北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明-测试卷含答案

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明评卷人得分一、单选题1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A．PC＞PD B．PC＝PD C．PC＜PD D．不能确定2．如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE3．已知三边的垂直平分线的交点在的边上，则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定4．如图,点C是△ABE的BE边上一点,点F在AE上,D是BC的中点,且AB=AC=CE,给出下列结论:①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正确的结论有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，则∠1与∠B的关系是（）A．互余 B．互补 C．相等 D．不确定6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．187．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）A．cm2 B．2cm C．3cm2 D．4cm28．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm9．在等边三角形所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形，这样的点一共有（）A．1个 B．4个 C．7个 D．10个10．如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长等于（）A．8 B．4 C．12 D．16评卷人得分二、填空题11．已知等腰三角形的一个外角是70°，则它顶角的度数为．12．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC=2：1，则∠A=__________．13．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=36°，则∠BAC的度数为________，∠C的度数为________．14．如图所示，AB=AD，AD∥BC，∠BDC=90°，∠ABC=∠DCB，则∠ADB等于________度．15．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则：：等于__________．16．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为_____．17．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于________.18．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为________cm．评卷人得分三、解答题19．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．20．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．21．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．22．如图：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接E、F，求证：AD是EF的垂直平分线．23．如图所示，是边长为1的等边三角形，是顶角的等腰三角形，以为顶点作一个的角，角的两边交、于、，连结，求周长.24．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．25．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．（1）试证明：AE=CD；（2）若AC=12cm，求线段BD的长度．26．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE．（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=6，求PQ的长．27．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB中点，设点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等，并说明理由；（2）若点P，Q同时出发，但运动的速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？（3）若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是逆时针沿△ABC的三边上运动，经过多少时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？参考答案1．B【解析】主要应用到全靠等三角形的判定、性质及应用．通过AAS来证明△OCP和△ODP全等即可．证明：∵OP平分∠AOB∴∠AOP=∠BOP∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D∴∠OCP=∠ODP=90°又∵OP=OP∴△OCP≌△ODP(AAS)∴PC＝PD点评：此题主要考查学生对全等三角形判定的应用，及对角平分线的理解．2．C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．3．B【解析】【分析】根据三角形三边垂直平分线概念即可解题.【详解】解,由三角形的垂直平分线可知,锐角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的内部,直角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的斜边上,钝角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的外部.故选B.【点睛】本题考查了三角形垂直平分线的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.4．B【解析】【分析】根据所给条件利用三线合一性质即可证明①正确,进而证明④正确,即可解题.【详解】①∵D是BC的中点，AB=AC，

