湖南省岳阳经济技术开发区九年级上学期期末考试数学试卷解析版

九年级上学期期末考试数学试卷一、单选题1．下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．B．C．D．2．用配方法解方程时，原方程应变形为（）A．B．C．D．3．在中，，，则的值为（）A．B．C．D．4．为了解甲、乙、丙、丁四位选手射击水平，随机让四人各射击

10

次，计算四人

10

次射击命中环数平均数都是

9.3环，方差（环

2）如下表.则这四位选手成绩最稳定的是（ ）选手甲乙丙丁方差0.0350.0160.0220.025A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．如图，点

F

是矩形

ABCD

的边

CD

上一点，射线

BF

交

AD

的延长线于点

E，则下列结论错误的是（ ）A．B．C．D．6．下列命题正确的是（）A．已知：线段，，，，则

a，b，c，d

是比例线段B．已知关于

x

的方程是一元二次方程C．已知点 、 是函数 图象上的两点，则D．位似图形一定是相似图形，相似图形也一定是位似图形关于

x的一元二次方程 的根的情况是（ ）A．没有实数根 B．不一定有实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根8．如图，在平面直角坐标系中，点

A是双曲线 的图象上任意一点，连接

AO，过点

O

作

AO的垂线与双曲线交于点

B，连接

AB，且，则（）A．B．C．D．二、填空题已知 ，那么随机抽取某城市面积为

.的土地调查后，估算出森林覆盖率为

40%，若该城市所占面积为，据此估算该城市森林覆盖面积为

.11．若， ，的面积为，则的面积为

.12．某防洪大堤的横断面是如图所示的梯形

ABCD，坝高米，背水坡

AB

的坡度，则斜坡AB的长为

米.若关于

x的一元二次方程 有一个根为

1，则方程另一个根为

.如图，在每个小正方形的边长为

1的网格中， 的顶点

A、B、C

均落在格点上，则

.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多

6

尺，门的对角线长为

1

丈（1

丈＝10

尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为

．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点

M

和

A

为函数的图象第一象限上的一组互换点（M

点在

A

点的左侧）.直线

AM分别交

x

轴、y

轴于

C、D

两点，连接

AO交双曲线另一支于点

B，连接

BM分别交

x轴、y轴于点

E，F.则下列结论正确的是

.（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则；④若，M

点的横坐标为

1，则三、解答题17．（1）计算：（2）解方程：18．如图，已知，点

E、F

在线段

BD

上，，，求证：19．如图，已知函数的图象与一次函数的图象交于点和点

B.求反比例函数的关系式；如果点

C与点

A关于

x轴对称，求 的面积.20．为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件盈利

40

元，平均每天可售出

20

件，经调查发现，若每件童装降价

1

元，商场平均每天可多售出

2

件，若商场希望该品牌童装日盈利为1200

元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价多少元最合适？21．为深入开展青少年毒品预防教育工作，增强学生禁毒意识，某校联合禁毒办组织开展了“2021

青少年禁毒知识竞赛”活动，并随机抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下：根据以上图表提供的信息，回答下列问题：抽查的人数为

人，

；请补全频数分布直方图；（3）若成绩在

80

分以上（包括

80

分）为“优秀”，请你估计该校

2400

名学生中竞赛成绩是“优秀”的有多少名？22．随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场间的距离.如图所示，小星站在广场的 处遥控无人机，无人机在 处距离地面的飞行高度是此时从无人机测得广场 处的俯角为 ，他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高（点 在同一平面内）.两点之，（1）求仰角的正弦值；（2）求两点之间的距离（结果精确到）.23．在和中，，连接

BD，AC，直线

BD

交

AC

于点

E，交

OA于点

F.特例发现：如图

1，若①

；②探究证明：如图

2，若，.推断：的度数为

..判断的值及的度数，并说明理由.（3）拓展延伸：在（2）的条件下：若 ， ，①将 绕点

O

顺时针旋转，使点

D

与点

E

第一次重合，如图

3，此时OC的长；②在点

D与点

E第一次重合后，若将①重得到的 继续顺时针旋转，当点

D

在，求内部时，如图

4，线段

BE

的长度是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由.24． 在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数 在第一象限内的图象与

