固体物理第四章能带论

固体物理第四章能带论第1页，共57页，2023年，2月20日，星期四本章的内容及要求：（1）熟练掌握自由电子模型和紧束缚近似的方法；（2）基本掌握布洛赫定理，周期性边界条件；（3）基本掌握一、二、三维的态密度、能态密度，费米面的计算；（4）了解一维周期场中电子运动的近自由电子近似方法、能隙的计算；（5）了解束缚近似——原子轨道线性组合法的近似方法、能带的计算。第2页，共57页，2023年，2月20日，星期四3、能带论提供了分析半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展1、能带理论的研究是从金属理论发展来的，把电子气当作自由气体，它能解决欧姆定律问题。2、第一次说明了固体为什么有导体、半导体和绝缘体之分能带论——用单电子近似来研究晶体中电子能量状态的理论，它是研究电子运动的主要理论基础第3页，共57页，2023年，2月20日，星期四能带论只是一个近似理论，它的假设前提是：1、绝热近似

把离子实与价电子分开讨论，离子实的运动相对于电子运动可以忽略或固定不动，离子实给电子提供一个固定的周期性势场。2、单电子近似

假定每个电子运动都是独立的，把多电子问题看成单电子问题。第4页，共57页，2023年，2月20日，星期四共有化电子的运动状态

——假定离子实处在其平衡位置，把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，把离子实偏离平衡位置的影响看成微扰。理想晶体——晶格具有周期性，等效势场V(r)具有周期性能带论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别原子，而是在整个固体内运动（越过势垒，任意运动）。

___共有化运动第5页，共57页，2023年，2月20日，星期四能带论的核心问题是求解一个在周期势场中的单电子问题，基本方程：波动方程晶格周期性势场第6页，共57页，2023年，2月20日，星期四§4.1布洛赫定理和布洛赫波——方程的解具有以下性质——布洛赫定理为一矢量—当平移晶格矢量波函数只增加了位相因子布洛赫定理——势场具有晶格周期性时，电子的波函数满足薛定谔方程第7页，共57页，2023年，2月20日，星期四当波函数具有如下形式：——晶格周期性函数——布洛赫函数满足布洛赫定理：第8页，共57页，2023年，2月20日，星期四近（准）自由电子模型

若电子的能量超过势垒，则电子可以相当自由的在整个固体内运动，近似于自由电子的运动，该模型称为准自由电子近似。

我们采用量子力学的微扰理论，即以自由电子的波函数作为零级近似的波函数，而把周期场作为微扰。§4.2一维周期场中电子运动的近自由电子近似

第9页，共57页，2023年，2月20日，星期四1.

模型和微扰计算

近自由电子近似模型—

金属中电子受到原子实周期性势场的作用—假定势场的起伏较小零级近似：周期性势场的起伏量作为微扰来处理第10页，共57页，2023年，2月20日，星期四1）零级近似下电子的能量和波函数

——空格子中电子的能量和波函数一维N个原子组成的金属，金属的线度零级近似下薛定谔方程波函数和能量本征值第11页，共57页，2023年，2月20日，星期四波函数满足正交归一化——l为整数2）微扰下电子的能量本征值

哈密顿量满足周期边界条件第12页，共57页，2023年，2月20日，星期四根据微扰理论，电子的能量本征值一级能量修正第13页，共57页，2023年，2月20日，星期四二级能量修正——按原胞划分写成——引入积分变量——第14页，共57页，2023年，2月20日，星期四利用势场函数的周期性i)

ii)

第15页，共57页，2023年，2月20日，星期四将和代入——周期场V(x)的第n个傅里叶系数第16页，共57页，2023年，2月20日，星期四二级能量修正式第17页，共57页，2023年，2月20日，星期四计入微扰后电子的能量

第18页，共57页，2023年，2月20日，星期四3）微扰下电子的波函数

电子的波函数波函数的一级修正第19页，共57页，2023年，2月20日，星期四计入微扰电子的波函数第20页，共57页，2023年，2月20日，星期四令可以证明电子波函数——具有布洛赫函数形式第21页，共57页，2023年，2月20日，星期四

