2021数学苏教版一轮考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条件含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高考数学苏教版一轮考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条件含解析考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条件高考概览高考在本考点的常考题型为选择题,分值5分，低难度考纲研读1.理解命题的概念2．了解“若p，则q"形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3．理解充分条件、必要条件与充要条件的含义一、基础小题1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是（）A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0,则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0答案D解析对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2＋b2≠02．下列命题：①“若a≤b,则a〈b”的否命题;②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题;③“周长相等的圆面积相等”的逆命题；④“若eq\r(2)x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（)A．②④ B．①②③C．②③④ D．①③④答案B解析对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真,故逆否命题为真；对于③,“面积相等的圆周长相等”为真；对于④，“若eq\r(2)x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假,逆否命题为假．故选B.3．已知命题α：如果x〈3，那么x〈5;命题β:如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3。关于这三个命题之间关系中，下列说法正确的是（)①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题;②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③ D．①②③答案A解析本题考查命题的四种形式,逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得,故①正确,②错误，③正确．4．下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是(）A．a－1〉b B．a＋1〉bC．｜a|〉|b｜ D．a3〉b3答案B解析寻找使a>b成立的必要不充分条件，若a>b,则a＋1>b一定成立，a3〉b3也一定成立,但是当a3〉b3成立时,a〉b也一定成立，故选B。5．命题“若x2〈1，则－1〈x<1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1〈x〈1,则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1,则x2≥1答案D解析对原命题的条件进行否定作为逆否命题的结论，对原命题的结论进行否定作为逆否命题的条件，由此知命题“若x2〈1，则－1<x〈1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”6．命题“f（x),g(x)是定义在R上的函数，h(x）＝f（x）·g（x），若f（x)，g(x）均为奇函数，则h（x）为偶函数"的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是(）A．0 B．1C．2 D．3答案B解析由f（x),g（x）均为奇函数可得h(x）＝f(x）·g(x）为偶函数，反之则不成立,如h（x）＝x2,f(x)＝eq\f（x2，x2＋1），g（x)＝x2＋1，h(x）是偶函数,但f（x),g(x）都不是奇函数,故原命题的逆命题是假命题，其否命题也是假命题，只有其逆否命题是真命题．故选B.7．已知0<α<π，则“α＝eq\f(π，6)”是“sinα＝eq\f（1,2）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵0〈α〈π，则“α＝eq\f(π，6)”⇒“sinα＝eq\f(1,2）”,“sinα＝eq\f（1，2）"⇒“α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(5π,6）”,∴已知0〈α<π，则“α＝eq\f（π，6)"是“sinα＝eq\f（1,2)”的充分不必要条件．故选A.8．在下列四个命题中,其中的假命题是（）①命题“若m＋n〉2t，则m>t且n>t”的逆命题；②“相似三角形的面积相等"的否命题;③“末位数字不为零的数能被3整除"的逆否命题；④命题“若c>1，则方程x2－2x＋c＝0没有实数根”的否命题．A．②③ B．①④C．①② D．③④答案A解析因为①中所给命题的逆命题“若m〉t且n>t，则m＋n>2t”成立,所以①为真命题．因为②中所给命题的否命题“如果两个三角形不相似，那么它们的面积不相等”不成立，所以②为假命题．因为③中所给命题的逆否命题“如果一个数不能被3整除,那么它的末位数字为零”不成立，所以③为假命题．因为④中所给命题的否命题“若c≤1，则方程x2－2x＋c＝0有实数根”成立，所以④为真命题．综上知，应选A。9．“a＝b＝1”是“直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行"的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析a＝b＝1时,两直线分别为x－y＋1＝0与x－y－1＝0，斜率相同，所以平行，充分性成立；当直线ax－y＋1＝0与直线x－by－1＝0平行时，b＝0显然不符合，所以b≠0，由斜率相等，得a＝eq\f(1,b)，显然不一定是a＝b＝1，所以必要性不成立，故选A。10．若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的________．(填“否命题”“逆命题”或“逆否命题”）答案逆否命题解析由4种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．11．