重庆市部分区县高二(上)期末数学试卷和答案(理科)

222221221212111111学年重庆市部分县高（上）期222221221212111111一、选题（本大题小题，每题5分，共60分，每小给出的个选项中只有一项是合题目求的）1分）命题“∀x∈R，x≥0”否定为（）A．∃x∈R，x＜0B．x∈R，≥0C∀x∈R，＜0D∀x∈R，≤02分）直线l：x﹣+1=0，l：x﹣之间的距离为（）A．1B．

．

D23）已知直线l的方向向量为（102α的法向量（﹣1，，﹣2则（）A．l⊂α．l⊥α．lα．l与α斜交4分）已知两直ll的斜率恰是方程x+bx﹣1=0的两实根，l，l的位置关系是（）A．平行

B．重合

．垂直

D无法确定5分α为两个不同的平面线lα“l⊥β”是“α⊥”成立）A．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件

D既不充分也不必要条件6分）双曲线

﹣

=1上一点到一个焦点的距离为2则点P到另一焦点的距离为（）A．6B．．10D127分）如图，在正方ABCD﹣ABCD中，异面直AD与BA所成的角为（）A．30°B．．60°D90°第1页（共19页）

2212122222128分）在圆x+y+﹣4y=0内，过点（，的最短弦所在直线的倾斜角是（）221212222212A．

B．

．

D9分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④．②和③C．③和④D．①和②10分）如图所示的正四面体﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．．60°D无法确定11分）已知F，F分别是椭圆+

=1a＞＞0）的两焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于，Q两点，若△PQF为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．

B．

．

D12分）过点M（，2）的直线l与抛物线y=﹣4x交于A，两点，与x轴交于点，则有（）A．|MAMB|=2|MC|．|MA||MB=|MC|C

．|MA|=|MB||MCD|MA=|MB|+|MC|

2二、填题(本大题4小题，每题5分，共20分)13分）已知直l：x+﹣1=0与l﹣1x﹣﹣1=0平行，a的值第2页（共19页）

1212222是．121222214分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆、正方形ABCD绕直线旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V，则V：V=

．15分）已知命题p：+

=1表示椭圆，命题q：+

=1表示双曲线，若命题“pq”为真命题，则实m的取值范围是．16分）如果圆（x﹣a）+（﹣a）=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．解答题本大题共小题，70分，解应写出文字明、证过程或演算骤.17分）已知直线l2x（m+1+2m=0（∈）在轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．18分）已知双曲线﹣

=1（＞0b＞的一条渐近线为

x﹣，它的一个焦点在抛物线y=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．19分）已知，棱长2的正方体内有一内接四面体﹣BCD，且C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．第3页（共19页）

1111111111111120分）平面直角坐标系中有一个ABC已知（﹣1，（，||=

|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．21分）如图，正三棱柱ABC﹣BC中，AB=AA=2D为CC中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ABD；（Ⅱ）求二面角A﹣D﹣的正弦值．22分已知椭圆+

（a＞b＞的离心率e=

上顶点为01（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于MW两点，且线MW的中点为1，弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．第4页（共19页）

第5页（共19页）

2222222121222222221212年庆部区高（）期末学卷（科参考答案与试题解析一、选题（本大题小题，每题5分，共60分，每小给出的个选项中只有一项是合题目求的）1分）命题“∀x∈R，x≥0”否定为（）A．∃x∈R，x＜0B．x∈R，≥0C∀x∈R，＜0D∀x∈R，≤0【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，≥”否定为：∃x∈，x＜0．故选：A．2分）直线l：x﹣+1=0，l：x﹣之间的距离为（）A．1B．

．

D2【解答】解：∵直线l：x﹣+1=0，l：x﹣y=0，∴由平行线间的距离公式可得d=

=

，故选：B．3）已知直线l的方向向量为（102α的法向量（﹣1，，﹣2则（）A．l⊂α．l⊥α．lα．l与α斜交【解答解∵直线的方向向量为（102面的法向量（﹣10，﹣2∴，∴l⊥α．故选：B．