BC

边交于点，与

AB

交于点求

m与

n的数量关系.当 时，记 面积为

S，用含有

k

的式子表示

S.若 的面积为

2.设

P

是线段

AB

边上的点，在（2）的条件下，是否存在点

P，以

B，C，P

为顶点的三角形与 相似？若存在，求出此时点

P

的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解： 反比例函数，而故

A，C，D

不符合题意，B

符合题意.故答案为：B.【分析】根据反比例函数的解析式可得

k=xy=3，然后计算出各个选项中点的横、纵坐标的乘积，据此判断.2．【答案】B【知识点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】，，.故答案为：B.【分析】方程常数项移到右边，两边加上

1

变形即可得到结果.3．【答案】A【知识点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：在

Rt△ABC

中，故答案为：A.【分析】根据∠B

的余弦函数结合特殊角的三角函数值可得∠B=60°，则∠A=30°，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.4．【答案】B【知识点】方差【解析】【解答】解：∵乙的方差最小，∴乙最稳定.故答案为：B.【分析】方差用来衡量一批数据的波动大小，在样本容量相同且平均数一样的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定，据此判断.5．【答案】C【知识点】平行线的性质；矩形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵四边形

ABCD

为矩形，∴AD∥BC，CD∥AB∵DE∥BC∴∠DEF=∠CBF又∵∠DFE=∠CFB∴△DEF △CBF∴ ，所以

B

选项结论正确；∵DF∥AB∴∠DFE=∠ABE又∵∠DEF=∠AEB∴△EDF∼△EAB∴ ，所以

C

选项错误；，所以

A

选项的结论正确；∵

BC∥AD∴所以

D

选项的结论正确.故答案为：C.【分析】根据矩形的性质可得

AD∥BC，CD∥AB，根据平行线的性质可得∠DEF=∠CBF，证明△DEF∽△CBF，据此判断

B；证明△EDF∼△EAB，据此判断

C、A；根据平行线分线段成比例的性质可判断

D.6．【答案】B【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；反比例函数的性质；比例线段；相似图形；位似变换【解析】【解答】解：A、1×4≠2×3，不是比例线段，本选项错误；B、无论

m为何值时， >0，所以是一元二次方程，本选项正确；C、函数 中，k=-5<0，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一个象限内

y

随

x

的增大而增大，而

0＞-1>-2，所以 ，本选项错误；D、位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形，本选项错误.故答案为：B.【分析】如果

a、b、c、d

四条线段成比例，则这四条线段中最长线段与最短线段的乘积等于另两条线段的乘积，据此可判断

A；含有一个未知数，未知数项的最高次数是

2，且二次项的系数不为

0

的整式方程就是一元二次方程，根据偶次幂的非负性结合一元二次方程的概念可判断

B；根据反比例函数 中，当

k＜0时，函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一个象限内

y

随

x

的增大而增大，据此可判断

C；形状相同的两个图形就是相似图形；位似图形不但形状相同，而且对应点的连线相交于同一点，据此可判断

D.7．【答案】D【知识点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：关于

x

的一元二次方程，方程有两个不相等的实数根.故答案为：D.【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0

时，方程有两个不相等的实数根，当△=0

时，方程有两个相等的实数根，当△＜0

时，方程没有实数根，确定

a，b，c

的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.8．【答案】C【知识点】反比例函数系数

k

的几何意义；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图，过点

A、B

分别向

y

轴做垂线，垂足分别为

C、D，轴，轴，在中，设，则故答案为：C.【分析】过点

A、B

分别向

y

轴做垂线，垂足分别为

C、D，根据同角的余角相等可得∠OAD=∠BOC，证明△OAD∽△BOC，根据

sinB

的正弦函数可设

AO= a，AB=5a，根据勾股定理表示出

BO，得到

tanB

的值，结合反比例函数

k

的几何意义及相似三角形的性质可得，据此计算.9．【答案】【知识点】比的性质【解析】【解答】解：∵，∴5b=3a，∴b=，∴=，故答案为：.【分析】由已知条件可得

5b=3a，然后表示出

b，接下来代入中化简即可.10．【答案】48【知识点】用样本估计总体【解析】【解答】解：根据题意得：该市的森林覆盖面积为

120×40%=48km2.故答案为：48.【分析】由题意可得：城市所占面积×森林的覆盖率=森林覆盖面积，据此计算.11．【答案】【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵，，∴，即，解得：△A′B′C′的面积=故答案为： .（cm2）.【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.12．【答案】【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题【解析】【解答】解： 背水坡