设p：ln（2x－1)≤0，q：(x－a)［x－(a＋1）］≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f(1，2)））解析由p得：eq\f（1,2）〈x≤1，由q得：a≤x≤a＋1，因为q是p的必要而不充分条件，所以a≤eq\f（1，2）且a＋1≥1，所以0≤a≤eq\f(1,2)。12．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分”“必要”或“充要”填空）答案充分充要解析由题知p⇒q⇔s⇒t，又t⇒r,r⇒q，q⇒s⇒t,故p是t的充分条件，r是t的充要条件．二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面,则α∥β的充要条件是(）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α,β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交,故A，C,D中的条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行,反之也成立．因此B中的条件是α∥β的充要条件．故选B.14．(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x〈0”是“｜x－1｜〈1"的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由“x2－5x<0”可得“0<x〈5”;由“｜x－1｜〈1”可得“0〈x〈2"．由“0<x〈5”不能推出“0〈x〈2"，但由“0〈x<2”可以推出“0<x<5”，所以“x2－5x<15．(2019·浙江高考）若a〉0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵a〉0，b〉0，a＋b≤4，∴2eq\r（ab）≤a＋b≤4。∴ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时,令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4,这与a＋b≤4矛盾,因此必要性不成立．综上所述，当a>0,b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”16．（2019·北京高考)设点A,B，C不共线,则“eq\o（AB,\s\up6（→))与eq\o(AC,\s\up6(→）)的夹角为锐角”是“|eq\o（AB,\s\up6(→)）＋eq\o(AC，\s\up6(→）)｜>|eq\o（BC，\s\up6（→)）｜”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\o（AC,\s\up6（→）)－eq\o(AB,\s\up6(→)),所以｜eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o（AC，\s\up6(→)）|>｜eq\o（BC，\s\up6（→））|等价于|eq\o（AB，\s\up6（→）)＋eq\o(AC,\s\up6(→））|〉|eq\o(AC，\s\up6（→)）－eq\o（AB，\s\up6(→))｜，因模为正,故不等号两边平方得eq\o（AB，\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→））2＋2｜eq\o(AB,\s\up6(→））｜|eq\o(AC，\s\up6(→））|cosθ>eq\o（AC，\s\up6(→))2＋eq\o(AB，\s\up6(→）)2－2|eq\o(AC，\s\up6(→）)｜｜eq\o（AB,\s\up6（→））|cosθ(θ为eq\o(AB，\s\up6(→））与eq\o(AC，\s\up6（→)）的夹角）,整理得4｜eq\o（AB,\s\up6（→）)｜·｜eq\o（AC，\s\up6(→））|cosθ>0,故cosθ〉0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆,所以“eq\o(AB，\s\up6(→）)与eq\o（AC，\s\up6（→)）的夹角为锐角”是“｜eq\o（AB，\s\up6(→))＋eq\o（AC，\s\up6（→))｜>|eq\o(BC,\s\up6（→））|”的充分必要条件．故选C.17．(2019·北京高考)设函数f（x)＝cosx＋bsinx（b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析∵f(x)＝cosx＋bsinx为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，∴2bsinx＝0。由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0。必要性成立．反过来，若b＝0，则f（x）＝cosx是偶函数．充分性成立．∴“b＝0"是“f（x)为偶函数”的充分必要条件．故选C。18．（2018·北京高考）设a，b均为单位向量，则“｜a－3b|＝｜3a＋b｜”是“a⊥bA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b｜2＝｜3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0,又｜a|＝｜b｜＝1,∴a·19．(2018·天津高考）设x∈R，则“｜x－eq\f（1，2)｜<eq\f（1,2）”是“x3〈1”的(）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析由|x－eq\f（1,2）|〈eq\f(1,2)得－eq\f(1,2)〈x－eq\f(1,2）<eq\f(1，2)，解得0<x〈1。由x3<1得x〈1。当0<x<1时能得到x<1一定成立；当x<1时,0〈x<1不一定成立．所以“｜x－eq\f（1,2）|〈eq\f（1,2）”是“x3〈1”的充分而不必要条件．故选A.20．（2018·北京高考）能说明“若f（x）>f(0)对任意的x∈(0，2］都成立,则f（x）在[0，2]上是增函数"为假命题的一个函数是________．答案f（x）＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)解析根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为［0，2］的不单调函数,满足在定义域内有唯一的最小值点，且f（x)min＝f（0)即可，除所给答案外,还可以举出f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0，x＝0，,\f(1，x），0〈x≤2））等．