成信工统计天气预报课件第9章-谱分析

第九章谱分析一·谱及谱分析的概念二·功率谱三·功率谱的估计四·利用功率谱做周期分析五·滤波六·谱分析应用及发展一·谱及谱分析的概念1·谱分析

即时间序列在频域上进行分析，亦称频谱分析或波谱分析，可以针对时间序列或空间序列的波动进行分析。（本章仅讨论时间序列）2·离散谱或线谱3·连续谱2·离散谱或线谱对任一的周期变化的时间函数，在满足狄氏条件下，可展成如下的级数

2·离散谱或者线谱

意义：可见，一般的时间函数可看成由无穷个不同频率的振动波叠加而成，实际分析中对这些振动波的振幅及位相的了解十分重要。

2·离散谱或者线谱利用尤拉公式2·离散谱或者线谱2·离散谱或者线谱

称为的复谱

用K为横坐标，为纵坐标作图，这种图称为振幅谱图或位相谱图又由于K是整数，谱图上的期限是不连续的，称这种谱为离散谱或线谱。3·连续谱

两边乘并在周期T上积分有考察无限时间序列中各种频率结构

3·连续谱代入有当第一项为0第二项中或者3·连续谱3·连续谱则有又有利用Euler公式3·连续谱则再令则有3·连续谱

称为时间函数的谱是复数，也可表示为称为连续振幅谱，称为相应的位相谱而复谱可见，离散谱与连续谱具有相同的特点二·功率谱1·概念引出当电阻为1个单位，瞬时电压为则瞬时功率为总能量为此式也可表数学期望为0的的方差，按前述观点总能量或总方差可以分解为各波动的部分能量或方差之和。功率谱分析即是如此。2·离散的功率谱表示3·连续的功率谱2·离散的功率谱表示

同周期T2·离散的功率谱表示由于负波数的复谱就等于正波数复谱的共轭即则有在某时间段T上取则有其中2·离散的功率谱表示又由于振幅谱与相同不妨集中表示在的谱图上，故令称为离散功率谱3·连续的功率谱为了解连续频率对应的振动波的方差贡献，利用3·连续的功率谱称为功率谱密度或证为三·功率谱的估计1·离散功率谱的估计对于实现时间序列现实（1）计算不同波数K的傅氏系数估计其中K的取值为[]表示取整数部分1·离散功率谱的估计

（2）计算不同波数K的功率谱值（3）波数为横轴，离散功率谱估计值为纵坐标做谱图。在横坐标上通常也标上对应的振动周期值或频率值。2·连续功率谱的估计通过时间函数的自相关函数作间接估计（1）自相关函数表示的连续功率谱为标准化时间函数即数学期望为0方差为1则自相关函数2·连续功率谱的估计利用傅里叶反变换展开有为奇函数，具有反对称性为偶函数,具有对称性，加上平稳随机过程的自相关函数，也是偶函数，也有对称性。上式容易变成可见，连续功率谱函数在正负半轴上对称，因而类似离散谱做法，只给出正半轴的连续功率谱即可。2·连续功率谱的估计（2）连续功率谱的估计步骤1）计算样本落后自相关系数为最大步长，或最大落后时间长度。2）求粗谱估计利用近似积分中的梯形公式

K最大可取令3）计算平滑功率谱2·连续功率谱的估计可用平滑公式设计一个窗函数则谱估计公式可写为另外，为保持权重一致，端点也还要乘上0.5，在此，计算平滑功率谱密度估计公式式中2·连续功率谱的估计4）做谱图以波数为横轴，平滑功率谱密度估计值为纵坐标作图其中波数与周期关系四·利用功率谱做周期分析1·利用功率谱图显示的不同频率振动的功率大小就可以确认主要振动及其对应的周期但是，由此确认的周期是否有统计意义，还需要做显著性检验。四·利用功率谱做周期分析2·离散功率谱检验∵的总方差可以分解为个波动方差之和∴可利用方差检验的方法假设统计量其中为原序列方差显著反之不显著四·利用功率谱做周期分析3·连续功率谱检验（1）连续功率谱检验基本思路与非周期性随机过程比较来进行非周期性随机过程：一般指两种过程，白色噪音过程和红色噪音过程。这里的比较过程可通过谱曲线进行。四·利用功率谱做周期分析（2）红色噪音过程的功率谱红色噪音过程即是一阶马尔柯夫过程或一个自回归模型。∴红色噪音功率谱为四·利用功率谱做周期分析上面求和式展开可由三部分组成。当有当有当有四·利用功率谱做周期分析将上三部分带回原式四·利用功率谱做周期分析可见，红噪音谱在有其最大值，即只有线性直线趋势而无其他周期振荡。（3）白色噪音过程功率谱白噪音：自协方差可见，白色噪音过程是另一种周期过程（4）显著性检验五滤波1·问题的提出2·滤波方法的基本思想3·低通过滤4·高通过滤5·带通过滤1·问题的提出

