2021高中数学高考高考数学知识点一本全

2021高考数学知识点一本全(文理通用)第一部分集合与常用逻辑用语 1第二部分函数 6第三部分导数 第四部分三角 第五部分平面向量 第六部分数列 第七部分不等式 第八部分直线和圆 第九部分圆锥曲线 第十部分立体几何 第十一部分概率统计 第十二部分排列组合与二项式定理(理科) 第十三部分复数 第十四部分算法、推理证明 第十五部分定积分与微积分基本定理(理科) 第十六部分极坐标与参数方程(理科) 第一部分集合与常用逻辑用语韦恩图韦恩图集合的特性列举法集合的分类描述法集合的表示交集补集(或V,且A,非-)x∈A是x∈B的充分条件x∈B是x∈A的必要条件原命题逆否命题存在性命题(3)反证法②一、集合的含义与表示元素a属于集合A记作a∈A,元素a不属于集合A记作a≠A.特殊的集合有：空集，白然数集N,正整数集N*(或N+),整数集z,有理数集Q,实数集R.4.集合的表示：列举法{a,b,c} 5.几个特殊的集合：①{(x,y)xy=0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集.②{(x,y)xy<0,x∈R,y∈R}二、四象限的点集.注]:①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2,1)}.②点集与数集的交集是O.例：A={(x,y)y=x+1},B={yly=x²+1},则ANB=×.二、集合间的基本关系1.子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作如果集合A中存在着不是集合B的元素，则集合A不包含于B,记作A<B或B≠A.2.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集，记作ASB或B2AA3.维恩图：我们通常用一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图.B4.集合的相等：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，则称集合A与集合B相等，记作A=B.5.相关性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A≤A;②空集是任何集合的子集，记为〇=A;③空集是任何非空集合的真子集；⑥n个元素的子集有2”个.真子集有2”-1个.非空真子集有2"-2个.三、集合的基本运算1.交集：由属于A又属于B的元素构成的集合，叫做A、B的交集，记作A∩B,即有A∩B={x|x∈Aʌx∈B}.2.并集：把集合A、B中所有元素并在一起构成的集合，叫做A、B的并集，记作AUB,即有AUB={x|x∈Avx∈B}.3.全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示.4.补集：如果A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作C,A,即有C.A={x|x∈AAx∈U}—2—高中数学知识点整理5.运算性质：①A∩B=B∩A,A∩A=A,ANO=O∩A=②AUB=BUA,AUA=A,AUO=OUAAUB③AUCA=U,ANC,A=×,C(C,A)=A.④*DeMorgan公式：C,AnC,B=C,(AUB)C,AUC,B=C(AnB) ?②如何证明A=B?③看集合要首先关注代表元.如：{x|y=lgx}—函数的定义域；{yly=lgx}—函数的值域；(x,y)|y=lgx}—函数图象上的点集。如：(2010北京1)集合P={x∈Z|O≤x<3},M={x∈Rx²≤9},则P∩M=答案：B四、常用逻辑用语1.命题：能判断真假的语句叫做命题，常用小写英文字母表示.正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.2.量词与命题：①短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，用符号V表示；含有全称量词的命题叫全称命题，用符号简记为：Vx∈M,p(x)个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号3表示；含有存在量词的命题叫存在性命题，用符号简记为：Bx∈M,q(x).注]:要判断一个全称命题假，只需举一个反例；要判断一个存在性命题真，只需举一个实例3.基本逻辑联结词与命题：“且”、“或”、“非(否定)”叫逻辑联结词，分别用符号ʌ,v,表示.不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题.复合命题的基本形式有：pʌq,pvq,-p.高中数学知识点整理pq一P1111000101011000是都是等于大于小于且不是不都是不等于小于或等于大于或等于或必有一个至少有η个至多有一个所有x成立所有x不成立一个也没有至多有n-1个至少有两个存在有一个x成立互否逆否命题：若非q则非p互逆逆互否空题的第14题的位置及第20题压轴题位置，属于较难题,例：(2007年北京)已知集合,若A∩B=φ,则实数a的,例：判断下列命题的真假：①若a+b≠5,则a≠2或b≠3应是真命题.解：逆否：a=2且b=3,则a+b=5,成立，所以此命题为真.②若x≠1且y≠2,则x+y≠3.应是假命题解：逆否：若x+y=3,则x=1或y=2.例：已知命题p:Vx∈R,sinx≤1,则(C)C.-p:3x∈R,sinx>1D.