∴AD⊥BC，故①正确；

②∵F在AE上，不一定是AE的中点，AC=CE，

∴无法证明CF⊥AE，故②错误；

③无法证明∠1=∠2，故③错误；

④∵D是BC的中点，

∴BD=DC，

∵AB=CE，

∴AB+BD=CE+DC=DE，故④正确．

故其中正确的结论有①④．

故选B.【点睛】本题考查三角形的性质和证明,中等难度,找到等腰三角形利用三线合一性质是解题关键.5．C【解析】【分析】根据直角三角形得∠A+∠B=90°,根据CD⊥AB，得∠1+∠A=90°,利用同角的余角相等即可得到∠1=∠B.【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°,∵CD⊥AB，∴∠1+∠A=90°,∴∠1=∠B（同角的余角相等）,故选C【点睛】本题考查了三角形的证明,用到了同角的余角相等,属于简单题,熟悉直角三角形的性质是解题关键.6．B【解析】试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．7．A【解析】【分析】根据等边三角形面积公式S=,即可解题.【详解】解：∵△ABC为等边三角形,边长=2,∴S==,故选A【点睛】本题考查求等边三角形的面积,属于简单题,熟悉等边三角形面积公式是解题关键.8．C【解析】试题分析：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选C．考点：线段垂直平分线的性质．9．D【解析】解：如图，①内部一个，是三角形的中心P，②外面有九个，在直线AP上有三个点，，，满足A=AB，A=AB，B=AB，同理，在直线BP上有三个点，在直线CP上有三个点，满足条件．共有10个点．故选D．10．A【解析】【详解】∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故选A．11．110°【解析】试题分析：三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，110°只可能是顶角．解：等腰三角形一个外角为70°，那相邻的内角为110°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以110°只可能是顶角．故答案为110°．考点：等腰三角形的性质．12．45°【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵E在线段AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠ABE=∠A=2∠EBC，∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2(∠A+∠A)=180°，∴∠A=45°，故答案为：45°.13．72°54°【解析】【分析】根据已知证明△ABC为等腰三角形,利用三线合一性质即可解题.【详解】解：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC（三线合一）,∵∠BAD=36°，∴∠BAC=72°,∠C=90°-36°=54°.【点睛】本题考查三角形的证明,三线合一的性质,属于简单题,熟悉三线合一的性质是解题关键.14．30【解析】【分析】根据已知证明三角形ABD为等腰三角形,利用AD∥BC得∠ABD=∠ADB=∠DBC,根据∠BDC=90°得到∠DCB与∠DBC互余,等量代换角即可解题.【详解】解：∵AB=AD，AD∥BC，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC,又∠ABC=∠DCB，∴∠DCB=2∠DBC,∵∠BDC=90°，即∠DCB+∠DBC=90°,∴∠DBC=30°,∴∠ADB=30°.【点睛】本题考查了简单的三角证明,平行线性质,直角三角形性质,中等难度,等量代换角是解题关键.15．2：3：4.【解析】【分析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．【详解】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴：：=2：3：4．故答案为2：3：4．16．30°或150°或90°【解析】试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为30°或150°或90°．点睛：本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．17．3【解析】【详解】试题分析：过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，在求得∠BCP=30°，在Rt△ECP中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得PD的长．试题解析：过P作PE⊥OB于E，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∠AOP=∠BOP=15°，∴∠BOA=30°，PE=PD，∵PC∥OA，∴∠BOA=∠BCP=30°，又△ECP为直角三角形，且PC=6，∴PE=3，PD=3．考点：角平分线的性质；特殊直角三角形的性质．18．4【解析】【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到答案．【详解】是角平分线上的一点，，，，M是OP的中点，，，，点C是OB上一个动点，的最小值为P到OB距离，的最小值，故答案为4．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，熟记性质并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．19．利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论．【解析】分析：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．在△ABD与△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD=AE．20．详见解析.【解析】【分析】根据已知条件证明AB=CD,AF=CF，证明Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）,得BF＝DE,进而证明△BFG≌△DEG（AAS），即可证明.【详解】证明∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG＝∠BFE＝90°,∵AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE．

在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝DE．在△BFG和△DEG中，∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE，BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS），∴FG＝EG，即BD平分EF【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质,中等难度,将中点问题转化成证明全等问题是解题关键.21．△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由见解析.【解析】试题分析：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．试题解析：△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD．理由如下：在△ADO与△AEO中，∠ADO=∠AEO=90°，，∴△ADO≌△AEO（HL），∴∠DAO=∠EAO，AD=AE，在△DOC与△EOB中，，∴△DOC≌△EOB（ASA），∴DC=EB，OC=OB，∴DC+AD=EB+AE，即AC=AB，∵∠DAO=∠EAO，∴AM⊥BC，CM=BM，在△COF与△BOF中，∠OMC=∠OMB=90°，，∴△COF≌△BOF（HL），在△ACF与△ABF中，∠AFC=∠AFB=90°，，∴△ACF≌△ABF（HL），在△ADB与△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），在△BCE与△CBD中，∠BEC=∠CDB=90°，，∴△BCE≌△CBD（HL）．22．详见解析.【解析】【分析】根据垂直证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），即可解题.【详解】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∵，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD是EF的垂直平分线【点睛】本题考查了全等三角形的判定,属于简单题,将垂直平分线问题转换为全等问题是解题关键.23．△AMN的周长为2．【解析】【分析】根据已知条件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM，证明△DMN≌△DEN，得到对应边相等即可解题.【详解】如图，延长NC到E，使CE=BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，又∵BM=CE，BD=CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，∵在△DMN和△DEN中，，∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.24．（1）见解析；（2）∠EBC=21°，∠F=23°．【解析】试题分析：(1)、根据题意得出AE=BE，然后结合AD=BD得出答案；(2)、根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=67°，根据∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度．试题解析：(1)、证明：∵∠A=∠ABE，∴EA=EB，∵AD=DB，∴DF是线段AB的垂直平分线；(2)、解：∵∠A=46°，∴∠ABE=∠A=46°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，∠F=90°﹣∠ABC=23°．25．（1）证明见解析（2）BD=6cm．【解析】【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12cm，即可求出BD的长．【详解】（1）∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°，∴∠D=∠AEC，又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，∴△DBC≌△ECA（AAS），∴AE=CD；（2）因为△ACE≌△CBD，所以BD=CE，因为CE=BC=AC=×12=6cm，所以BD=6cm．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．26．（1）详见解析；（2）PQ=8.【解析】【分析】（1）根据等边三角形得∠ACD=∠BCE,即可证明△ACD≌△BCE（SAS）,（2）过C作CH⊥BQ，垂足为H，由角平分线得到∠CAD=∠BAC=30°,通过（1）得∠CAD=∠CBH=30°,根据30