AB

的坡度米.，米，根据勾股定理可得：米.故答案为：.【分析】AB

的坡度其实质就是∠B

的正切值，据此结合

AH

的长度即可求出

BH

的长度，然后利用勾股定理求解即可.13．【答案】2【知识点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】解：设方程的另一个根为

x2，根据题意得，x2·1=2，解得：x2=2，∴方程的另一个根为

2.故答案为：2.【分析】设方程的另一个根为

x2，根据根与系数的关系“两根之积等于”可得

x2·1=2，求解可得

x2.14．【答案】【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图所示，作

AD⊥BC

，垂足为

D

，，，，，故答案为：.【分析】作

AD⊥BC，垂足为

D，首先由勾股定理求出

AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.15．【答案】x2+（x+6）2＝102【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：设门的宽为

x

尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：，故答案为： ．【分析】根据

有一扇矩形门的高比宽多

6

尺，门的对角线长为

1

丈（1

丈＝10

尺），

列方程即可。16．【答案】①③④【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题【解析】【解答】解：设点

A（m，n），则

M（n，m），∴直线

AM

的解析式为 ，∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，作

AP⊥x

轴于

P，MQ⊥y

轴于

Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴ ，故①正确；过

O

作

OH⊥MA

于

H，∵OC=OD，∴DH=CH，∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是

DM

与

MH

不一定相等，故 不一定成立，故②错误；如图，作

AR∥BM，连接

FR，则∠BEO=∠ARO，∵连接

AO

交双曲线另一支于点

B，点

A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，∵点

M（n，m），∴直线

BM

的解析式为，∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF，∴∠OFR=∠ORF=45°，∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四边形

AMFR

是矩形，∴AR=MF，AM=FR，设

MF=2x，则

MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，∵OE=OF，

OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR=

EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴ ，故③正确；过

H

作

HG⊥x

轴于

G，AN⊥HG

于

N，设

AH=a，∵ ，OA=OM，∴△AOM

是等边三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，∵AH=a，∴，∴，∵M

点的横坐标为

1，∴QM=AP=GN=1，∴，得，∴，∴A（，1），∴ ，故④正确；故答案为：①③④.【分析】设点

A（m，n），则

M（n，m），直线

AM

的解析式为

y=-x+m+n，然后根据坐标轴上的点的坐标特点，求出点

C、D

的坐标，推出∠ODC=∠OCD=45°，作

AP⊥x轴于

P，MQ⊥y轴于

Q，证明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，据此判断①；过

O

作

OH⊥MA

于

H，则

DH=CH，由全等三角形的性质可得

DM=AC，则

MH=AH，据此判断②；作

AR∥BM，连接

FR，则∠BEO=∠ARO，易得

B（-m，-n），OA=OB，表示出直线

BM的解析式

，得点

E、F的坐标，OF=OE=m-n，证△BOE≌△AOR，得到

OR=OE=OF，则∠OFR=∠ORF=45°，推出四边形

AMFR

是矩形，得到

AR=MF，AM=FR，设

MF=2x，则

MB=7x，则AC=AR=2x，BF=5x，证明△BOE≌△MOF，则

BE=MF=2x，EF=3x，FR=

EF=3x，AM=3x，据此判断③；过H

作

HG⊥x轴于

G，AN⊥HG

于

N，设

AH=a，易得△AOM

是等边三角形，根据等边三角形的三个内角都是60°得∠AOM=∠OAM=60°，然后求出∠AOC=15°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，表示出

OH、NH，GH，易知QM=AP=GN=1，据此可求出

a

的值，得到点

A

的坐标，进而判断④.17．【答案】（1）解：=；（2）解：∴ ，【知识点】直接开平方法解一元二次方程；特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，然后计算乘法，再合并同类二次根式即可；（2）首先将常数项移至等号的右边，然后给两边同时开方计算.18．【答案】证明：∵∴又∵，∴∴ .【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠D，根据已知条件可得=2，然后利用两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似进行证明.19．【答案】（1）解：∵一次函数∴ ，解得： ；∴点