-p:Vx∈R,sinx>1例：命题p:已知a,b,c为实数，若ac<0,则ax²+bx+c=0有两个不相等的实根；其否命题为：若ac≥0,则ax²+bx+c=0没有两个不相等的实根，(假)—p(即命题的否定)为：若ac<0,则ax²+bx+c=0没有两个不相等的实根；例：设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A,如果k-l∈A且k+1∈A,那么k是A的一个“孤立元”,给定S={1,2,3,4,5,6,7,8,},由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共高中数学知识点整理幂函数指数函数幂函数指数函数解析式基本初等函数的图象性质和应用图像表格特殊的函数定义域函数性质的抽象表达与直观展示(抽象函数，图像)函数要素值域对应法则反函数导数单调性对称性两个变化过程的相依关对称性两个变化过程的相依关系(特征)的研究周期性极限对数函数三角函数 bxy=ax+xax+b1.了解映射f:A→B的概念：设A、B是两个集合，若按照某种对应法则f,对于集合A中的每个元素x,在集合B中都有唯一的元素y与之对应，则称这个对应f:A→B是从集合A到集合B的映射。x称为原象，y称为象。注意：(1)映射可以是多对1,也可以是一对一的对应，但不能是一对多的对应；(2)A中元素在B中必须都有象且唯一；(3)B中元素在A中不一定都有原象，若有原象也不一定唯一.2.函数如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f:A→B叫做A到B的函数，记作y=f(x).其做值域。3.函数f:A→B是特殊的映射.特殊在定义域A和值域C都是非空数集!注意值域C≤B.函数的三要素：定义域、对应法则、值域，其中值域由定义域和对应法则确定，也就是说，确定一个函数，就是确定函数的定义域和对应法则.—6—高中数学知识点整理4.求函数定义域的常用方法：(1)偶次根式的被开方数非负；分母不能为零；对数log。x中x>0,a>0且a≠1;三角形中0<A<π,,最等等.(2)根据实际问题的要求确定自变量的范围.注意单位.注]:定义域要用集合或区间表示，不能用不等式表示.5.求函数值域(最值)的方法：基本初等函数直接利用单调性；导数；均值定理；三角代换；数形结合等.6.指数函数f(x)=a¹(a>0,且a≠1)的反函数是ʃ'(x)=log。x(a>0,且a≠1),反之亦然.它们的定义域与值域互换，图象关于直线y=x对称.7.函数的奇偶性：为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性，但要注意定义域的变化，①定义法：直接利用奇偶性定义判断②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)±f(-如奇函数y=lg±x+√x²+1,的判断.(3)函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②若f(x)为偶函数，则f(x)=f(x),此性质常用于根据单调性解不等式.③若f(x)为奇函数，且0在函数的定义域中，则必有f(0)=0,常用此性质解题，但要注意：f(0)=0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.7.函数的单调性。值x₁,x₂,当x₁<x₂时，总有f(x₁)<f(x₂),那么就说f(x)在区间D上是增函数。如果函数y=ʃ(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=ʃ(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作函数y=f(x)的单调区间。—7—高中数学知识点整理(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法：(取值——作差——变形——定号);导数法：(在区间(a,b)内，若总有ʃ'(x)>0,则ʃ(x)为增函数；反之，若ʃ(x)在区间(a,b)内为增函数，则ʃ'(x)≥0,请注意两者的区别所在；②选择填空题还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注型函数的图象和单调性在解题中的运用(a,b同号时，对勾函数；a,b异号时，在(0,+c)(-,0)上分别单调)特别要注型函数的图象和单调性在解题中的运用 为渐近线的双曲线)③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如：函数y=logus(-x²+2x)的单调递增区间是?(答：(1.2)).关注定义域.函数的单调递增区间是?(应首先将x的系数化为正数)(2)特别提醒：合”或不等式表示.(3)注意函数单调性与奇偶性的应用：①比较大小；②解不等式；③求参数范围.8.常见的图象变换：①平移变换：f(x)→f(x±a)或f(x)±a;函数y=f(x±a)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿x轴左(右)平移a个单位得到的；函数y=ʃ(x)±a(a>0)的图象是把函数y=ʃ(x)的图象沿y轴向上(下)平移α个单位得到的；②伸缩变换：f(x)→f(ax)或af(x);函数y=af(x)(a>0)的图象是把函数y=f(x)的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到.—8—高中数学知识点整理*9.函数的对称性(1)一个函数本身的性质：若f(a+x)=f(b-x)对任意x恒成立，则函数f(x)的图象关于直轴对称；若f(a+x)+f(b-x)=0对任意x恒成立，,则f(x)的图象关于点中心对称.(2)两个函数的关系：若f(x)与g(x)关于直线x=a对称，则g(x)=f(2a-x);若f(x)与g(x)关于点(a,O)中心对称，则f(a+x)+g(a-x)=0.