在前述的谱和功率谱的讨论中，我们可以概括功率谱图上现实的不同频率振动的功率大小,（也即方差贡献的大小）即谱值最大来确认主要振动及其相应的主要周期；并通过显著性检验来确认显著性主要周期的存在，从而获得时间序列中的主要周期信息。然而，在气象要素的谱分析过程中，一些规则周期占有很大的分量，例如月均序列分析中，年变化的周期一定是主要周期，当这种周期确实众所周知的，它的存在，压低了其他周期的表示，一旦把它去掉，则可突出的表现其他周期的成分，这在实际的气象分析和研究工作中都是很有意义的需求。1·问题的提出那么如何突出提取和某些需要的周期成分？解决办法:滤波（1）含义：去掉某些周期成分，突出所需的周期成分（2）方法：实际上是将原来序列经过一定的变换转化为另一序列（的过程）这个过程通常称为滤波过程。2·滤波方法的基本思想要求:过滤器系统具有时间不变性和稳定性，如果用一脉冲函数作为输入，其输出记为称为脉冲响应。对任意输入函数，可表示成无穷脉冲的积分形式根据线性和时间不变性的要求，输出亦可表示成无穷脉冲响应的积分形式据前述复谱的概念称脉冲函数的谱为频率响应，记为输入的谱记为输出的谱记为2·滤波方法的基本思想由功率谱公式故输出的功率谱为可见通常对某一频率的振动，通过过滤后，其方差有所削弱，其削减量是输入与输出的功率谱比值即3·低通过滤（1）含义：使过滤后的序列主要含低频振动分量的过滤称为低通滤波。（2）方法一：滑动平均方法令则输出函数为取截断滑动长度为k,有其中称为滑动权重系数，为保证系统稳定，要求例如间隔时间取3点，5点……滑动平均（并取等权重，如）2.56.70.39.81.23.56.04.37.13·低通过滤频率响应对过滤后的序列

不同频率方差削弱的考虑，利用

的谱的表示，写成离散形式对一般的等权重过程，若取间隔时间

则（对以年为时间间隔的气象序列，这种过程称为m年滑动平均）3·低通过滤

下面考察这种过程对原序列所含的各种周期振动的影响其中当

足够小时，近似有

故3·低通过滤讨论：在通常的滑动平均中对于无穷大周期即低频，频率响应为表示过滤后无任何削弱低频无影响对于周期等于滑动间隔为m的周期振动，即则表示这种周期振动全部削弱，而周期振动也全部削弱。对于大于m的周期其总是小于1，这类周期有不同程度的方差或振幅削弱，周期越大，削弱程度越小。3·低通过滤（3）方法二：二项系数滑动方法：在滑动间隔m内，滑动步长与

的关系当m=3时，k=1,二项系数

为1,2,1.故权重系数频率响应函数

之间当时，有极大值低频保留大当时，有极小值高频削弱大4·高通过滤（1）含义：使过滤后的序列主要含高频振动的分量（2）一阶差分过滤（3）q阶差分过滤利用后移算子B的形式有一阶q阶设B的多项式为则4·高通过滤（4）q阶差分过滤的频率响应由于关于y落后k的自相关函数可表示为则功率谱4·高通过滤4·高通过滤即频率响应取其实部有可见，对于高频振动，无削弱对于低频振动，完全削弱阶数愈高，削弱速度愈快，过滤效果愈好。5·带通过滤（1）含义：使过滤后的序列主要含某一感兴趣的频带的振动。（2）方法一：用两个简单的低通（或高通）滤波器来构成一个带通滤波器例子：5年滑动平均滤掉5年一下的波

9年滑动平均滤掉9年一下的波两个过滤后的序列相减，可得到5~9年周期波动的序列。5·带通过滤方法：第一次第二次则频率响应函数缺陷：效果不理想，对感兴趣频带有较大削弱5·带通过滤（3）方法二：理想带通滤波器设计思想：过滤出中心频率频率带范围内的序列，希望频率振动无任何削弱，不在频带内的振动削弱为0.方法：相应的频率响应分段设计5·带通过滤例如设计11年周期，即的