A

的坐标为∵反比例函数 经过点∴ ，解得： ；∴反比例函数表达式为经过点，；（2）解：∵点

C

与点

A

关于

x

轴对称∴点

C的坐标为∵点

B

为反比例函数与一次函数的交点∴联立，解得：，；∴点

B

的坐标为，∴；【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）将

A（m，4）代入

y=2x+2中求出

m的值，可得点

A的坐标，然后代入

y= 中求出

k的值，据此可得反比例函数的关系式；（2）根据点

C

与点

A

关于

x

轴对称可得

C（1，-4），联立一次函数与反比例函数的解析式求出

x、y，可得点

B

的坐标，接下来利用三角形的面积公式进行计算.20．【答案】解：设该童装应每件降价

x

元，依题意得：化简得：解得： ，∵要尽量减少库存，∴ 舍去答：该童装应每件降价

20

元最合适.【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题【解析】【分析】

设该童装应每件降价

x

元，则每天可多售出

2x

件，实际每天可售出(20+2x)件，每件的利润为(40-x)元，然后根据每件的利润×件数=总利润建立方程，求解即可.21．【答案】（1）300；0.3（2）解：∵300×0.4=120（人），∴补图如下：（3）解：根据题意，优秀率为

0.4+0.2，∴ （人），答：该校

2400

名学生中竞赛成绩为“优秀”的有

1440

名.【知识点】用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布直方图【解析】【解答】解：（1）根据题意，得：60÷0.2=300（人），∴90÷300=n=0.3；故答案为：300，

0.3；【分析】（1）利用

90≤x≤100

的频数除以频率可得总人数，利用

70≤x≤80

的频数除以总数可得

n

的值；（2）利用总人数乘以

80≤x≤90

的频率可得对应的人数，据此补全频数分布直方图；（3）求出样本中

80≤x≤90、90≤x≤100

的频率之和，然后乘以

2400

即可.22．【答案】（1）解：如图，过

A

点作

AD⊥BC于

D，过

E

点作

EF⊥AD

于

F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形

BDFE

为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD−DF＝41.6−1.6＝40（m），在

Rt△AEF中，sin∠AEF=答：仰角 的正弦值为（2）解：在

Rt△AEF

中，EF＝，即

sin=.m，在

Rt△ACD

中，∠ACD＝63°，AD＝41.6

m，∵tan∠ACD= ，∴CD＝41.6÷tan63°＝41.6÷1.96≈21.22m，∴BC＝BD＋CD＝30＋21.22≈51m.答：B，C

两点之间的距离约为

51m.【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）过

A

点作

AD⊥BC于

D，过

E

点作

EF⊥AD

于

F，易证四边形

BDFE

为矩形，利用矩形的性质可证得

EF=BD，DF=BE，利用

AF＝AD−DF，代入计算可求出

AF的长；再利用解直角三角形求出

α的度数.（2）在

Rt△AEF

中，利用勾股定理求出

EF

的长；在

Rt△ACD中，利用解直角三角形求出

CD

的长；然后根据

BC=BD+CD，代入计算求出

BC

的长.23．【答案】（1）1；90°（2）解： ，理由如下：如图

2，.∵∴即∵，∴，∴，，∴；（3）解：①∵，，∴，在中，，在中，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得 ；②BE

的最大值为∵ ，∴在 中，∵点

D在 内部，.，，∴ 的和为定值，∴点 时，此时 最大，故

BE

具有最大值，的值最大，的值最小，此时，∴四边形

ODEC

为矩形，∴ ，在 中，∴，.【知识点】三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：（1）如图

1，∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OD=OC，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∴ ；∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠EAB+∠EBA=∠OAC+∠OAB+∠EBA=∠OBD+∠OAB+∠EBA=∠OAB+∠OBA=90°，∴∠BEC=90°，故答案为：1，90°；【分析】（1）①根据角的和差关系可得∠AOC=∠BOD，证明△AOC≌△BOD，得到

AC=BD，据此计算；②易得∠EAB+∠EBA=∠OAC+∠OAB+∠EBA==∠OBD+∠OAB+∠EBA

=∠OAB+∠OBA=90°，据此解答；（2）根据角的和差关系可得∠AOC=∠BOD，证明△BOD∽△AOC，根据相似三角形的性质可得=k，∠OBD=∠OAC，则∠BEC=∠OAC+∠