微积分综合练习题及参考答案

微积分综合练习题及参考

答案LastupdatedontheafternoonofJanuary3,2021综合练习题1（函数、极限与连续部分）1・填空题⑴函数/(X)—i—的定义域是ln1・填空题⑴函数/(X)—i—的定义域是ln（x2）•答案：兀〉2且"3.⑵函数=+ln(x+2)的定义域是.答案：(-2-1)<j(-L2](3)函数/(x+2)=xi2+4x+7,贝Ijf{x)=.答案:fM=x2+3小若函数/（小若函数/（力（4）二xsin——+hx<0=1x 在一=0处连续，贝1«=[k、 x>0函数/(函数/(x-⑸1):=X2-2x,则/(X)=一答案：f（X）=-V2-1v2v2-2x-3⑹函数心丫+1-的间断点是•答案：兀二一1(7)limxsinX=•答案：(7)limxsinX=•答案：1⑻若喘—==2,则斤二2•单项选择题kx答案：k=2答案：cA.xsinx 1、1 设函数〉心三匚，则该函数是（）•A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数C.ln（x+Jl+/）答案：B 2(3)为(函数y=—-+ln(x+5)的定义域)・A.x>-5B.(3)为(函数y=—-+ln(x+5)的定义域)・A.x>-5B.X>-5且XHOX>-5且XH—答案：D⑷设f(x+Y)=x2则f(x)=()A.x(x+l)C・x(x-2)D.(x+2)(x-l)答案：C(5)当斤=()时，函数(5)当斤=()时，函数/(x)=f\+2'在兀=0处连续.k、x=0

■答案：D(6)当“()时，函数(6)当“()时，函数/(A-)=r2+1XJ1,k、 x=0工0,在龙=0处连续.D.-1答案：B(7)函数/(a)=/：3_o的间断点是()Q-3x+2A.x=\,x=2D•无间断点C.x=\,x=D•无间断点答案:A3•计算题3x+2lim .—X2-4解：UmX2-3X+2X2-4=lim(—2)(—1)=恤口—2(X_2)(X+2)ZX+2解：解：lim+"=lim=-=2A->3X+142XT3牙・_2x_3xt3(牙_3)(A->3X+142解:1曲v'-6a+S=lim(H7=lim口=?JT—5x+4XT4(x_4)(X-1)Yf4A-1 3综合练习题2(导数与微分部分)(1)曲线/仗)=反+1在(1,2)点的切斜率是⑵曲线/W=e在(0J)点的切线方程是答案：y二x+\(3)已知f(x)=x3+3\则广(3)二答案:f(x)=3x2+3x]n3/73)=27(l+hi3)⑷已知/(x)qnxt贝IJ八x)二答案：广⑴八g占(5)若/位)=xe-\则厂(0)二答案:0=-2^心2.单项选择题(1)若/Gv)=e'rcosxf则广(0)二()-A.2 B.1 C.-1 D.-2因f\x)=(e"vcosxY=(e~v)zcosx+e~v(cosx)9所以广(0)=-e~°(cosO+sin0)=-1答案：C⑵设y=lg2x,则dy=()-答案：B—dx答案：B—dx2xxlnlOc.呱D・-dx