(3)特别关注形如的函数.其图像是双曲线，其两渐近线分别是直线(由分母 为零确定)和直线(由分子、分母中x的系数确定),对称中心是点(-10.函数的周期性：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x),那么这个函数f(x)就叫作周期函数.注意：①定义在R上的常数函数也是周期函数；②周期函数不一定有最小正周期；(1)若f(x)图像有两条对称轴x=a,x=b(a≠b),则f(x)是周期函数，且2|a-b|为一个周期；(2)若f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a≠b),则f(x)是周期函数，(3)如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b),则函数y=f(x)必是周期函数，且4|a-b|为一个周期：(4)若a≠0,且ʃ(x)满足-f(x)=f(a+x),或;;均可得出2α是f(x)的一个周期11.指数式、对数式：ag。N=N,,(a")'=a"12.幂、指、对函数的图象：指数函数y=a¹、对数函数y=log。x的图象都分两类(a>1、0<a<1);幂函数y=x"的图象首先关注第一象限，再根据定义域及奇偶性作出其它象限的图象.在同一坐标系中作出不同类型的幂函数.—9—高中数学知识点整理13.指数、对数值的大小比较主要方法为：(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1);14.函数的应用：求解数学应用题，要特别注意：设(解答中涉及到的字母),定义域(实际问题，注意单位),答(将所得的数学结果，回归到实际问题中去)*15.抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件(如：函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)利用一些方法(如赋值法(令x=0或1,求出f(0)或f(1)、令y=x或y=-x等)探究：(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究：(3)借鉴模型函数进行类比探究.几类常见的抽象函数：①正比例函数型：f(x)=kx(k≠0)--------f(x±y)=f(x)±f(y);②幂函数型：f(x)=x²--------------;③指数函数型：f(x)=a²------------f(x+y)=f(x)f(y),;④对数函数型：f(x)=log,x----⑤三角函数型：f(x)=tanx-----需要注意的是：函数模型只是满足所对应的抽象函数的一种函数类型，但该抽象函数并不一定就是该函数模型，所以，函数模型只能帮助我们思考，但不能作为推理、论证的依据.16.高考试题中关于基本初等函数性质考查的基本类型：函数是北京高考考查能力的重要素材，以函数为基础与其它章节在知识交汇点命制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重.以选择题、填空题形式主要考查函数的基本概念、函数图象、函数性质(单调性、奇偶性、周期性)等重要知识；同时关注函数知识的应用，突出函数与方程的思想、数形结合的思想，以及函数的应用意识.判断如下两个命题的真假：命题甲：f(x)在区间(1,2)上是增函数：命题乙：f(x)在区间(0,+0∞)上恰有两个零点x₁,x₂,且x₁x₂<1.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是(D)xDCBAxDCBA例：如图，动点P在正方体ABCD-ABC₁D₁的对角线BD₁上.过点P作垂直于平面BB₁D₁D的直线，与正方体表面相交于M,N.₁₁₁₁CB₁AA.AxOx例：已知函数若3x₁,x₂∈R,x₁≠x₂,使得f(x₁)=f(x₂)成立，则实数a的取值第三部分导数极极限极限运算法则函数的连续性导数导数的应用定积分基本函数求导乘积的导数商的导数复合函数求导函数零点的个数最值零点存在定理函数的平均变化率割线斜率切线斜率瞬时速度1.导数的背景：瞬时速度与瞬时变化率(平均变化率的极限).2.导数的几何意义：函数ʃ(x)在点x。处的导数的几何意义，就是曲线y=ʃ(x)在点P(x₀ʃ(x₀))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x₀f(x₆))处的切线的斜率是ʃ'(x₀),相应地切线的方程是y-y₀=f'(x₀)(x-xo).特别提醒：(1)在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；(2)在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是ʃ'(x₆).切线方程为y-yo=f'(x₀)(x-x₀);若不是切点，则需设切点坐标为(x,yi),再利用切线斜率)和切点在曲线上(y₁=f(x))两个条件列方程进行求解. (3)若f(x),g(x)有导数，则③[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(4)(理科)特别注意复合函数的导数，②[Cf(x)]=Cf'(x).;4.函数的单调性：(1)若f'(x)>0,则f(x)为增函数?(不正确，如),正确的说法应该是若f'(x)>0对x∈(a,b)恒成立，则f(x)在(a,b)上为增函数；(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则ʃ'(x)≥0恒成立，反之等号不成立；若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f'(x)≤0,反之等号不成立.5.