18学年高中数学第一章三角函数5第2课时正弦函数的性质教学案北师

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[核心必知]

正弦函数y＝sinx的性质

函数定义域值域奇偶性周期y＝sinxR[－1,1]奇函数T＝2πππ??在?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)上是增加的；22??π3π??在?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)上是减少的22??π当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；23π当x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－12[问题思考]单调性最值1．“正弦函数在第一象限是增加的〞这一说法正确吗？为什么？

π??提醒：不正确．事实上，“第一象限〞是由所有的区间?2kπ，2kπ＋?(k∈Z)构成的，在这

2??样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增加而增加的．

2．正弦曲线有对称轴和对称中心吗？分别有多少个？

提醒：正弦函数曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形．函数y＝sinx，(x∈R)的对称轴π

是x＝kπ＋(k∈Z)，有无数条；对称中心是点(kπ，0)(k∈Z)，有无穷多个．

2

讲一讲

1．求函数y＝lg?sinx－

??2?

?的定义域．2?

[尝试解答]要使函数y＝lg?sinx－则sinx－

22>0，即sinx>.22

?

?2?

?有意义，2?

作出正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图像．如图，由图像可以得到满足条件的x的集合为

?π＋2kπ，3π＋2kπ?，k∈Z.?4?4??

∴函数y＝lg?sinx－?

?2?

?的定义域为2?

?π＋2kπ，3π＋2kπ?，k∈Z.?4?4??

1．求由三角函数参与构成的函数定义域，对于自变量必需满足：(1)使三角函数有意义．(2)分式形式的分母不等于零．(3)偶次根式的被开方数不小于零．(4)对数的真数大于0.

2．求三角函数定义域时，往往归结为解三角不等式(组)，这时可利用三角函数的图像直观

地求得解集．

练一练

1．求函数y＝－3sinx的定义域．

解：要使函数有意义，必需使－3sinx≥0.即sinx≤0，∴(2k－1)π≤x≤2kπ，k∈Z.

∴函数的定义域为[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z.

讲一讲

2．求以下函数的值域．(1)y＝2－sinx；(2)y＝lgsinx；

?π?2

(3)y＝sinx－4sinx＋5，x∈?0，?.

2??

[尝试解答](1)正弦函数y＝sinx的值域为[－1，1]．所以函数y＝2－sinx的值域为[1，3]．

(2)∵00

(2)由??－10?

π

{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}，关于原点对称．

2又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．

练一练

1＋sinx－cosx3．判断函数y＝的奇偶性．

1＋sinx2

???3

解：函数应满足1＋sinx≠0，∴函数的定义域为?x?x∈R，且x≠2kπ＋π，k∈Z?.∵函数

2???

的定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．

讲一讲

4．求以下函数的单调增区间．(1)y＝2sin(－x)；

(2)y＝a＋bsinx(a，b∈R且b≠0)．[尝试解答](1)y＝2sin(－x)＝－2sinx，∴函数y＝2sin(－x)的递增区间就是函数

u＝2sinx的递减区间．

∴函数y＝2sin(－x)的递增区间为

?2kπ＋π，2kπ＋3π?(k∈Z)．

?22???

ππ??(2)∵y＝sinx的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋?

22??π3π??2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)，减区间为??(k∈Z)．

22??∴当b>0时，y＝a＋bsinx的单调递增区间为

?2kπ－π，2kπ＋π?(k∈Z)；

?22???

当b0时，y＝a＋bsinx与y＝sinx的单调区间一致，当b?2kπ－π，2kπ＋π?，(k∈Z).??22??

求函数y＝sinx－4sinx－1的值域．

[错解]∵y＝sinx－4sinx－1＝(sinx－2)－5，∴y≥－5.

∴此函数的值域为[－5，＋∞)．

[错因]在探讨y＝(sinx－2)－5的值域时，误认为sinx∈R，而忽略了正弦函数的有界性，即|sinx|≤1.这也是此类问题的常见错误．

[正解]∵y＝sinx－4sinx－1＝(sinx－2)－5，且－1≤sinx≤1

∴当sinx＝－1时，函数的最大值是4.当sinx＝1时，函数的最小值是－4.∴此函数的值域为[－4，4]．

2

2

2

2

2

2

1．正弦函数y＝sinx，x∈R的图像的一条对称轴是()A．y轴B．x轴

π

C．直线x＝D．直线x＝π

2答案：C

2．函数f(x)＝1＋sinx的最小正周期是()A.

