因子模型和套利定价理论APT

因子模型和套利定价理论APT第1页，共99页，2023年，2月20日，星期四引入可以大大简化计算量由于因子模型的引入，使得估计Markowitz有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。因子模型还给我们提供关于证券回报率生成过程的一种新视点更准确第2页，共99页，2023年，2月20日，星期四CAPM与APT建立在均值—方差分析基础上的CAPM是一种理论上相当完美的模型，它解释了为什么不同的证券会有不同的回报率。除CAPM理论外，另一种重要的定价理论是由StephenRoss在70年代中期建立的套利定价理论(APT)。在某种意义上来说，它是一种比CAPM简单的理论。最优投资组合理论+市场均衡=CAPM因子模型+无套利=APT第3页，共99页，2023年，2月20日，星期四CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化的模型，这些假设包括HarryMarkowitz建立均值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组合回报率的期望和标准差之上。相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个机会，即个体是非满足的；另外一个重要的假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此之间独立。第4页，共99页，2023年，2月20日，星期四1.因子模型(FactorModel)

实际中，所有的投资者都会明显或者不明显地应用因子模型。第5页，共99页，2023年，2月20日，星期四例子：市场模型

这里

=在给定的时间区间，证券

i

的回报率

=在同一时间区间，市场指标

I

的回报率

=截矩项

=斜率项

=随机误差项，

第6页，共99页，2023年，2月20日，星期四例子：Flyer公司股票的下一个月回报率

这里

表示实际月回报率

表示期望回报率

表示回报率的非期望部分期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。非期望部分由下一个月内显示的信息导致，例如：利率变动，经济增长情况，相关政策等等。

第7页，共99页，2023年，2月20日，星期四例子：市场模型

这里

=在给定的时间区间，证券

i

的回报率

=在同一时间区间，市场指标

I

的回报率

=截矩项

=斜率项

=随机误差项，

第8页，共99页，2023年，2月20日，星期四例子：Flyer公司股票的下一个月回报率

这里

表示实际月回报率

表示期望回报率

表示回报率的非期望部分期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何种因素影响回报率地全部了解。非期望部分由下一个月内显示的信息导致，例如：利率变动，经济增长情况，相关政策等等。

第9页，共99页，2023年，2月20日，星期四经济系统中的某些共同因素影响几乎所有的公司商业周期、利率、GDP增长率、技术进步、劳动和原材料的成本、通货膨胀率这些变量不可预期的变化将导致整个证券市场回报率的不可预期变化定义1：因子模型（或者指标模型）是一种假设证券的回报率只与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型。

第10页，共99页，2023年，2月20日，星期四市场模型是一种单因子模型——以市场指标的回报率作为因子。由于在实际中，证券的回报率往往不只受市场指标变动的影响，所以，在估计证券的期望回报率、方差以及协方差的准确度方面，多因子模型比市场模型更有效。第11页，共99页，2023年，2月20日，星期四

作为一种回报率产生过程，因子模型具有以下几个特点。第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素。第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回报率相关——一起运动——仅仅是因为它们对因子运动的共同反应导致的。第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关，也与因子的运动无关。第12页，共99页，2023年，2月20日，星期四

因子模型在证券组合管理中的应用在证券组合选择过程中，减少估计量和计算量刻画证券组合对因子的敏感度第13页，共99页，2023年，2月20日，星期四如果假设证券回报率满足因子模型，那么证券分析的基本目标就是：辨别这些因子以及证券回报率对这些因子的敏感度。第14页，共99页，2023年，2月20日，星期四2.单因子模型把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏观经济指标，假设它对整个证券市场产生影响，并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的。例如，国内生产总值GDP的预期增长率是影响证券回报率的主要因素。

第15页，共99页，2023年，2月20日，星期四表6-1因子模型数据年份

GDP增长率

A股票回报率

1 5.7% 14.3% 2 6.4 19.2 3 7.9 23.4 4 7.0 15.6 5 5.1 9.2 6 2.9 13.0 第16页，共99页，2023年，2月20日，星期四

4%

第17页，共99页，2023年，2月20日，星期四图6-1中，横轴表示GDP的预期增长率，纵轴表示证券A的回报率。图上的每一点表示表6-1中，在给定的年份，A的回报率与GDP增长率的关系。通过线性回归分析，我们得到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关系。GDP增长率越大，A的回报率越高。第18页，共99页，2023年，2月20日，星期四写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增长率之间的关系可以表示如下：

(6.1)