，第6页（共19页）

2121211221212121122121121214分）已知两直ll的斜率恰是方程x+bx﹣1=0的两实根，l，l的位置关系是（）A．平行

B．重合

．垂直

D无法确定【解答】解：设直线l、l的斜率分别为k，k，∵直线l、l的斜率是方程+bx﹣的两根，∴k=1．∴l⊥l．故选：．5分α为两个不同的平面线lα“l⊥β”是“α⊥”成立）A．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件

D既不充分也不必要条件【解答解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且⊥β所以由判断定理得αβ．所以直线l⊂α，且⊥β⇒αβ若β，直线⊂α则直线⊥β，或直线∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥”成立的充分不必要条件．故选：A．6分）双曲线﹣

=1上一点到一个焦点的距离为2则点P到另一焦点的距离为（）A．6B．．10D12【解答】解：双曲线

﹣

=1的a=4，设双曲线的焦点为F，F，由题意可设|PF|=2，第7页（共19页）

122211111111111112222由双曲线的定义可得||PF|﹣122211111111111112222即有|2﹣|PF||=8解得|PF|=10（﹣舍去故选：．7分）如图，在正方ABCD﹣ABCD中，异面直AD与BA所成的角为（）A．30°B．．60°D90°【解答】解：∵AB∥DC，∴异面直线AD，BA所成的角为∠ADC，∵eq\o\ac(△,)C为等边三角形，∴∠ADC=60°故选：．8分）在圆x（）

+y

+﹣4y=0内，过点（，的最短弦所在直线的倾斜角是A．

B．

．

D【解答】解：把圆的方程化为标准方程得+1）+（﹣2=5∴圆心坐标为（﹣1，2径r=

，第8页（共19页）

∴过（0，1）的直径斜率为

=﹣1，∴与此直径垂直的弦的斜率为1，∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜是故选：B．9分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④．②和③C．③和④D．①和②【解答】解：在①中，平行于同一平面的两条直线互相平行或相交，故①错误；②分别和两条异面直线均相交的两条直线不一定是异面直线，如右图此各情况下两直线相交，故②错误；③若一个平面经过另一个平面的垂线么由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故③正确；④若两个平面垂直么由面面垂直的性质定理得一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直，故④正确．故选：．10分）如图所示的正四面体﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）第9页（共19页）

1212112121A．30°B．．60°D无法确定【解答】解：∵如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，∴M是BC的中点，∵AB=AC=BD=DC，∴⊥，DE，∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面AMD∴∠BAM是直线AB与截面ADM所成角，∵BM=

，BM⊥AM，∴sinBAM=

=，∴∠BAM=30°∴AB与截面ADM所成角为30°．故选：A．11分）已知F，F分别是椭圆+

=1a＞＞0）的两焦点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于，Q两点，若△PQF为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．

B．

．

D【解答】解：由已知可得，PF=∵tan30°====第10页（共19页）

2222122∴2222122∵0＜e1∴e=故选：D12分）过点M（，2）的直线l与抛物线y=﹣4x交于A，两点，与x轴交于点，则有（）A．|MAMB|=2|MC|．|MA||MB=|MC|C

．|MA|=|MB||MCD|MA=|MB|+|MC|

2【解答】解：如图，设直l的方程为y=kx+，∴理得：

，代入抛物线方程并整；设A（x，y（x，则∴=

；

；∵；∴，；∴；∴|MA||MB||MC

2

．第11页（共19页）

1212121212故选：B．1212121212二、填题(本大题4小题，每题5分，共20分)13分）已知直l：x+﹣1=0与l﹣1x﹣﹣1=0平行，a的值是0或．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由

=

≠1解得：a=．综上，a=0或，故答案为：0或；14分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆、正方形ABCD绕直线旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V，则V：V=

．【解答】解：设AC=BD=2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为，高为1的圆锥形成的组合体，故V=2×π=