函数的极值：(1)定义：设函数f(x)在点x。附近有定义，如果对x。附近所有的点，都有f(x)<f(x₈),就说是f(x₀)函数f(x)的一个极大值.记作y极大值=f(x₀),如果对x₀附近所有的点，都有f(x)>f(x₀),就说f(x₀)是函数f(x)的一个极小值.记作y极小值=f(x₆).极大值和极小值统称为极值.(2)求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤：(i)求导数f'(x):(ii)求方程ʃ'(x)=0的根x₀(iii)列表，检查f'(x)在x₀的左右两端的符号：“左正右负”→f(x)在x。处取极大值：“左负右正”→f(x)在x,处取极小值。特别提醒：(i)当函数可导时，x₀是极值点→x。是ʃ'(x)=0的变号零点，而不仅是ʃ'(xo)-0;(ii)已知x。是函数f(x)的极大(小)值，一定要既考虑ʃ'(x。)=0,又要考虑检验f'(x)“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记!6.函数的最大值和最小值：(1)定义：函数ʃ(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点函数值中的“最(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值);②将y=f(x)的各极值与f(a),ʃ(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别注意：(1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表!(2)要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题.7.高考试题中导数考查的基本类型：①曲线切线方程②讨论函数的单调性(重点)③求函数的极值、最值(重点)④不等式恒成立，求参数范围(难点)⑤已知函数在某个区间上是单调的，求参数范围(难点)⑥利用导数解题基本思路(格式)先写出定义域，关注参数范围，准确求导是基础，求单调区间全面，前后设问有联系，解题过程草图相伴。例.(切线问题：抓住点在曲线上，点在切线上，切点的导数值为切线的斜率三个要点已知：函,其中α>0.若直线x-y-1=0是曲线y=f(x)的切线，求：实数a的值.解：,(x≠0),设切点坐标为(x₀,yo),则解得x。=1,a=1.例：(极值问题注意检验)已知函数ʃ(x)=x³+ax²+bx+a²在x=1处有极值为10,求a,b的值.高中数学知识点整理第四部分三角终边相终边相同的角角的概念角函数定义正弦单位圆中的余弦三角函数线大边对大角正切辅助角公式二倍角公式三角函数的图象性质三角恒等变换解三角形正弦型函数正弦定理轴上角五点法概念2.终边相同的角的表示：注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等(3)终边在第一象限的角1弧度(lrad)≈57.3°.设α是任意一个角，P(x,y)是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是 与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.提醒：借助任意角三角函数的定义，可得到点的坐标的三角表示，如点P(rcosθ,rsinθ)—15—高中数学知识点整理5.单位圆与三角函数线：正弦线MP、余弦线OM、正切线AT只有一个公共点还要会求15°,75°的三角函数值.().奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)9.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：=2cos²α-1首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心!第三观察代数式的结构特点.(1)巧变角(用已知角表示未知角)如α=(α+β)-β=(α-β)+β,)—16—高中数学知识点整理(4)三角函数次数的降升升幂公式：1+cos2α-2cos²α,1-cos2α-2sin²α等(6)正余弦“三兄妹——sinx±cosx、sinxcosx”的联系——“知一求二”11.形如y=Asin(ox+φ)的函数：(1)y=Asin(αx+φ)图象做法：①用五点法作图；②图象变换：平移、伸缩两个程序(3)研究函数y=Asin(ox+q)性质的方法：类比函数y=sinx的性质进行研究，只需将y=Asin(ox+φ)中的ox+φ看成y=sinx中的x,但在求y=Asin(αx+(p)的单调区间时，要特别注意A和α的符号，通过诱导公式先将化为正数.(4)注意y=Atan(wx+q)的最小正周期：T=(5)变形过程中可能用到的重点公式是：降幂扩角公式：,辅助角公式：asinθ+bcosθ=√a²+b²sin(θ+q)(其中φ角由确定),该公式在求最值、化简时起着重要作用.12.正弦函数y=sinx(x∈R)、余弦函数y=cosx(x∈R)、正切函数y=tanx的性质：RRR奇偶奇单调递增区间,π无对称轴无13.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记!