这里

=A在

t时的回报率,=GDP在

t时的预期增长率,=A在

t时的回报率的特有部分,=A对GDP的预期增长率的敏感度,=有关GDP的零因子。第19页，共99页，2023年，2月20日，星期四

在图6-1中，零因子是4%，这是GDP的预期增长率为零时，A的回报率。A的回报率对GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的斜率。这个值表明，高的GDP的预期增长率一定伴随着高的A的回报率。如果GDP的预期增长率是5%，则A的回报率为14%。如果GDP的预期增长率增加1%时，则A的回报率增加2%。第20页，共99页，2023年，2月20日，星期四在这个例子里，第六年的GDP的预期增长率为2.9%，A的实际回报率是13%。因此，A的回报率的特有部分（由给出）为3.2%。给定GNP的预期增长率为2.9%，从A的实际回报率13%中减去A的期望回报率9.8%，就得到A的回报率的特有部分3.2%第21页，共99页，2023年，2月20日，星期四从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三种成份：1．在任何一期都相同的部分（）2．依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分（）3．属于特定一期的特殊部分（）。第22页，共99页，2023年，2月20日，星期四从这个例子可以看出，A在任何一期的回报率包含了三种成份：1．在任何一期都相同的部分（

）2．依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分（

）3．属于特定一期的特殊部分（

）。第23页，共99页，2023年，2月20日，星期四通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的最一般形式：对时间

t

的任何证券

i

有

(6.2)第24页，共99页，2023年，2月20日，星期四这里，

是因子在时间

t

的因子的值，对在时间

t

的所有的证券而言，它是相同的。

是证券

i

对因子

的敏感度，对证券

i而言，

不随时间的变化而变化。

是证券

i

在时间

t

的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为

，且与因子

无关的随机变量，我们以后简称为随机项。第25页，共99页，2023年，2月20日，星期四为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子模型，从而省掉角标t，从而(6.2)式变为

(6.3)并且假设：

1．任意证券

i

的随机项

与因子不相关;2．任意证券

i

与证券

j的随机项

与

不相关。

对于证券

i

而言，其回报率的均值

(6.4)

第26页，共99页，2023年，2月20日，星期四这里，是因子在时间t

的因子的值，对在时间t

的所有的证券而言，它是相同的。是证券i

对因子的敏感度，对证券i而言，不随时间的变化而变化。是证券i

在时间t

的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为，且与因子无关的随机变量，我们以后简称为随机项。第27页，共99页，2023年，2月20日，星期四这里，

是因子在时间

t

的因子的值，对在时间

t

的所有的证券而言，它是相同的。

是证券

i

对因子

的敏感度，对证券

i而言，

不随时间的变化而变化。

是证券

i

在时间

t

的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为

，且与因子

无关的随机变量，我们以后简称为随机项。第28页，共99页，2023年，2月20日，星期四假设1说明，因子具体取什么值对随机项没有影响。而假设2说明，一种证券的随机项对其余任何证券的随机项没有影响，换言之，两种证券之所以相关，是由于因子对它们的共同影响导致的。如果任何假设不成立，则单因子模型不准确，应该考虑不同的因子模型。第29页，共99页，2023年，2月20日，星期四这里，

是因子在时间

t

的因子的值，对在时间

t

的所有的证券而言，它是相同的。

是证券

i

对因子

的敏感度，对证券

i而言，

不随时间的变化而变化。

是证券

i

在时间

t

的回报率的特有部分。这是一个均值为0，标准差为

，且与因子

无关的随机变量，我们以后简称为随机项。第30页，共99页，2023年，2月20日，星期四

对于证券

i

而言，其回报率的方差为

(6.5)例子第31页，共99页，2023年，2月20日，星期四定义2：

我们称(6.5)式中的

为因子风险；

为非因子风险。对于证券

i

和

j

而言，它们之间的协方差为

(6.6)第32页，共99页，2023年，2月20日，星期四单因子模型具有两个重要的性质。

第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。

第二个性质与风险的分散化有关。

（1）

（2）（3）

分散化导致因子风险的平均化，如上式（2）。

分散化缩小非因子风险，越分散w越小，上式（3）值就越小。第33页，共99页，2023年，2月20日，星期四单因子模型具有两个重要的性质。第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值-方差分析中的估计量和计算量。第二个性质与风险的分散化有关。