，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为

的球，（）故V=故V：V=：

3

=

=

，

1，故答案为：

．第12页（共19页）

22222222222215分）已知命题p：+

=1表示椭圆，命题q：+

=1表示双曲线若命题“pq”为真命题则实数m的取值范围是﹣1＜m＜3且m≠2

．【解答】解：命题p：+且m≠2

=1表示椭圆，则，解得﹣m＜6命题q+

=1表示双曲线，则（﹣3+）＜0解得﹣1m＜若命题“pq”为真命题，则，解得﹣1＜m3且m≠故答案为：﹣1＜m3，且m≠2．16分）如果圆（x﹣a）+（﹣a）=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【解答】解：由题意可得，圆（x﹣a）+（﹣a）=4和圆x+y=1相交，根据两圆圆心距d=

=

|a|，可得2﹣1＜

|a|＜1，即：

＜|a|＜

，∴﹣

＜a＜﹣

或＜a＜

，故实数a的取值范围是（﹣

，﹣

）∪（

，故答案为﹣，﹣

）∪（

，

第13页（共19页）

2222222解答题本大题共小题，70分，解应写出文字明、证过程或演算骤.222222217分）已知直线l2x（m+1+2m=0（∈）在轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：∵2x+（m+1）y+2m=0（∈R令x=0，得y=﹣，令y=0，得x=﹣m，∵直线：2x+（m+）+2m=0（m∈）在轴上的截距等于它在轴上的截距的2倍，∴﹣m=﹣2×，解得m=3或m=0当m=0时，直线为2x+当m=3时，直线为x+2y+．18分）已知双曲线﹣

=1（＞0b＞的一条渐近线为

x﹣，它的一个焦点在抛物线y

=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．【解答】解）双曲线

﹣

=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为

x﹣，可得=

，又一个焦点在抛物线y=4x的准线上，可得：c=1，即a+b，解得a=，b=

，则双曲线的方程为4x﹣y=1（Ⅱ）抛物线y=4x的焦点为（10由球与双曲线渐近线相切，可得：半径r==

，第14页（共19页）

2可得球的表面积为S=4πr=4π•=3π．219分）已知，棱长2的正方体内有一内接四面体﹣BCD，且C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．【解答）证明：由已知中的三视图，可得A，，C，四点位置如下图所示：∵正方体的棱长为2，故AB=BD=AC=CD=令E为AD的中点，连接BE，CE，则BE⊥AD，⊥AD，则AD⊥平面BCE，∴AD⊥；，（Ⅱ）解：由勾股定理可得：BE=CE=

，AD=2

，BC=

，第15页（共19页）

2222222211111111111由海伦公式平面BCE的面积2222222211111111111

，又由AD=2

，故四面体A﹣BCD的体积V=××2=1．20分）平面直角坐标系中有一个ABC已知（﹣1，（，||=

|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．【解答】解）设（x，y∵B（﹣0（10且||=∴（x++y=2x﹣1）2y，

|AC|，∴x

+y

﹣6x+1=0∴顶点A的轨迹方程为x+y﹣6x+1=0；（Ⅱ）x+y﹣6x+1=0可化为（x﹣3+y=8，∴A到x轴的最大距离为

，∴△ABC的面积的最大值为

=2

．21分）如图，正三棱柱ABC﹣BC中，AB=AA=2D为CC中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ABD；（Ⅱ）求二面角A﹣D﹣的正弦值．【解答】证明取BC中点O，连结AO，以O为原点，OB为x轴，O作BB平行线为轴OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0

（1，，（0，（1，，（﹣，=（12﹣

=（1﹣2﹣

=（﹣1﹣﹣第16页（共19页）

1111111111111•=14+3=0，1111111111111∴AB⊥A，AB⊥AD，∵A∩AD=A，∴AB⊥平面ABD．

•=﹣12+，解Ⅱ）

=（1，

=（1，﹣

=（2，﹣0设平面AAD的法向量=x，，z则，取x=

，得=（设平面ADB的法向量（a，bc则，取a=1得=1，﹣设二面角A﹣ADB的平面角为θ，则cosθ=

=

=

，∴sinθ=

=

．∴二面角A﹣ADB的正弦值为22分已知椭圆+

（a＞b＞的离心率e=

上顶点为01（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于MW两点，且线MW的中点为1，弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，两点，使