π3π

B．πC.D．2π22

答案：D

π???π?3．(天津高考)函数f(x)＝sin?2x－?在区间?0，?上的最小值为()4?2???A．－1B．－

22

C.D．022

π??π?π3π?2??π??解析：选B由已知x∈?0，?，得2x－∈?－，?，所以sin?2x－?∈?－，1?，

2?4?4??24?4???π?2??π?故函数f(x)＝sin?2x－?在区间?0，?上的最小值为－.

4?4?2??

4．函数f(x)＝sinx＋1的奇偶性是________．解析：f(－x)＝sin(－x)＋1＝sinx＋1＝f(x)∴f(x)是偶函数．答案：偶函数

π

5．设函数y＝sin(x－)取得最大值的x的集合是________．

6

ππ2ππ

解析：当且仅当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sin(x－)取最

6236大值．故x的集合为?x?x＝

??

2

2

2

??

?2π

＋2kπ，k∈Z?.3?

2π

答案：{x|x＝＋2kπ，k∈Z}

36．比较以下各组数的大小．

75

(1)sin2012°和cos160°；(2)sin和cos；

43

解：(1)sin2012°＝sin(360°×5＋212°)＝sin212°＝sin(180°＋32°)＝－sin32°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵sin32°－sin70°，即sin2012°>cos160°.

5π7π53π?π5?(2)cos＝sin?＋?，又sin?＋?＝cos，即sin>cos.4343?23?

一、选择题

1．函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的单调性是()A．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的

π??π?ππ???B．在?－，?上是增加的，在?－π，－?和?，π?上是减少的2??2?22???C．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的

π??π???ππ?D．在?－π，－?∪?，π?上是增加的，在?－，?上是减少的

2??2???22?

?ππ?解析：选B由正弦函数y＝4sinx，x∈[－π，π]的图像，可知它在?－，?上是增加

?22?

π??π??的，在?－π，－?和?，π?上是减少的．2??2??

2．函数y＝|sinx|的最小正周期是()ππ

A．2πB．πC.D.

24

解析：选B画出函数y＝|sinx|的图像，易知函数y＝|sinx|的最小正周期是π.3．以下关系式中正确的是()A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°

解析：选C∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，

?π?又∵y＝sinx在?0，?上是增加的，2??

∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.

4．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当

x∈?0，?时，f(x)＝sinx，则f??的值为()

2???3?

1133A．－B.C．－D.

2222

解析：选D∵f(x)的最小正周期为π，5ππππ3∴f()＝f(－)＝f()＝sin＝.33332二、填空题

31

5．y＝a＋bsinx的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________．

22

?

π??5π???1

解析：由?得a＝，b＝±1.

21

a－|b|＝－，??2

a＋|b|＝，

1

答案：±1

2

1

6．函数y＝的定义域是________．

1＋sinx1

解析：要使有意义，则有1＋sinx≠0.

1＋sinxπ

∴x≠－＋2kπ，k∈Z

2

π

答案：{x|x≠－＋2kπ，k∈Z}．

2

7．函数f(x)＝x＋sinx＋1，(x∈R)．若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．解析：∵f(a)＝2，∴a＋sina＋1＝2.∴a＋sina＝1.

∴f(－a)＝(－a)＋sin(－a)＋1＝－(a＋sina)＋1＝－1＋1＝0.答案：0

8．函数f(x)＝3sinx－x的零点个数为________．

解析：由f(x)＝0得sinx＝画出y＝sinx和y＝的图像如右图，可知有3个交点，则f(x)

33＝3sinx－x有3个零点．

3

3

3

3

3

3

2

xx

答案：3

三、解答题

π?π?9．求函数y＝2sin(x＋)，x∈?0，?的值域．

2?3?π?π5π??π?解：∵x∈?0，?，∴x＋∈?，?.

2?6?3?3?πππ

则当x＋＝，即x＝时，y最大为2，

326π5ππ

当x＋＝即x＝时，y最小为1.

362

π?π?∴函数y＝2sin(x＋)，x∈?0，?的值域是[1，2]．

2?3?

11

10．已知函数y＝sinx＋|sinx|.