（1）

（2）

（3）

分散化导致因子风险的平均化，如上式（2）。

分散化缩小非因子风险，越分散w越小，上式（3）值就越小。第34页，共99页，2023年，2月20日，星期四3多因子模型经济是否健康发展影响绝大多数公司的前景，因此，对将来经济预期的变化会对大多数证券的回报率产生深远的影响。但是，经济并不是一个简单的单一体，用单一的因子来刻画整个经济显然是不准确的。第35页，共99页，2023年，2月20日，星期四3.1两因子模型，即，回报率生成过程包括两个因子。在

t

时的两因子模型方程为：

(6.10)这里

和

是影响证券回报率的主要因素，

和

是证券

i

对两因子的敏感度。

是随机项，而

是零因子回报率。

第36页，共99页，2023年，2月20日，星期四例子

表6-2因子模型数据

年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率

1 5.7% 1.1% 14.3%

2 6.4 4.4 19.2

3 7.9 4.4 23.4

4 7.0 4.6 15.6

5 5.1 6.1 9.2

6 2.9 3.1 13.0 第37页，共99页，2023年，2月20日，星期四

第38页，共99页，2023年，2月20日，星期四证券B的回报率受GDP的增长率和通货膨胀率预期值的影响。图中的每一点描述了在特定的一年，证券B的回报率、GDP的增长率和通货膨胀率之间的关系。通过线性回归，可以确定一个平面，使得图中的点符合这个平面。这个平面的方程为：第39页，共99页，2023年，2月20日，星期四

和单因子模型一样，我们只考虑一期的模型，所以省掉时间的角标。两因子模型方程如下：

(6.12)并且假设：1．证券的随机项与因子不相关，2．证券i

与证券j

的随机项与不相关。第40页，共99页，2023年，2月20日，星期四

和单因子模型一样，我们只考虑一期的模型，

所以省掉时间的角标。两因子模型方程如下：

(6.12)

并且假设：1．证券的随机项与因子不相关，2．证券

i

与证券

j

的随机项

与

不相关。第41页，共99页，2023年，2月20日，星期四期望回报率:

方差:

协方差:第42页，共99页，2023年，2月20日，星期四两因子模型具有单因子模型的重要性质。1．有关证券组合前沿的估计量和计算量大大减少。2．分散化导致因子风险的平均化。3．分散化缩小非因子风险。第43页，共99页，2023年，2月20日，星期四3.2多因子模型一般形式

不同形式

其中

例子第44页，共99页，2023年，2月20日，星期四因素模型与均衡因素模型不是一个资产定价的均衡模型，因为ai不同，ri也会不同，进而造成不均衡。（1）（2）（2）式可以改写为（3）式：所以因素模型如果要均衡，必然满足下列要求：第45页，共99页，2023年，2月20日，星期四第46页，共99页，2023年，2月20日，星期四4 套利机会何谓套利？是指利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为，最具代表性的是以较高的价格出售证券并在同时以较低的价格购进相同的证券（或功能上等价的证券）。具体地说，有两种类型的套利机会。如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会。如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，我们称这种投资为第二类的套利机会。第47页，共99页，2023年，2月20日，星期四

套利机会4何谓套利？是指利用同一种实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为，最具代表性的是以较高的价格出售证券并在同时以较低的价格购进相同的证券（或功能上等价的证券）。具体地说，有两种类型的套利机会。如果一种投资能够立即产生正的收益而在将来不需要有任何支付（不管是正的还是负的），我们称这种投资为第一类的套利机会。如果一种投资有非正的成本，但在将来，获得正的收益的概率为正，而获得负的收益（或者说正的支出）的概率为零，我们称这种投资为第二类的套利机会。第48页，共99页，2023年，2月20日，星期四例子：

假设经济环境由四个状态和两种证券构成，证券组合甲由11份证券1构成。相关的信息特征如下表所示。状态证券组合甲

15355 25655

3103110 4103110假设事件的概率为P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。两种证券的价格为P1=4，P2=2，证券组合甲的价格为P甲=40。第49页，共99页，2023年，2月20日，星期四

例子：

假设经济环境由四个状态和两种证券构成，证券组合甲由11份证券1构成。相关的信息特征如下表所示。

状态

证券组合甲

15355 25655

3103110 4103110假设事件的概率为P({1})=0.2，P({2})=0.3，P({34})=0.5。两种证券的价格为

P1=4，P2=2，证券组合甲的价格为

P甲=40。

第50页，共99页，2023年，2月20日，星期四在这个经济中是否存在套利机会。第一，P甲=4011*P1=44，这属于第一类套利机会。第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构造新的证券组合乙：卖空11份证券1，买入1份证券3。则证券组合乙的价格为11（4）+1（40）0第51页，共99页，2023年，2月20日，星期四在这个经济中是否存在套利机会。第一，P甲=4011*P1=44，这属于第一类套利机会。第二，我们把证券组合甲当作第三种证券。构造新的证券组合乙：卖空11份证券1，买入1份证券3。则证券组合乙的价格为11（4）+1（40）0第52页，共99页，2023年，2月20日，星期四第53页，共99页，2023年，2月20日，星期四证券组合乙在期末的支付为状态 证券组合乙 概率