任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.:(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径)注意：①正弦定理的一些变式：②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：,常用余弦定理判断三角形的形状.解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.(4)面积公式：)(其中r为三角形内切圆半径).(5)大边对大角：当出现多个解时，常用于判断哪些是符合题意的解、哪些不是.在三角形中，A>B⇔sinA>sinB,这是“正弦定理+大边对大角”的应用.—18—高中数学知识点整理(1)特殊角三角函数值、诱导公式和三角变换公式使用错误(2)大题第一步化简错误(应在化简完后立刻检验)(3)已知三角函数值求角、同角三角函数之间的互化、三角函数值域和最值的研究经常会忽略角的范围.应用平面几何应用平面几何第五部分平面向量向量的表示平行向量(共线向量)向量的夹角(向量垂直)平面向量向量的方向平面向量向量的方向相等向量相反向量向量的大小单位向量几何：三角形法则和平行四边形法则向量的加减法向量的加减法应用：平移公式，两点间距离公式几何：平行向量运算实数与向量的乘积实数与向量的乘积应用：定比分点坐标公式求夹角向量的数量积θ=90°垂直，数量积为0应用：正余弦定理，两向量夹角，模长θ=0°平行，数量积为?0=180°平行，数量积为?物理：速度、力、位移其它—20—高中数学知识点整理1.向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向是任意的.).(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量.(与AB共线的单位向量是±).(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a//b,规定零向量和任何向量平行.提醒：①两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合.②三点A、B、C共线→AB、AC共线.(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是一a.2.向量的表示方法：(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后.(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等.(3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，α=(x,y)叫做向量a的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3.平面向量的基本定理：如果e₁和e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数名、名，使a=Aei+Ae2.如：(1)若a=(1,1),b=(l,-1),c=(-1,2),则c=____(答：(2)已知A₄BC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=rAB+sAC,4.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa,它的长度和方向规定如下：(2)当A>0时，Aa的方向与a的方向相同；当A<0时，Aα的方向与a的方向相反；—21—高中数学知识点整理当A=0时，Aa=0,注意：Aa≠0.5.平面向量的数量积：(1)两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作OA=a,OB=b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)称为向量a,b的夹角.当θ=0时，a,b同向；当θ=π时，a,b反向；时，a,b垂直.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注意数量积是一个实数，不再是一个向量.如：①已知|a|=2,b|=5,α·b=-3,则a+b|等于(答：√23).如：已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量α在向量b上的投影为_(答：(5)向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为θ,则：②当a,b同向时，α-b=la|b|,特别地，la²=a·a.如：已知a=(A,2A),b=(3A,2),如果α与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是.(答：或λ>0且A≠6.向量的运算：(1)几何运算：13高中数学知识点整理①向量加法：利用“平行四边形法则”进行.向量加法还可利用“三角形法则”:设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做α与b的和，即a+b=AB+BC=AC.②向量的减法：用“三角形法则”:设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA,由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.).(2)坐标运算：设a=(x,y₁),b=(x₂,y₂),则：①向量的加减法运算：a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂)②实数与向量的积：na=A(x,y₁)=(ax,Ayi).