高一数学必修二课件第十章 第四节随机事件的概率

第四节

随机事件的概率1.概率和频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的______，称事件A出现的比例为事件A出现的_____.(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).频数频率2.事件的关系与运算(A，B分别代表事件A，B)

名称条件结论符号表示包含关系A发生⇒B发生事件B_____事件A(事件A_______事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若___________事件A与事件B相等A=B并(和)事件A发生或B发生事件A与事件B的并事件(或和事件)_____________交(积)事件A发生且B发生事件A与事件B的交事件(或积事件)____________互斥事件A∩B为_______事件事件A与事件B互斥A∩B=对立事件A∩B为_______事件,A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B=,P(A∪B)=1包含包含于B⊇A且A⊇BA∪B(或A+B)不可能不可能A∩B(或AB)3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:___________.(2)必然事件的概率为__.(3)不可能事件的概率为__.(4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=__________.(5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=__,P(A)=_______.0≤P(A)≤110P(A)+P(B)11-P(B)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)事件发生的频率与概率是相同的.

(

)(2)随机事件和随机试验是一回事.

(

)(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.

(

)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.

(

)【解析】(1)错误.频率是在相同的条件下重复n次试验,频数与试验次数的比值,它是概率的一个近似值,频率是随机的,概率是一个客观存在的确定的数值.(2)错误.在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件;条件每实现一次,叫做一次试验,如果试验结果无法确定,叫做随机试验.(3)正确.由概率的定义可知,在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(4)错误.两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生,不一定是同时发生.答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)×1.下列事件中不是随机事件的是(

)(A)某人购买福利彩票中奖(B)从10只杯子(8只正品,2只次品)中任取2只,2只均为次品(C)在标准大气压下,水加热到100℃沸腾(D)某人投篮10次,1次也没投中【解析】选C.由随机事件的概念可知,A,B,D均为随机事件,而C为必然事件.2.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为若试验次数n很大时，则P(A)满足()(A)P(A)≈(B)P(A)＜(C)P(A)＞

(D)P(A)=【解析】选A.由频率与概率的关系可知A正确.3.甲:A1,A2是互斥事件;乙:A1,A2是对立事件,那么(

)(A)甲是乙的充分不必要条件(B)甲是乙的必要不充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件【解析】选B.∵两个事件互斥,不一定对立,而两个事件对立,一定是互斥的,∴甲乙,乙⇒甲.4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是0.05和0.03，则抽验一件是正品(甲级品)的概率为_____.【解析】记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验一件是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.05－0.03＝0.92.答案:0.925.盒子中共有除颜色不同其他均相同的3只红球，1只黄球，若从中随机取出两只球，则它们颜色不同的概率为_____.【解析】从盒子中取出两只球共有6种方式，其中颜色不同的有3种，因此，它们颜色不同的概率为答案:考向1

随机事件、随机事件的频率与概率【典例1】(1)下列叙述中错误的是()(A)在2013年出生的366人中至少有2人的生日相同(B)频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会稳定于某个常数值，即概率(C)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0<P(A)<1(D)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率(2)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件？①从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签(除标有数字不同外其他均相同)中任取一张，得到4号签；②当a>1时，函数y＝ax在定义域R上是增函数；③当0<a<1时，函数y＝ax在定义域R上是增函数；④若a，b∈R，则a＋b＝b＋a.【思路点拨】(1)根据随机事件的频率与概率的关系以及概率的性质来判断.(2)根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义判断.【规范解答】(1)选D.由于2013年共365天，因此同一年出生的366人中至少有2人的生日相同，这一事件能发生，即选项A正确；由频率和概率的意义及相互关系，可知选项B正确；由于事件的分类为随机事件、必然事件和不可能事件，而P(必然事件)＝1，P(不可能事件)＝0，从而P(随机事件)∈(0,1)，即选项C正确；抽签是随机的且是等可能的，因此，甲、乙中奖的概率相等，且均为故选项D错误，故应选D.(2)①取到4号签，可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件；②当a>1时，函数y＝ax在定义域R上一定是增函数，故此事件是必然事件；③当0<a<1时，函数y＝ax在定义域R上是减函数，不是增函数，故此事件是不可能事件；④对任意两个实数，满足加法的交换律，故此事件是必然事件.【拓展提升】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【变式训练】某市2012年4月1日－4月30日对空气污染指数的检测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：67,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95，91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.根据国家标准，污染指数在0～50之间时，空气质量为优；在51～100之间时，为良；在101～150之间时，为轻微污染；在151～200之间时，为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市一年内(365天)的空气质量为优或良的概率给出一个预测.【解析】该市一个月中空气质量为优的有2天，发生的频率为空气质量为良的有26天，发生的频率为因此空气质量为优或良的频率为视其频率为空气质量为优或良这一事件发生的概率，故一年内该市空气质量为优或良的概率为考向2

