北师大版九年级数学上册第四章-图形的相似练习题

第四章图形的相似1．已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是()A.eq\f(x,y)＝eq\f(3,2)B.eq\f(x,3)＝eq\f(2,y)C.eq\f(x,y)＝eq\f(2,3)D.eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)2．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是()A．2∶3B.eq\r(2)∶eq\r(3)C．4∶9D．8∶27图4－Y－13．如图4－Y－1所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则下列网格图中的三角形与△ABC相似的是()图4－Y－2图4－Y－34．如图4－Y－3，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，BC＝12，则DE的长是()A．3B．4C．5D．65．如图4－Y－4，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为()A．2∶3B．3∶2C．4∶5D．4∶9图4－Y－4图4－Y－56.如图4－Y－5，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P1B．P2C．P3D．P47．如图4－Y－6，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若eq\f(BO,OC)＝eq\f(2,3)，AD＝10，则AO＝________．图4－Y－6图4－Y－78．如图4－Y－7，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)9．2017·随州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．2017·铜仁如图4－Y－8，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB＝2米，BC＝18米，则旗杆CD的高度是________米．图4－Y－8图4－Y－911．如图4－Y－9，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，eq\f(OE,OA)＝eq\f(3,5)，则eq\f(FG,BC)＝________．12．如图4－Y－10，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，图4－Y－10点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．13．如图4－Y－11，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED.图4－Y－1114．如图4－Y－12，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．图4－Y－1215．如图4－Y－13，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，AE∶AD＝4∶5，求AF的长．图4－Y－1316．如图4－Y－14，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，连接AD，过点B作BF⊥AD分别交AD于点E，交AC于点F.(1)如图4－Y－12(a)，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE.(2)如图4－Y－12(b)，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于点M，求证：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.图4－Y－14

1．A2．C[解析]两个相似三角形面积的比是(2∶3)2＝4∶9.故选C.3．B[解析]根据勾股定理，得AB＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，所以△ABC中夹直角的两边的比为eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，观察各选项，只有B选项中的三角形符合．故选B.4．B[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3).∵BC＝12，∴DE＝eq\f(1,3)BC＝4.故选B.5．A[解析]由位似变换的性质可知A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积比是4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴eq\f(OB′,OB)＝eq\f(2,3).6．C[解析]∵∠BAC＝∠PED，而eq\f(AB,AC)＝eq\f(3,2)，∴当eq\f(EP,ED)＝eq\f(3,2)时，△ABC∽△EPD.∵DE＝4，∴EP＝6，∴点P落在点P3处．故选C.7．4[解析]∵AB∥CD，∴eq\f(AO,OD)＝eq\f(BO,OC)＝eq\f(2,3)，即eq\f(AO,10－AO)＝eq\f(2,3)，解得AO＝4.8．答案不唯一，如DF∥AC或∠BFD＝∠A[解析]∵∠A＝∠A，eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，∴△ADE∽△ACB，∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，∴△BDF∽△EAD；②当∠BFD＝∠A时，∵∠B＝∠AED，∴△FBD∽△AED.(答案不唯一)9.eq\f(12,5)或eq\f(5,3)[解析]当eq\f(AE,AD)＝eq\f(AB,AC)时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝eq\f(AB·AD,AC)＝eq\f(6×2,5)＝eq\f(12,5)；当eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC)时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝eq\f(AC·AD,AB)＝eq\f(5×2,6)＝eq\f(5,3).10．18[解析]如图：∵BE⊥AC，CD⊥AC，∴BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(AB,AC)，∴eq\f(1.8,CD)＝eq\f(2,2＋18)，解得CD＝18(米)．故答案为18.11.eq\f(3,5)[解析]∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，∴eq\f(OE,OA)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(FG,BC)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(3,5).12．78[解析]∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝25，△ABC的面积＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×15×20＝150.∵AD＝5，∴CD＝AC－AD＝15.∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠BAC＝90°.又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴eq\f(CE,AC)＝eq\f(CD,CB)，即eq\f(CE,20)＝eq\f(15,25)，解得CE＝12，∴BE＝BC－CE＝13.∵△ABE的面积∶△ABC的面积＝BE∶BC＝13∶25，∴△ABE的面积＝eq\f(13,25)×150＝78.13．证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(20.4,17)＝1.2，eq\f(AC,AD)＝eq\f(48,40)＝1.2，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AC,AD).又∵∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.14．解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求作的三角形．(2)如图所示，△A2B2C2就是所求作的三角形．∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－eq\f(1,2)×6×2－eq\f(1,2)×4×8－eq\f(1,2)×6×10＝28.15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC.(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.在Rt△ADE中，AE＝AD×eq\f(4,5)＝5×eq\f(4,5)＝4，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得BE＝eq\r(AE2＋AB2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).在▱ABCD中，BC＝AD＝5.由(1)得△ABF∽△BEC，∴eq\f(AF,BC)＝eq\f(AB,BE)，即eq\f(AF,5)＝eq\f(8,4\r(5))，∴AF＝2eq\r(5).16．证明：(1)∵在Rt△ABE和Rt△DBE中，BA＝BD，BE＝BE，∴Rt△ABE≌Rt△DBE.(2)①如图，过点G作GH∥AD交BC于点H，∵AG＝BG，∴BH＝DH.∵BD＝4DC，设DC＝1，BD＝4，∴BH＝DH＝2.∵GH∥AD，∴eq\f(GM,MC)＝eq\f(DH,DC)＝eq\f(2,1)，∴GM＝2MC.②如图，过点C作CN⊥AC交AD的延长线于点N，则