1 00.2 2 00.3 3、4 00.5

因此，P(证券组合乙的支付=0)=1，这是第一类的套利机会。第54页，共99页，2023年，2月20日，星期四第三，定义证券组合丙：卖空10份证券1，买入一份证券3。则证券组合丙的价格为10（4）+1（40）=0。证券组合丙在期末的支付为状态证券组合概率

1 50.2 2 50.3 3、4 100.5

因此，P(证券组合丙的支付0)=1且P(证券组合丙的支付0)=10。这是第二类套利机会。第55页，共99页，2023年，2月20日，星期四5 套利定价理论(APT)假设1：市场是完全竞争的、无摩擦的。假设2：投资者是非满足的：当投资者具有套利机会时，他们会构造套利证券组合来增加自己的财富。假设3：所有投资者有相同的预期：任何证券i

的回报率满足因子模型：第56页，共99页，2023年，2月20日，星期四

(6.18)

=证券

i

的随机回报率，

=证券

i

对第

j

个因子的敏感度，

=均值为零的第

j

个因子，

=证券

i

的随机项。第57页，共99页，2023年，2月20日，星期四

假设4：

，

与所有因子不相关且

假设5：市场上的证券的种类远远大于因子的数目

k

。第58页，共99页，2023年，2月20日，星期四因子模型说明，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合，除非因子风险外，其行为是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的证券或者证券组合的期望回报率（或者说价格）是一样的。否则，就存在第二类套利机会，投资者就会利用它们，直到消除这些套利机会。这就是APT的实质。第59页，共99页，2023年，2月20日，星期四5.1例子：（单因子模型）假如市场上存在三种股票，每个投资者都认为它们满足因子模型，且具有以下的期望回报率和敏感度：

i

股票1 15% 0.9股票2 21% 3.0

股票3 12% 1.8（假设某投资者投资在每种股票上的财富为4000元，投资者现在总的投资财富为12000元。）第60页，共99页，2023年，2月20日，星期四首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。

显然，一个套利证券组合

是下面三个方程的解：初始成本为零：

(6.19)对因子的敏感度为零：

(6.20)期望回报率为正：第61页，共99页，2023年，2月20日，星期四讨论满足这三个条件的解有无穷多个。例如，=(0.1,0.075,0.175)就是一个套利证券组合。总之，对于任何只关心更高回报率而忽略非因子风险的投资者而言，这种套利证券组合是相当具有吸引力的。它不需要成本，没有因子风险，却具有正的期望回报率。那么，投资者如何调整自己的初始财富12000元呢（投资者的持有头寸）？第62页，共99页，2023年，2月20日，星期四套利证券组合如何影响投资者的头寸第63页，共99页，2023年，2月20日，星期四在上面的例子，因为(0.1,0.075,0.175)是一个套利证券组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地，也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增加，证券1和2的价格将上升，而这又导致证券1和2的回报率下降（因为r=p1/p0—1）。相反，由于销售压力的增加，证券3的价格将下降，这又使得证券3的回报率上升。第64页，共99页，2023年，2月20日，星期四这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。所以，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望回报率必为零。无套利时，三种证券的期望回报率

和因子敏感度

满足，对任意组合

，如果：第65页，共99页，2023年，2月20日，星期四则必有

(6.21)

根据Farkas引理，而此时预期回报率和敏感性将近似满足如下的线性关系，即必存在常数

和

，使得下面的式子成立：

该式即为套利定价方程。第66页，共99页，2023年，2月20日，星期四

刻画均衡状态的常数一组可能值为：

=8%，

=4%。这将导致证券1、2、3的均衡回报率为11.6%,20.0%,15.2%.第67页，共99页，2023年，2月20日，星期四下图说明了套利定价关系(6.21)。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上。常数