随机事件间的关系【典例2】(1)下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件;②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A+B为必然事件.其中，真命题是()(A)①②④(B)②④(C)③④(D)①②(2)某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”.在①A与C；②B与E；③B与D；④B与C中，互斥事件有________；对立事件有_______.【思路点拨】要判断两个事件是互斥事件还是对立事件，只需找出各个事件包含的所有结果，根据它们之间能不能同时发生即可.在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，即可判断是否为对立事件.【规范解答】(1)选B.对①，将一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A，B互为对立事件，则这一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确.(2)①由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.②事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件.③事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件.④事件B“至少订一种报”中有如下可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有如下可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.答案:②②【互动探究】若本例题(1)①条件不变，根据抛掷结果试写出三对对立事件.【解析】由已知条件及对立事件的定义可知：对立事件有①“两次都是正面”与“至少一次反面”；②“两次都是反面”与“至少一次正面”；③“正反各一次”与“全正或全反”.【拓展提升】1.互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系.(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的.(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的.2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.【变式备选】对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()(A)互斥不对立(B)对立不互斥(C)互斥且对立(D)不互斥、不对立【解析】选C.不能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.考向3

互斥事件、对立事件的概率【典例3】(1)在一次投掷骰子的试验中，记事件A1＝{出现4点}，A2＝{出现大于3点}，A3＝{出现小于6点}，A4＝{出现6点}，下列等式中正确的是()(A)P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)(B)P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)(C)P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)(D)P(A1＋A4)＝P(A1)＋P(A4)(2)从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率是0.3，质量不小于4.85g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85)g范围内的概率是()(A)0.62(B)0.38(C)0.7(D)0.68(3)已知在6个电子元件中有2个次品，4个正品，每次任取1个进行测试，测试后不再放回，直到2个次品都找到为止，求经过4次测试恰好将2个次品都找到的概率.【思路点拨】(1)由于选项中的公式只有两个互斥事件的和事件的概率才满足,所以只需判断A1与A2,A1与A3,A1与A4以及A2与A3是否互斥即可;(2)利用概率的性质及互斥事件概率的公式即可解决;(3)4次测试恰好将2个次品都找到可分为“前3次测试仅有一次取到次品,第4次测试恰好取到次品”与“前4次测试都取到正品”两种情况.【规范解答】(1)选D.由题设,只有事件A1与A4是互斥事件,因此P(A1+A4)=P(A1)+P(A4),即选D.(2)选B.设一个羽毛球的质量为ξg,则P(ξ<4.8)+P(4.8≤ξ<4.85)+P(ξ≥4.85)=1.所以P(4.8≤ξ<4.85)=1-0.3-0.32=0.38.(3)设A表示事件“前3次测试仅有一次取到次品,第4次测试恰好取到次品”，B表示事件“前4次测试都取到正品”，则因为A，B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=故经过4次测试恰好将2个次品都找到的概率是【拓展提升】求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就会较简便.【提醒】应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥,然后求出各事件发生的概率,再求和.【变式训练】一个口袋里共有除颜色外其他均相同的7个白球和4个红球，现在一次取出三个球，则这三个球中至少有一个红球的概率是多少？【解析】方法一：记“三个球中至少有一个红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球”为事件A1，“三个球中有两个红球”为事件A2，“三个球全是红球”为事件A3，则A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3这三个事件两两互斥，故得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝方法二：记“三个球中至少有一个红球”为事件A，则“三个球全是白球”为事件A的对立事件故【满分指导】解答随机事件概率的综合题【典例】(2012·陕西高考)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.【思路点拨】

【规范解答】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

①Y

12345P

0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.②…………3分所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.…………

6分(2)方法一：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；③X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)③=0.1×0.9+0.4=0.49;X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.③……………9分所以X的分布列为E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.……………12分X012P0.50.490.01方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01；P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=0.49.………9分所以X的分布列为E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.………………12分X012P0.50.490.01【失分警示】(下文①②③见规范解答过程)1.(2013·株洲模拟)将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是()(A)必然事件(B)随机事件(C)不可能事件(D)无法确定【解析】选B.正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件.2.(2013·长沙模拟)某人打靶，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()(A)至多有一次中靶(B)两次都中靶(C)两次都不中靶(D)只有一次中靶【解析】选C.由对立事件的定义可知：至少有一次中靶的对立事件是两次都不中靶.

3.(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是_________.【解析】该两点间的距离为的概率答案:4.(2011·湖南高考)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140