电子波函数的意义

电子波函数和散射波—波矢为k的前进的平面波—平面波受到周期性势场作用产生的散射波散射波的波矢相关散射波成份的振幅第22页，共57页，2023年，2月20日，星期四当相邻原子的散射波有相同的位相,即分母为0时：散射波散射波成份的振幅第23页，共57页，2023年，2月20日，星期四波函数一级修正项——微扰法不再适用了第24页，共57页，2023年，2月20日，星期四

电子能量的意义二级能量修正当——电子的能量是发散的—k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的第25页，共57页，2023年，2月20日，星期四4）电子波矢在附近的能量和波函数

简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成状态——是一个小量周期性势场中，对其有主要影响的状态——只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响第26页，共57页，2023年，2月20日，星期四状态对状态的影响第27页，共57页，2023年，2月20日，星期四简并波函数薛定谔方程考虑到得到第28页，共57页，2023年，2月20日，星期四分别以或从左边乘方程，对x积分利用线性代数方程a,b有非零解波函数满足正交归一化第29页，共57页，2023年，2月20日，星期四i)波矢k离较远，k状态的能量和状态k’差别较大将按泰勒级数展开能量本征值第30页，共57页，2023年，2月20日，星期四第31页，共57页，2023年，2月20日，星期四——k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高原来能级较低的k下降了——量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了——能级间“排斥作用”

第32页，共57页，2023年，2月20日，星期四ii)波矢k非常接近

，k状态的能量和k’能量差别很小将按泰勒级数展开第33页，共57页，2023年，2月20日，星期四第34页，共57页，2023年，2月20日，星期四结果分析

i)两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态，能量提高；原来能量低的状态能量降低第35页，共57页，2023年，2月20日，星期四两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-第36页，共57页，2023年，2月20日，星期四ii)当0时——>0,<0两种情形下完全对称的能级图——A和C、B和D代表同一状态，因为它们从>0,<0两个方向当0的共同极限第37页，共57页，2023年，2月20日，星期四2.能带和带隙（禁带）

——零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线

——微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大即满足——k状态不计二级能量修正——抛物线第38页，共57页，2023年，2月20日，星期四当电子的——微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用存在一个的态，和状态能量相同由于周期性势场的微扰，能量本征值在处断开能量的突变第39页，共57页，2023年，2月20日，星期四能量本征值在断开两个态的能量间隔——禁带宽度第40页，共57页，2023年，2月20日，星期四电子波矢取值——对于一个l，有一个量子态k能量本征值——当N很大时，Ek视为准连续——由于晶格周期性势场的影响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带能量本征值在处断开第41页，共57页，2023年，2月20日，星期四

结果分析讨论

1)能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲第42页，共57页，2023年，2月20日，星期四2)禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处第43页，共57页，2023年，2月20日，星期四3)禁带的宽度——取决于金属中势场的形式第44页，共57页，2023年，2月20日，星期四

能带及一般性质

自由电子的能谱是抛物线型——晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度的禁带—发生能量跃变——在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近第45页，共57页，2023年，2月20日，星期四——每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带——各能带之间是禁带,在完整的晶体中，禁带内没有允许的能级第46页，共57页，2023年，2月20日，星期四能带序号k的范围布里渊区的长度布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区——一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系第47页，共57页，2023年，2月20日，星期四一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系第48页，共57页，2023年，2月20日，星期四——每个能带中包含的量子态数目各个能带k的取值数目——原胞的数目——计入自旋，每个能带中包含2N个量子态第49页，共57页，2023年，2月20日，星期四

电子波矢和简约波矢的关系

——第一布里渊区近自由电子中电子的波矢在一维情形中——m为整数简约波矢的取值范围简约波矢，计为和电子波矢k之间的关系

——l为整数第50页，共57页，2023年，2月20日，星期四

用简约波矢来表示能级

——电子的能级——m为整数，对应于不同的能带第51页，共57页，2023年，2月20日，星期四第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢移到简约布里渊区——每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像——简约波矢的取值被限制在简约布里渊区，要标志一个状态需要表明：1)

它属于哪一个能带（能带标号）2)

它的简约波矢是什么？第52页，共57页，2023年，2月20日，星期四电子波矢k和简约波矢的关系

第53页，共57页，2023年，2月20日，星期四——周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢的状态之间的相互影响——对于一般的（远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰第54页，共57页，2023年，2月20日，星期四简约波矢