物理静电场经典习题详解

题7.1：1964年 3的上夸克和两个带1e下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（102032.601015m。求它们之间的斥力。7.1解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律 q F 12e e2r402r

9r2 F与er2322E0其中是01010m，故电子、氢核都可视作点电荷。点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运222mv 40222E1

28022

0402

322

0题7.3：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl与其最邻近的八个一价格离子Cs+构成如图所示的（2）（l）F1F2的值为 F2（1）r10E10

4r2120Q120Q4r2E线上任意取一线元，其电荷为dq=Qdx/LP的电场强度为dE

dqr2PEPP的电场强度方向相同，ELdEPEx轴方向的分量因对称性叠加为P的电场强度就是ELdEyjLsin（1）

，利用几何关系rrx则 L2

L

0 00 -L20

L(r

4LrL

rL2

4r20x0PE的方向沿yE

0L4r0r2利用几何关系sinrrr2

L2

0-L20

L(x2r2)3L24L24rPE

Q

14r2

r2L21

QdlO强度dE

dqr2

。因圆环上电荷对yLdEx0OELdEyjE。解：O的电场强度E

sinQ0 L0

R 由几何关系dlRdEO

sind

022R0yPdEP1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由PdE的方P处的电场强度EdE i

00

(r2x2)3

(r2x2)3证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P激发的电场强度dE在Oxy平面内且对x轴对y轴和z轴方向上的分量之Ey、Ez均为零，则点P的EExidEcos xdy20y E

r0。试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度。7.7分析：p0er0而夹角为2p2er0cosO到场点A的距离x>>r0，利用中电偶极子在延长线上的电场强度1p10 x01：水分子的电偶极矩p2p0cos2er0E 2

4er0cos

1er0x03 x03

33EE00E00

cos

2ecos rx由于r2x2r22xrrx cosxr0rE

2e xr0

14(x2r22xrcos)3 x20 测量分子的电场时，总有x>>r0，因 2rcos3 32rcos式中(x2r2

cos)32x31 x31 ，将上式化简并略去

E1r0e3 37.8：r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（x求每一（1）=乘以单位长度导线所带电的量，即：FEE是除去自身电荷（1）

EEE-

xrx0 i20x(r02FF2r02FF2r0FF（1）（2）（1）pp可求得正、负等效电荷中心的间距，并由对称性求得正、负电荷中心。（1）dqQdsQ dp2Rcosdqj2QRcosdp2dp4QR lpQ根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标分别为02R和0,2R x12RsinRdθRy12RsinRdθR yO2R7.10：ER的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球S7.101：S求积分，即ΦSEdSS EdS1 q S的电场强度通量在数值上等于穿出半S的电场强度通量。因而SSΦEdSSS

EEE(cosesinesinerrdSR2sinddrSΦEdSS

ER2sin2dsin R2SSΦEdSSS

EΦER2cosR2题7.11：边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平面，立方体的一个题7.11解：参见图。由题意EOxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。电场强度的通量为零。即ΦOABCΦDEFG0。而ΦABGFEdS[(E1kx)iE2j][dSE2aCDEOABGF的外法线方向相反，ΦCDEOΦABGFE2a同理ΦAOEFEdS[E1iE2j]dSi)E1aΦBCDGEdS[(E1ka)iE2j](dSi)(E1ka)aΦΦka120Vm，方向指向地面。试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘米的7.11分析：考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为面，利用定理可求得面内的净电荷。解：在大气层地球表面处取与地球表面同心的球面为面其半径RRE（RE为地平均半径。由定EdSE4R2

1S 0

4R2

E1.06109CE0E0n

(e)6.63105

0rRrRk为一常量。试用定理求电场强度E与r的函数关系（你能用电场强度叠加原理求解（1）EdSE4rS根据定律EdS1dV 带电球壳，球壳带电荷为dq4r2drdE0dE

dVr0 2r0rE(r)0rRE(r)0R

0rrEdS1dV得球体内(0r E(r)4r21rkr4r2drkr0 r r球体外E(r)4r21Rkr4r2drkR0 44 20dqdV由上述分析，球体内(0rr kr 00E(r)0 r er400球体外R kr 00E(r)000

r er4r2xP的电场强度。7.14分析：利用定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场本题的电场分布虽然带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等E0 0enE2