x⑶设y=fM是可微函数则df(cos2x)=(A.A.12广(COS2X)CLyB./\cos2x)siii2xd2xC.2：C.2：(cos2x)sin2・TdrD.一^广(cos2x)sin2xd2x答案：D⑷若/位内加+«3,其中"是常数，则厂(劝=(2A.cosx+3"- C.-sinx D.cosx答案：c综合练习题综合练习题3(导数应用部分)1・填空题(1)函数y=3(x-i)2的单调增加区间是答案：(1,+s)(2)函数/(A)=奴2+1在区间(0,+8)内单调增加，贝IJd应满足答案：«>02・单项选择题(1)函数y=U+D2在区间(-2,2)是()A•单调增加 B.单调减少c•先增后减 D•先减后增答案：D(2)满足方程/V)=0的点一定是函数y=/(x)的()•A.极值点B.最值点C.驻点D•间断点答案：C(3)下列结论中()不正确•A./W在“勺处连续,则一定在％处可微.B./W在x二“处不连续，则一定在巾处不可导.C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B(4)下列函数在指定区间(p,p)上单调增加的是()•A.sinx答案：B3・应用题(以几何应用为主)(1)欲做一个底为正方形，容积为10创2的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为/?m,容器的表面积为ym2o怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知所以 〉，”+4耳心…仃辱”+空432令y= = 解得唯一驻点x=6o因为本问题存在最小值’且函数的驻点唯一，所以x=6是函数的极小值点也是最小1HQ值点。故当x=6m,h=一=3m时用料最省.6二(2)用钢板焊接一个容积为4id底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/m；焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低最低总费用是多少解：设水箱的底边长为xm?M为力m,表面积为Sm2,且有h=2所以^⑴=x2+4a7?=x2+x令S3=0,得x=2.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当x=2m,h=\m时水箱的表面积最小.此时的费用为SQxl0+40=160(元)(3)欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm,高为/?m,所用材料(容器的表面积)为yn?o由已知r；r-I tA32 •>128^^以y=：r+4^^=jc+4.v =+ JCXOQ令y=2x--=0,解得唯一驻点X=4OJC O因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=4是函数的极小值点也是最小32值点。故当x=4m,h=$=2m时用料最省.4・请结合作业和复习指导中的题目进行复习。综合练习题4(一元函数积分部分)(1)若/W的一个原函数为hi%2f则/(%)=答案：二X若j/(x)dx=sin2x+c,则/(兀) •答案：2cos2x若|cosxdr= 答案：sinx+cJdL= 答案：e』+cj*(sin.答案：sinx+c(6)若J/(x)ck=F(x)+c,贝ljJ/(2x-3)dx=答案:|F(2X-3)+C 若Jf(x)dx=F(x)+c,则J.寸(1一F)dr= 答案:-—F(\—x2)+cAjAsinxcos2x-x2+x)dv=答案:Ing+1)血= dxjl答案：0|°e2'd¥= 答案：|乙选择题(1)下列等式成立的是()A•djf(x)dx=f(x) B,八fx)d.x=f(x)C.八J/(x)dx=/(x) D.Jdf(x)=/(x)答案：c(2)以下等式成立的是()A.Inxd-v=d(—)XA.Inxd-v=d(—)Xdx石答案：DB.siiix(i¥=d(cosx)D.3rdA=—In3⑶]*劝"(—¥)(女=()A.W)-/(x)+⑶]*劝"(—¥)(女=()A.W)-/(x)+cB・xf\x)+cD.(x+l)/'(x)+c答案:A(4)下列定积分中积分值为0的是()~~tivB.「二dv~~tivB.「二dvDJJ-k+sinx)dx答案:A⑸设/⑴是连续的奇函数则定积分⑸设/⑴是连续的奇函数则定积分£/(国&丫=()£/(x)d.rD.2八f(x)dx-X0D.2八f(x)dx-X0答案:A(6)下列无穷积分收敛的是(答案：D3.计算题(1)j(2x-l)l0ck>:j(2A-l),0(lv=lj(2x-l),0d(2v-l)=J?(2x-l),,+c・1⑵(7工in—Jx2・1SU1-]] 1解：f——=-fsin—d—=cos—+cJx"JxxxjAdv=2j=2e八+cj'n~e3(4+e')2dr解：]：'J(4+J)2d_¥=『2(4+ev)2d(4+er)1vq|ln21 .飞(4+e)L=A(216-125)=30-J4(14-5hixyl(1+5Inx)=—(1+5Inx)2=—(36-1)=—

解：j八2xsin.vdx=-xcosxlJ+jAcosxdx=sinAlJ=1综合练习题5(积分应用部分)1•填空题(1)已知曲线y=fM在任意点x处切线的斜率为 眉，且曲线过(4,5),则该曲线的方程是.答案：y=2a/x+1(2) 由定积分的几何意义知，［倒)一&二.答案：(3)微分方程V=y,y(0)=1的特解为•答案：y=J⑷微分方程y'+3y=0的通解为•答案：y=ce-3t⑸微分方程(丫*)3+4*丫＜4)=丫75由*的阶数为•答案：42.单项选择题⑴在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4)的曲线为()答案:A(2)下列微分方程中:)是线性微分方程・A.yx2+Iny=yrB.yfy+xy2=evC./+C./+答案：DD.ynsinx-yfcx=yInx⑶微分方程y=0的通解为（）A.y=Cx B.y=x+C C.y=C答案：C（4）下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A・—=x+y； B.D=xy+y/C・—=xy+sinx； =