．0元

D．6元

2

2222

3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y＝－x＋80x－1000，则每天最多可获利600元．

4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋〞自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如下图．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.

??10k＋b＝30，

将(10，30)，(16，24)代入，得?

?16k＋b＝24.???k＝－1，

解得?

?b＝40.?

∴y与x的函数关系式为y＝－x＋40(10≤x≤16)．

中学资料6

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(2)根据题意知，W＝(x－10)y＝(x－10)(－x＋40)＝－x＋50x－400＝－(x－25)＋225.

∵a＝－1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大．∵10≤x≤16，

∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.

答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山〞的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利一致．(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

解：(1)设该型号自行车进价为x元，则标价是1.5x元，由题意，得1．5x×0.9×8－8x＝(1.5x－100)×7－7x，解得x＝1000.

则1.5×1000＝1500(元)．

答：该型号自行车进价为1000元，标价为1500元．(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得a

w＝(51＋×3)(1500－1000－a)

2032

＝－(a－80)＋26460.

203

∵－＜0，

20

∴当a＝80时，w最大＝26460.

答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26460元．

知识点2其他最值问题

中学资料

7

2

2

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6．烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度52

h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从

2点火升空到引爆需要的时间为(B)A．3s

B．4s

C．5s

D．6s

7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．中档题

8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在以下时间中炮弹所在高度最高的是(B)A．第8秒

B．第10秒

C．第12秒

D．第15秒

2

9．(2023·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是32

s＝60t－t，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．

2

10．(2023·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．

小明计划其次期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，其次期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2.(单位：元)(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；

(2)当x取何值时，其次期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？解：(1)其次期培植的盆景比第一期增加x盆，则其次期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得

W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x＋60x＋8000，W2＝19(50－x)＝－19x＋950.

(2)W＝W1＋W2＝－2x＋60x＋8000＋(－19x＋950)＝－2x＋41x＋8950.41

∵－2＜0，－＝10.25，x为整数，

2×（－2）∴当x＝10时，W最大，

中学资料

8

2

2

2

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W最大＝－2×10＋41×10＋8950＝9160(元)．综合题

11．(2023·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫〞活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)

??x＋4（1≤x≤8，x为整数），

与月份x(月)的关系为：y＝?每件产品的利润z(元)与月份x(月)

?－x＋20（9≤x≤12，x为整数），?

2

的关系如下表：

xz119218317416515614713812911101011101210(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；

(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；

(3)当x为何值吋，月利润w有最大值，最大值为多少？解：(1)根据表格可知：当1≤x≤10(x为整数)，z＝－x＋20；当11≤x≤12(x为整数)，z＝10.∴z与x的关系式为：

??－x＋20（1≤x≤10，x为整数），

z＝???10（11≤x≤12，x为整数），??－x＋20（1≤x≤9，x为整数），或z＝?

?10（10≤x≤12，x为整数）.?

(2)当1≤x≤8时，w＝(－x＋20)