广东省深圳市九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）-3的绝对值是（）A.3 B.−3 C.−13 D.13把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是（）

A.祝 B.你 C.顺 D.利下列计算错误的是（）A.a⋅a=a2 B.2a+a=3a C.(a3)2=a5 D.a3÷a−1=a4下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.据统计，从2005年到2015年中国累积节能1070000000吨标准煤，1070000000这个数用科学记数法表示为（）A.0.107×1010 B.1.7×109 C.1.07×109 D.10.7×108数学老师将全班分成7个小组开展小组合作学习，采用随机抽签确定一个小组进行展示活动，则第3个小组被抽到的概率是（）A.17 B.13 C.121 D.110一元二次方程x2-4=0的解是（）A.x=2 B.x1=2，x2=−2

C.x=−2 D.x1=2，x2=−2某校有21名同学们参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（）A.最高分 B.中位数 C.极差 D.平均数关于x的一元二次方程kx2+4x-2=0有实数根，则k的取值范围是（）A.k≥−2 B.k>−2且k≠0 C.k≥−2且k≠0 D.k≤−2施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）A.2000x−2000x+50=2 B.2000x+50−2000x=2

C.2000x−2000x−50=2 D.2000x−50−2000x=2如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A.x<−2或x>2

B.x<−2或0<x<2

C.−2<x<0或0<x<−2

D.−2<x<0或x>2

如图，已知双曲线y=kx(k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k值是（）A.3

B.2

C.4

D.32

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）分解因式：a3-2a2+a=______．在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一球，摸到黄球的概率是45，则n=_______。如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛______cm的地方．如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，则k的值为______．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）先化简，后求值：(1+1x−1)÷xx2−1，其中x=-4．

某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）计算：|-2|-2cos60°+（16）-1-（π-3）0．

为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生人数是______人；

（2）图2中α是______度，并将图1条形统计图补充完整；

（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有______人；

（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．

荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍，共花费90元；后又购买了1千克桂味和2千克糯米糍，共花费55元．（每次两种荔枝的售价都不变）

（1）求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元；

（2）如果还需购买两种荔枝共12千克，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低．

如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．

（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19？

（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．

（1）如图1中，PG与PC的位置关系是______，数量关系是______；

（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：PG=PC；

（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求PGPC的值．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：-3的绝对值是3．

故选：A．

计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C

【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，面“你”与面“考”相对，面“中”与面“顺”相对．

故选：C．

利用正方体及其表面展开图的特点解题．

本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．3.【答案】C

【解析】解：A、a•a=a2，正确，故本选项错误；

B、2a+a=3a，正确，故本选项错误；

C、（a3）2=a3×2=a6，故本选项正确；

D、a3÷a-1=a3-（-1）=a4，正确，故本选项错误．

故选：C．

根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项法则对各选项分析判断即可得解．

本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．4.【答案】D

【解析】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；

D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．

故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】C

【解析】解：1070000000=1.07×109．

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6.【答案】A

【解析】解：第3个小组被抽到的概率是，

故选：A．

根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案．

本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】D

【解析】解：∵x2-4=0，

∴x2=4，

∴x1=2，x2=-2，

故选：D．

移项后直接开平方求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8.【答案】B

【解析】解：共有21名学生参加预赛，取前11名，所以小颖需要知道自己的成绩是否进入前11．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，

第11名的成绩是这组数据的中位数，所以小颖知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．

故选：B．

由于有21名同学参加百米竞赛，要取前11名参加决赛，故应考虑中位数的大小．

本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】C

【解析】解：根据题意得k≠0且△=42-4k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

故选：C．

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=42-4k×（-2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10.【答案】A

【解析】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，

根据题意，可列方程：-=2，

故选：A．

设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2，列出方程即可．

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．11.【答案】B

【解析】解：∵正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，

∴A，B两点坐标关于原点对称，

∵点A的横坐标为2，

∴B点的横坐标为-2，

∵y1＜y2

∴在第一和第三象限，正比例函数y=k1x的图象在反比例函数y=的图象的下方，

∴x＜-2或0＜x＜2，

故选：B．

根据题意可得B的横坐标为2，再由图象可得当y1＜y2时，x的取值范围．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．12.【答案】B