的一个自然解释是，它表示均衡时因子的风险酬金。而

表示无风险利率。第68页，共99页，2023年，2月20日，星期四APT定价方程的解释在套利定价方程中，出现的常数该如何解释呢？假定存在一个无风险资产，它具有一个常数预期回报率，因而对因素无敏感性，有又有，所以，从而方程可改写为：。就而言，可以考察一个纯因素模型，用表示，该组合对因素具有单位敏感性，意味着，从而得出。所以这个组合具有如下的预期回报率：，改写为于是，是单位敏感性的组合的预期超额回报率（即高出无风险利率的那部分预期回报率），被称为因素风险溢价或因素预期回报率溢酬。令，所以有，故得到套利定价方程的第二形式：第69页，共99页，2023年，2月20日，星期四5.2例子：（

二因子模型）假如市场上存在四种股票，每个投资者都认为它们满足因子模型，且具有以下的期望回报率和敏感度：

i

股票1 15% 0.9 2.0股票2 21% 3.0 1.5股票3 12% 1.8 0.7股票4 8% 2.0 3.2

假设某投资者投资在每种股票上的财富为5000元，投资者现在总的投资财富为20000元。第70页，共99页，2023年，2月20日，星期四首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。显然，一个套利证券组合

是下面四个方程的解：初始成本为零：

(6.19)对因子的敏感度为零：

(6.20)期望回报率为正：第71页，共99页，2023年，2月20日，星期四首先，我们看看这个证券市场是否存在套利证券组合。显然，一个套利证券组合

是下面四个方程的解：初始成本为零：

(6.19)对因子的敏感度为零：

(6.20)期望回报率为正：第72页，共99页，2023年，2月20日，星期四满足这四个条件的解有无穷多个。例如，=(0.1,0.088,0.108,-0.08)就是一个套利证券组合。这时候，投资者如何调整自己的初始财富20000元。第73页，共99页，2023年，2月20日，星期四因为，(0.1,0.088,0.108,-0.08)是一个套利证券组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投资者都会购买证券1和2，而卖空证券3和4。由于每个投资者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地，也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增加，证券1和2的价格将上升，而这又导致证券1和2的回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券3和4的价格将下降，这又使得证券3和4的回报率上升。第74页，共99页，2023年，2月20日，星期四这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。在这时的证券市场里，不需要成本、没有因子风险的证券组合，其期望回报率必为零。无套利时，四种证券的期望回报率和因子敏感度，对任意组合，如果：第75页，共99页，2023年，2月20日，星期四则必有

(6.21)根据Farkas引理，必存在常数

，

，

使得下面的式子成立：刻画均衡状态的常数一组可能值为

=8%，

=4%，

=-2%。这将导致证券1、2、3、4的均衡回报率为7.6%,17%,13.8%,9.6%.第76页，共99页，2023年，2月20日，星期四5.3一般情形

选择证券组合

，使其成本为0

回报率为第77页，共99页，2023年，2月20日，星期四为了得到无风险的证券组合，我们必须消除因子风险和非因子风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：1）所选的每个权充分小；2）所包括的证券种类尽量多；3）对每个因子而言，证券组合的因子敏感度为零。第78页，共99页，2023年，2月20日，星期四

用数学式子表示，这些条件是

是一个很大的数

对每个因子而言，

第79页，共99页，2023年，2月20日，星期四因为随机项是独立的，由大数定律，当

越来越大时，随机项的加权和趋向于零。换言之，通过分散化，不需要花任何成本就能消去非因子风险。因此，我们得到：

第80页，共99页，2023年，2月20日，星期四在形式上看起来，这是一个随机量。但是，由(6.26)式，证券组合的每个因子敏感度为零，所以，所有的因子风险为零。由于我们选择的权消除了所有的风险，最后，证券组合的回报率变成了一个常数。(6.27)式变成：

(6.28)第81页，共99页，2023年，2月20日，星期四在形式上看起来，这是一个随机量。但是，由(6.26)式，证券组合的每个因子敏感度为零，所以，所有的因子风险为零。由于我们选择的权消除了所有的风险，最后，证券组合的回报率变成了一个常数。(6.27)式变成：

第82页，共99页，2023年，2月20日，星期四在我们构造的证券组合的过程中，投资者既不需要成本，也不承担风险，如果构造的证券组合的回报率不为零，它就是一个套利证券组合，当市场达到均衡时，这是不可能的。因此，满足条件(6.24)-(6.26)的证券组合，其回报率一定为零，即，

(6.29)第83页，共99页，2023年，2月20日，星期四证券市场无套利时，证券的期望回报率和因子敏感度满足下列性质：对任何向量，如果它既垂直于单位常向量，又垂直于每个因子敏感度向量，则它一定垂直于期望回报率向量，由Farkas引理，期望回报率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合，即，存在个k+1

常数，使得