三、模拟小题21．（2020·陕西渭南摸底)已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是（）A．命题p的逆命题是“若x<a2＋b2，则x〈2ab”B．命题p的逆命题是“若x〈2ab,则x<a2＋b2C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab"D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”答案C解析命题p的逆命题是“若x≥2ab,则x≥a2＋b2”,故A，B都错误;命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x〈2ab"22．(2019·开封一模）已知直线l，m和平面α,m⊂α,则“l∥m”是“l∥α"的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案D解析直线l，m，平面α，且m⊂α,若l∥m,当l⊄α时，l∥α，当l⊂α时不能得出l∥α，故充分性不成立；若l∥α，则l与m可能平行，也可能异面，故必要性也不成立．由上证知“l∥m”是“l∥α”的既不充分也不必要条件．故选D。23．（2020·山东烟台摸底)有下列几个命题:①“若a>b，则eq\f（1,a)〉eq\f(1,b)"的否命题;②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4,则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③答案C解析①原命题的否命题为“若a≤b，则eq\f（1，a）≤eq\f（1,b）”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数,则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题,故其逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③。24．（2019·山西吕梁一模）设p：关于x的方程4x－2x－a＝0有解；q：函数f（x)＝log2(x＋a－2）在区间(0，＋∞）上恒为正值，则p是q的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由题意知p：方程a＝4x－2x有解，a＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f（1,2)）)2－eq\f（1,4),所以a≥－eq\f(1，4），q:log2(x＋a－2)〉0在（0，＋∞）上恒成立,则0＋a－2≥1，解得a≥3，所以p是q的必要不充分条件．故选B。25．（2019·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量,则“a·(b－c）＝0”是“b＝c”的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析由b＝c,得b－c＝0，得a·（b－c)＝0；反之不成立．故“a·（b－c)＝0"是“b＝c"的必要不充分条件．26．(2019·西安八校联考)在△ABC中，“eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o(BC，\s\up6（→))〉0”是“△ABC是钝角三角形"的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析解法一：设eq\o（AB，\s\up6(→）)与eq\o（BC,\s\up6（→))的夹角为θ，因为eq\o（AB，\s\up6（→）)·eq\o(BC，\s\up6(→）)>0，即｜eq\o(AB，\s\up6(→））|｜eq\o（BC,\s\up6(→））|cosθ〉0，所以cosθ〉0，θ<90°，又因为∠B＝180°－θ，所以90°〈∠B〈180°,所以△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“eq\o（AB，\s\up6(→）)·eq\o(BC，\s\up6（→）)>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A.解法二：由eq\o(AB,\s\up6(→）)·eq\o（BC，\s\up6(→））〉0，得eq\o（BA，\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)）<0，即cosB〈0，所以90°〈∠B〈180°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“eq\o(AB，\s\up6（→））·eq\o(BC，\s\up6(→)）〉0”是“△ABC是钝角三角形"的充分不必要条件，故选A.27．（2020·广西南宁摸底)已知集合P＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x|x＝k＋\f(1，2)，k∈Z））,Q＝eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x｜x＝\f（k，2),k∈Z))，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．4答案C解析因为P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x｜x＝k＋\f(1，2），k∈Z））＝eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜x＝\f(2k＋1，2）,k∈Z)),Q＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1（x|x＝\f（k,2),k∈Z))，所以PQ,所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题,则原命题的否命题为假命题,所以真命题的个数为2。28．（2019·郑州模拟）已知“命题p：(x－m)2>3（x－m）”是“命题q：x2＋3x－4〈0"成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．答案（－∞，－7］∪[1，＋∞)解析由命题p中的不等式(x－m）2〉3（x－m），得（x－m)（x－m－3）>0，解得x>m＋3或x<m.由命题q中的不等式x2＋3x－4<0，得（x－1）(x＋4）〈0，解得－4〈x〈1。因为命题p是命题q的必要不充分条件，所以q⇒p，即m＋3≤－4或m≥1，解得m≤－7或m≥1。所以实数m的取值