【解析】解：如图，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．

∵Rt△OAB中，∠OAB=90°，

∴DE∥AB，

∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D，

∴DE为Rt△OAB的中位线，

∵△OED∽△OAB，

∴=．

∵双曲线的解析式是，

∴S△AOC=S△DOE=k，

∴S△AOB=4S△DOE=2k，

由S△AOB-S△AOC=S△OBC=3，得2k-k=3，

解得k=2．

故选：B．

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．

主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．13.【答案】a（a-1）2

【解析】解：a3-2a2+a

=a（a2-2a+1）

=a（a-1）2．

故答案为：a（a-1）2．

此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14.【答案】8

【解析】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中黄球n个，

根据古典型概率公式知：P（黄球）==，

解得n=8．

故答案为：8．

根据黄球的概率公式可得方程=，解方程即可求解．

此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15.【答案】8

【解析】解∵AB∥A′B′，

∴△AOB∽△A′OB′，

∴AB：A′B′=OD：OD′，

即1：2=OD：（24-OD），

解得：OD=8cm．

∴蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛8cm的地方．

故答案为8

利用相似三角形的相似比，列出方程，即可求出蜡烛与成像板之间的小孔纸之间的距离．

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出像的高度，体现了方程的思想．16.【答案】43

【解析】解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，

由题意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB∥OC，

则∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，

故∠AOF=60°=∠DOM，

∵OD=AD-OA=AB-OA=6-2=4，

∴MO=2，MD=2，

∴D（-2，-2），

∴k=-2×（-2）=4．

故答案为：4．

根据旋转的性质以及平行四边形的性质得出∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，进而求出D点坐标，进而得出k的值．

此题主要考查了平行四边形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确得出D点坐标是解题关键．17.【答案】解：原式=(x−1x−1+1x−1)×(x−1)(x+1)x

=xx−1×(x−1)(x+1)x

=x+1．

当x=-4时，原式=-4+1=-3．

【解析】

先将括号内的部分通分，再将括号外的分式因式分解，然后根据分式的除法法则，将除法转化为乘法解答．

本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及懂得分式的除法法则是解题的关键．18.【答案】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，

由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH，

∴∠ABC=30°，∠ACB=45°，

∵AB=32m，

∴AD=CD=16m，BD=AB•cos30°=163m，

∴BC=CD+BD=（163+16）m，

则BH=BC•sin30°=（83+8）m．

【解析】

如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．

此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．19.【答案】解：|-2|-2cos60°+（16）-1-（π-3）0

=2-2×12+6-1

=6．

【解析】

直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简求出答案．

此题主要考查了绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质等知识，正确化简各数是解题关键．20.【答案】40

54

330

【解析】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，

∴12÷30%=40，

故答案为：40；

…（2分）

（2）×360°=54°，

故答案为：54；

40×35%=14；

补充图形如图：

故答案为：54；

（3）600×=330；

…（2分）

故答案为：330；

（4）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，

∴P（A）=．…（2分）

（1）由自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，即可求得本次调查的学生人数；

（2）由×360°=54°，40×35%=14；即可求得答案；

（3）首先求得这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数；

（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．21.【答案】解：（1）设桂味的售价为每千克x元，糯米糍的售价为每千克y元；

根据题意得：2x+3y=90x+2y=55，

解得：x=15y=20；

答：桂味的售价为每千克15元，糯米糍的售价为每千克20元；

（2）设购买桂味t千克，总费用为W元，则购买糯米糍（12-t）千克，

根据题意得：12-t≥2t，

∴t≤4，

∵W=15t+20（12-t）=-5t+240，

k=-5＜0，

∴W随t的增大而减小，

∴当t=4时，W的最小值=220（元），此时12-4=8；

答：购买桂味4千克，糯米糍8千克时，所需总费用最低．

【解析】

（1）设桂味的售价为每千克x元，糯米糍的售价为每千克y元；根据单价和费用关系列出方程组，解方程组即可；

（2）设购买桂味t千克，总费用为W元，则购买糯米糍（12-t）千克，根据题意得出12-t≥2t，得出t≤4，由题意得出W=-5t+240，由一次函数的性质得出W随t的增大而减小，得出当t=4时，W的最小值=220（元），求出12-4=8即可．

本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用；根据题意方程方程组和得出一次函数解析式是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）设经过x秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19，

由题意得DN=2x，AN=6-2x，AM=x，

∵矩形ABCD中AB=3，BC=6，

∴AD=BC=6，CD=AB=3，

矩形ABCD的面积为：AB•AD=3×6=18，

△AMN的面积=12AN•AM=12x（6-2x）=3x-x2=19×18，

可得方程x2-3x+2=0，

解得x1=1，x2=2，

答：经过1秒或2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19；

（2）由题意得DN=2t，AN=6-2t，AM=t，

若△NMA∽△ACD，

则有ADAN=CDAM，即66−2t=3t，

解得t=1.5，

若△MNA∽△ACD

则有ADAM=CDAN，即6t=36−2t，

解得t=2.4，

答：当t=1.5秒或2.4秒时，以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似．

【解析】

（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系；

（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t值即可说明存在，反之则不存在．

此题考查了相似三角形的判定，正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可．23.【答案】CP⊥GP

CP=GP

【解析】解：（1）PG⊥PC且PG=PC；

理由：如图1，延长GP交DC于点H，

∵四边形ABCD和BEFG是正方形，

∴DC=BC，BG=GF，∠FGB=∠GCD=∠DCB=90°，

∴CD∥GF，

∴∠CDP=∠GFP．

∵P是线段DF的中点，

∴DP=FP．