2022-2023学年上海市浦东新区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022学年第一学期期末考试试卷高一数学一、填空题（本题满分40分，每题4分，共10题）1.函数的定义域是_________．【答案】【解析】【详解】试题分析：函数满足，即函数定义域为考点：求函数定义域2.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】【分析】先根据待定系数法求得函数的解析式，然后可得的值．【详解】由题意设，∵函数的图象过点，∴，∴，∴，∴．故答案为．【点睛】本题考查幂函数的定义及解析式，解题时注意用待定系数法求解函数的解析式，属于基础题．3.已知函数的两个零点分别为，则___________.【答案】【解析】【分析】依题意方程有两个不相等实数根、，利用韦达定理计算可得；【详解】解：依题意令，即，所以方程有两个不相等实数根、，所以，，所以；故答案为：4.已知函数是奇函数，则实数______．【答案】0【解析】【分析】由奇函数定义入手得到关于变量的恒等式后，比较系数可得所求结果．【详解】∵函数为奇函数，∴，即，整理得在R上恒成立，∴．故答案为．【点睛】本题考查奇函数定义，解题时根据奇函数的定义得到恒等式是解题的关键．另外，取特殊值求解也是解决此类问题的良好方法，属于基础题．5.若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】分析】由题知，再解不等式组即可得答案.【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，所以，即，解得,所以，实数的取值范围是故答案为：6.古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段均为，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】【解析】【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.详解】解：如图，依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为则，则，即．因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．故答案为：.7.已知函数，且，那么=_________.【答案】-12【解析】【分析】代入，整体代换求值即可.【详解】由题意，，即，故,故答案为：-128.已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可.【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号，因为当时，；当时，；所以，根据对勾函数性质，当时，，所以，当时，，因为关于的不等式在区间上总有解，所以，，解得，所以，实数的取值范围为故答案为：9.已知函数，函数，如果恰好有两个零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】分析】求出函数的表达式，构造函数，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】，，由，得，设，若，则，，则，若，则，，则，若，则，，则，即，作出的图象如图，当时，，当时，，由图象知要使有两个零点，即有四个根，则满足或，故答案为：【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．10.设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________【答案】【解析】【分析】由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值.【详解】由题意知：，使成立，而当且仅当时等号成立，∴，而，即，∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值.二、选择题（本题满分16分，每题4分，共4题）11.已知为实数，若，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以是的必要不充分条件．故选:B．12.已知实数，，则的最小值为（）A.100 B.300 C.800 D.400【答案】D【解析】【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件.【详解】由，∴，当且仅当时等号成立.∴的最小值为400.故选：D13.设函数的定义域为，对于下列命题：①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最小值；②若函数有最小值，则存在唯一的，使得对任意，有；③若函数有最小值，则至少存在一个，使得对任意，有；④若是函数的最小值，则存在，使得．则下列为真命题的选项是（）A.①②都正确 B.①③都错误 C.③正确④错误 D.②错误④正确【答案】D【解析】【分析】根据函数最小值的定义依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于①，不一定是函数的函数值，所以可能的最小值大于，故错误；对于②，函数有最小值，则可能存在若干个，使得对任意，有，故错误；对于③，函数有最小值，则由最小值的定义，至少存在一个，使得对任意，有，故正确；对于④，若是函数的最小值，则存在，使得，故错误；.故真命题的选项是②错误④正确.故选：D14.设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.【详解】因为,分别是函数和的零点则,分别是和的解所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标所以交点分别为因为所以,由于函数与函数和函数都关于对称所以点与点关于对称因为关于对称的点坐标为所以即,且所以,由于,所以不能取等号因所以即故选:D【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.三、解答题（本题满分44分，共4题）15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可；（2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可.【小问1详解】解：由知，所以，【小问2详解】解：由知；所以.16.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可.（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.【小问1详解】由题意知，当时，（万件），则，解得，∴．所以每件产品的销售价格为（元），∴2020年利润．【小问2详解】∵当时，，∴，当且仅当即时等号成立．∴，即万元时，（万元）．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．17.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，设，且，求（用表示）；（3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，3.【解析】【分析】（1）时，不等式即，解不等式可得结果；（2）依题意得，进而由换底公式和对数的运算性质可得结果；（3）依题意得在区间上有解；令，则，因此求得的最大值即可求得结果.【详解】（1）当时，故，所以不等式的解集为；（2）当时，，，.（3）在（2）的条件下，不等式化为，即在区间上有解.令，则，，，，又是正整数，故的最大值为3.18.若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质．（1）判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数；（2）已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明；（3）已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）具有，证明见解析；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可；（2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式作差法比较即可；（3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可.【小问1详解】解：因为，所以函数具有性质，任取，则，因为，所以，所以，即，所以，在区间上单调递减.【小问2详解】解：因为，所以具有性质，由性质得或，解得或，因为，，所以，所以