③若A(x,y₁),B(x₂,y₂),则AB=(x₂-x,y₂-y₁),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.④平面向量数量积：a·b=x₁x₂+y₁y₂x²+y²,a²=a²=x²+y².⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x₂,y₂),则|AB|=√(x₂-x)²+(v₂-y)?.7.向量的运算律：(1)交换律：a+b=b+a,a(ua)=(μ)a,a·b=b·a.(2)结合律：a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(3)分配律：(λ+μ)a=ha+μa,i(a+b)=ia+1b,(a+b)·c=a·c+b.c.b=0,则a=0或b=0.其中正确的是(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两—23—高中数学知识点整理8.向量a与非零向量b平行(共线)的充要条件：如：(1)已知a=(1,1),b=(4,x),u=α+2b,v=2a+b,且a//v,则x=(答：4)(2)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),则k=时，A,B,C共线.(-2或11)9.向量垂直的充要条件：如：已知OA=(-1,2),OB=(3,m),若OA⊥OB,则m=_(答：).*10.平移公式：注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?11.向量中一些常用的结论：(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用.(3)在△ABC中，①若A(x₁,yi),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃如：若△ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),→G为A4BC的重心，特别地PA+PB+PC=0→P为AABC的重心③PA·PB=PB·PC=PC·PA⇔P为AABC的垂心.—24—高中数学知识点整理 所在直线过△ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直线).⑤|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0→P为A4BC的内心.(5)向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线→存在实数α、β使得PA=αPB+βPC且α+β=1.如：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足(答：直线AB)12.一些概念：下列命题中，真命题的序号为：①AB=DC是A、B、C、D四点构成平行四边形的充要条件；③单位向量不一定都相等④若a·b=c·b,b≠0则a=c⑥若a²=b²,则a=b或a=-b:⑦若a-b=0,则a或b为零向量⑧若Aa=0,则A=0或α=0⑩四边形ABCD中，“BA∈R,AB=ADC,AD=ABC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要答案：③⑧⑨⑩—25—高中数学知识点整理数列的定义数列的定义第六部分数列Sn与an的关系递推公式给出数列求通项公式迭代叠等差数列的性质通项公式(倒写求和)通项公式等比数列的性质(错位相减)加累乘转化为熟悉的数列一次函数二次函数裂项求和错位相减分组求和等差数列等比数列等差数列等比数列数列与自然求和*****同学们也可按照“基础知识、基本方法、基本问题、思想方法”整理1.数列的定义：数列是一个定义域为正整数集N”(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式.3.等差数列的概念：(1)等差数列的判断方法：定义法a-a,=d(d为常数).(2)等差数列的通项公式：a₁=a₁+(n-1)d或a,=am+(n-m)d(3)等差数列的前n项和：,注意S,与中间项的关系.(4)等差中项：若a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，4.等差数列的性质：(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式a₁=a+(n-1)d=dn+a₁-d是关于n的一次函数，且斜率为公差d.前n项和是关于n的二次函数且常数项为0.(图像为通过原点的抛物线上的点)—26—高中数学知识点整理(2)若公差d>0,则为递增等差数列，若d<0,则为递减数列，若公差d=0,则为常数列.(3)当m+n=p+q时，则有am+a₀=a,+a₈,特别地，当m+n=2p时，则有am+a₀=2a,(4)若等差数列{a,}、{b}的前n和分别为A。、B。,且,则(5)“首项为正数”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和.“首项为负数”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和.求S,的最大值(或最小值)常用下面的方法：法一：由不等式组(或)确定出前多少项为非负(或非正)法二：因S,是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n∈N.(6)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次