河南省2023年普通高等学校全国统一模拟3月联考数学试题及参考答案

年普通高等学校全国统一模拟3月联考理科数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若的展开式中的系数为40，则k＝（）A.2 B.4 C. D.2.已知非空集合，集合，则a的取值集合与集合B的交集为（）A. B. C. D.3.已知向量和，在上的投影为正数，p：，q：或，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下：已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法中，正确的是（）A.B.若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元C.根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为D.这100份花费费用的中位数是4205元5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知数列的前n项和为，且，则（）A. B.2n C. D.8.已知实数a，b满足，则的最小值是（）A.1 B.2 C.4 D.169.已知抛物线C：，直线l经过定点，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，满足，则p＝（）A. B.1 C.2 D.410.在四边形ABCD中，，，则的最大值为（）A.25 B. C. D.11.已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，线段与双曲线C相交于点M，直线与y轴相交于点N，轴，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a为实数，为纯虚数，则______.14.为了庆祝新年的到来，某校“皮影戏”社团的6名男同学，2名女同学计划组成4人代表队代表本校参加市级“皮影戏”比赛，该代表队中有队长，副队长各一名，剩余两名为队员.若现要求代表队中至少有一名女同学，一共有______种可能.15.已知等腰的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，点D为外接圆劣弧上一点（不含端点），若，则______.16.若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知正项数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n项和，且.求数列的通项公式.18.（本小题满分12分）某社区对是否愿意参与2023年元旦文艺与体育活动进行调查，随机抽查男性居民，女性居民各35人，参与调查的结果如下表：愿意参与不愿参与男性居民15人20人女性居民25人10人（1）从已知数据判断能否有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82819.（本小题满分12分）已知圆柱的底面圆心为O，底面直径，圆柱的高为4，C为圆弧的中点，为圆柱的一条母线，D为AC的中点，E为CD的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且椭圆C的离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆C相交于P，Q两点，直线与椭圆C相交于M，N两点，点D为线段PQ的中点，点E为线段MN的中点，证明：直线DE过定点.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，求在点处的切线方程；（2）若，（）是的两个极值点，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角标系xOy中，曲M的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线M的普通方程；（2）若D为曲线M上一动点，求D到l距离的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知a，b，c均为正数，且，证明：（1）；（2）.参考答案1.【答案】C【解析】利用二项式定理可知的展开式中的系数为，得，故选C.2.【答案】C【解析】若集合A是非空集合，则一元二次方程有解，即，所以a的取值集合为，集合B即函数的定义域，所以a的取值集合与集合B的交集是，故选C.3.【答案】A【解析】若，则，即，得或，又因为在上的投影是正数，所以，所以，即成立，但不成立，所以p是q的充分不必要条件，故选A.4.【答案】C【解析】由频率分布直方图得，解得，故A错误；该病人在医院住院消费了4300元，报销金额为元，所以此人实际花费为元，故B错误；样本中可报销80%的占比为0.15，所以该医院可报销为80%的概率为，故C正确；样本中消费费用小于4000的直方图的面积为，所以中位数在内，所以消费费用的中位数的估计值为元，故D错误.故选C.5.【答案】B【解析】因为，则，又因为，，则a最大，，则.故选B.6.【答案】A【解析】由，则.故选A.7.【答案】D【解析】令，由题意可得，与原式作差可得，变形可得，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以.故选D.8.【答案】A【解析】法一：几何直观化依题意可知曲线表示一个以为圆心，1为半径的圆，求的最小值相当于先求的最小值，即求圆上一点到直线的距离d的最小值，所以，即的最小值为1.故选A.法二：线性规划设，则，若，因为实数a，b满足，所以直线需与圆在可行域有交点，所以当x最小时，直线需与圆相切，有，解得或121（舍），此时切点为在可行域内；若，同理，无解.综上，的最小值为1.故选A.9.【答案】C【解析】易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，.联立，消去x，得，则，.∵，∴，∴.故选C.10.【答案】B【解析】设，在中，由正弦定理可得，在中，，由余弦定理可得，所以当时，取得最大值为.故选B.11.【答案】A【解析】由题可得，外接球半径为，设三棱柱的侧棱长为h，则有，即侧棱，设BC的中点为F，作出截面如图所示，∵，∴，∴点E在以AF为直径的圆上，三棱锥的体积最大，∴点E到底面ABC距离的最大值为，由于，此时点P在线段上，符合条件.此时体积最大为.故选A.12.【答案】D【解析】设双曲线C的焦距为2c，由可得点P在圆上，联立方程，可解得点P的坐标为，直线的方程为，令，可得点N的坐标为，直线的方程为，令，解得，可得点M的坐标为，将点M的坐标代入双曲线C的方程有，有，有，解得.故选D.13.【答案】2【解析】为纯虚数，则.14.【答案】660【解析】若代表队中有1名女同学，此时共有种可能，若女同学的人数为2，则共有种可能，所以一共有660种可能.15.【答案】5【解析】因为，，成等差数列，所以，即，即，因为，所以，因为是等腰三角形，所以是正三角形，设的边长为x，，易得，根据圆周角定理，有，所以，，在中，根据正弦定理有，同理在中，，，所以.16.【答案】【解析】令，则，，①当时，，则为减函数，∴当时，，不等式恒成立；②当时，令，，则，∴，若，则在上为减函数，不等式恒成立时，，即，若，则易知存在，使得，∴在上单调递增，在上单调递减，此时，∴，不符合题意，综上所述，不等式恒成立时，实数a的取值范围是.17.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知（且），设，即，所以，……2分当时，.即，所以.……4分当时，符合上式，所以；……6分（2），……8分当时，，当时，，则.……12分18.【答案】（1）有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关（2）分布列见解析，【解析】（1）由已知得列联表：愿意参与不愿参与总计男性居民152035女性居民251035总计403070……2分因为.……4分所以有95%的把握认为是否愿意参与文艺和体育活动与性别有关；……6分（2）用分层抽样方法，在愿意参与的居民中抽取8人，男性居民应抽取3人，女性居民应抽取5人，再从这8人中随机抽取3人，记抽到的男性居民为X，则X的可能取值为0，1，2，3.……7分，，，，……10分所以X的分布列为：X0123P所以.……12分19.【答案】（1）略（2）【解析】证明：（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，又因为，，所以平面，因为平面，所以；……4分（2）由题意分别以CA，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，则，，……6分则，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，则，所以，……8分设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以，……10分所以，即二面角的余弦值为.……12分20.【答案】（1）（2）直线DE过定点，证明略【解析】（1）设点，的坐标分别为、.由题意有，解得，……3分故椭圆C的标准方程为；……4分（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，设点D的坐标为，点E的坐标为，直线的方程为，联立方程，消除y后有，有，可得，，……6分同理，，……8分由对称性可知直线DE所过的定点T必定在x轴上，设点T的坐标为，……9分有，有，化简得，解得，故直线DE过定点.……12分21.【答案】（1）（2）略【解析】（1）当时，，，，，所以在处的切线方程为；……3分（2）证明如下：由题意可知，（）是方