1

xxx2r2x2rE

e。x2x2rnx=0E=1r2nE1r2n

nnr处的电场强度。7.15分析：无限长圆柱体的电荷具有轴对称分布，电场强度也为轴对称分布，且沿径矢EdSER2，处于

qr2 定理EdSq0可解得电场强度的分布，解：取同轴柱面为面，由上述分析得

1r2L

00

r2E R0 R0题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3Q2。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的r的连续函数？试分析。题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面为面。由于电荷呈球对称分布电场强度也为球对称分布面上电场强度沿径矢方向且大小相等因而EdSE4r2，在确定 面内的电荷q后，利用定理EdSqE4r2qr<R1， 面内无电荷，q0，E1= 1 Q(r 1 R<r<R q ，R3 Q(r3R3E 4(R3R3)r R2<r<R3，面内电荷为Q1，r0E r0 r>R3，面内电荷为Q1+Q2，r0EQ1r0 4r=R3的带E

如球壳的厚度变小，E的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E的变化成为一跃变。7.17：R1R2(R2>R1)，单位（1）rR1（2）R1R2（3）r7.17分析：电荷分布在无限长同轴圆拄面上，电场强度也必定电场强度通量不为零，且EdSE2rL，求出不同半 内的电荷q。利用 解：作同轴圆柱面为面。根据定理E4rLqrR1r

qE1qE2

r

qE3EL Q1Q2Q3Q1、Q3Q2O移到无穷远外力作功WW的负值，即WWW0Q2EWQ2(V0V)V0Q1、Q3O产生的电势（取无穷远处为零电势。1：Q1所受的合力为零d00 d001 14(2d解得

1Q1 4 由点电荷电场的叠加，Q1、Q3y轴上任E

0(d2y2)30？， 1 0Q2WEdl04Q2

dy 8 2：1相同，在任一点电荷所受合力均为零时O

1QQ1、4V0

Q2O 2QV 2080Err （1）rr1rr2（2）在点电荷的电场中，我们曾取r处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？试说明，7.19 U12

E

（2）E

rr荷分布在无限空间。r0（2）（1）环轴线上一点的电势，根据电势叠加原理，将这些不同半径的带电圆环在轴线上一点（2）由轴上电势分布的结果可知，在圆环中心处（x0）V有极大值，当质子从Ek0。根据能量守恒定律，可求出电子所需初速度的最小值。（1）dqdSdV

0(x2r2)10

0(x2r2)10R2r2R2r21R2r2R2r212202

r2)1

（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心处的动能Ek0，开始时质子的初速率1mv2e(VV) e(Re(RR 0ee(RR 0（1）（2） 理可求得各区域的电场强度分布，再由VP

EdlV V 1（l）E1 rE2

2r2r

R1rREQ1Q2

rr0 2 r0由电势V

Edl可求得各区域的电势分布。当rR1R1rR2V2

EdlR2rR2

E3Q1 1 Q1

0

2

0Q1 rR2V3

E3Q1Q2 R

11Q1E2dl 11Q140

R22（l）V1

R1rR2V 0 40

0若该点位于两个球面之外，即rR2VQ1Q2

0

V2r

分析无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称其电场和电势的分布也呈轴对称选取 VEdS1V0

bVaVbaE2b=0解：取高度为l、半径为r且与带电律同轴的回柱面为面，由定0rR时E2rlr2l0E(r)

0rRE2rlR2l0E(r)

rR时，V(r)Rrdr

(R2r2r2 R rR时，V(r)

dr 20 Vrm（1）EU12

REdllnR 解得2E

lnR22.110811210742r7.24V0C0C的水，则可融化多少冰？（L=3.34105mEqU8.98104 90A点的坐标为(0,R/2)，B点的坐标为(R/2,0)UAB7.25分析：Oxy平面上各点产生UABUABA点电