内蒙古自治区赤峰市松山区2022年九年级上学期期末数学试题（解析版）

九年级上学期期末数学试题一、单选题1．用配方法解一元二次方程时，方程可变形为（）A． B．C． D．2．将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（）A．（－4，4） B．（0，4）C．（0，6） D．（－4，－6）3．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B．C． D．4．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A． B． C． D．5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6 B．7 C．8 D．96．下列有关圆的一些结论：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的圆心角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④对角互补的四边形内接于圆；⑤圆的切线垂直于过切点的半径．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（）A．1.4 B． C． D．2.68．已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，线段AB的长为4，则线段AC的长是（）A．2－2 B．6－2 C．－1 D．3－9．抛物线y=ax²＋bx＋c(a>0)与直线y=bx＋c在同一坐标系中的大致图像可能为()A． B．C． D．10．以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则（）A．不能构成三角形 B．这个三角形是等腰三角形C．这个三角形是直角三角形 D．这个三角形是钝角三角形11．在下图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（）A． B．C． D．12．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（）A． B． C． D．13．如图，把一个量角器与一块30°（）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有点P恰好是量角器的半圆弧中点，连结CP．若BC＝4，则CP的长为（）A． B．C． D．14．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是()A．①④ B．①② C．②③④ D．②③二、填空题15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为.16．如图，点A(a，1)、B(﹣1，b)都在函数（x＜0）的图象上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．17．如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为．18．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转180°得，交x轴于点；将绕点旋转180°得，交x轴于点；…如此进行下去，直至得，若在第17段抛物线上，则．三、解答题19．关于x的一元二次方程有两个不等实根．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根满足，求此方程的两个根．20．已知：的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上．（1）请你用尺规作出的角平分线，交AD边于点F；（保留痕迹，不写作法）（2）若点F（2，3），求点A的坐标．21．2015年7月31日，托马斯巴赫宣布2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市，也是继1952年挪威的奥斯陆举办后时隔70年的第二个举办冬奥会的首都城市，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京将主办冰上项目，张家口将主办雪上项目，延庆协办张家口举办雪上项目，其中在北京举办的冰上项目共分为A．短道速滑、B．速度滑冰、C．花样滑冰、D．冰球、E冰壶五个小项．体育老师针对某个班级的学生喜欢哪个项目比赛做了调查，并将调查结果制成如下两幅不充整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）请根据以上信息，补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是，类别D所对应的扇形圆心角的度数是度．（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生喜欢速度滑冰？22．某种病毒传播非常快，如果1人被感染，经过2轮感染后就会有81人被感染．（1）每轮感染中平均1人会感染几人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？23．如图，中，，AD＝AE＝3，点B在内，且，将AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，连接CB，CD，BE．（1）试探究BE与DC的关系；（2）当时，连接BD，求出的面积．24．阅读理解：我们学习过二次函数与一元二次方程之间的关系，可以借助二次函数的图象，研究一元二次方程的根．那么我们能否借助二次函数的图象研究一元二次不等式的解集？例如：图一：与x轴的两个交点分别是，．此时有两个不相等的实数根，；观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点纵坐标大于0，此时对应的x的取值范围是或；所以不等式的解集为：或；类比上述所了解的内容，相信你一定能够解决如下问题：（1）的解集是：．（2）图二是把的图象沿x轴翻折而形成的图象，求此二次函数解析式，根据图象求出和的解集．25．AB为的直径，C是上的一点，D在AB的延长线上，且，（1）CD与相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．（2）若，BD＝12cm．求的半径．26．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分1．【答案】C【知识点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解：，移项得：，方程两边同时加上9，得：，

即：．故答案为：C．【分析】利用配方法求解一元二次方程的步骤和方法求解即可。2．【答案】B【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象【解析】【解答】解：将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的解析式为：

即∴抛物线的顶点坐标为：故答案为：B【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解平移后的解析式，再根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。3．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；故答案为：D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。4．【答案】C【知识点】几何概率【解析】【解答】解：因为除A,B以外余下7个点是所有可能出现的位置,而满足使其成为直角三角形的有4个点,所以,故答案为：C.【分析】由网格图的特征并结合正方形的性质和直角三角形的判定可知，使△ABC为直角三角形的点有4个，而除A,B以外余下7个点是所有可能出现的位置，然后根据概率公式计算即可求解.5．【答案】D【知识点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：，化简，得x2-x-72=0，解得x2=9，x1=-8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队.故答案为：D.【分析】由题意可知此次比赛是单循环，因此等量关系为：×参加此次比赛的球队数×（参加此次比赛的球队数-1）=36，据此列方程，然后求出方程的解，即可求出结果。6．【答案】D【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：直径是圆中最长的弦；说法符合题意，故①符合题意；等弧是能够互相重合的弧，则等弧所对的圆心角相等；说法符合题意，故②符合题意；平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；原说法不准确，故③不符合题意；对角互补的四边形内接于圆；这是四点共圆的判定方法，说法符合题意，故④符合题意；圆的切线垂直于过切点的半径，说法符合题意，故⑤符合题意；故答案为：D．【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。7．【答案】B【知识点】点与圆的位置关系；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，由勾股定理得：OP==5，∵OA=AB，CM=CB，∴AC=OM，∴当OM最小时，AC最小，∴当M运动到M′时，OM最小，此时AC的最小值=OM′=（OP﹣PM′）=×（5-2）=，故答案为：B.【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM.因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，可知当M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题.8．【答案】A【知识点】黄金分割【解析】【解答】解：，，．故答案为：A．【分析】根据黄金分割比的定义：较长的线段与整个线段的比值是，进行求解．9．【答案】B【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象【解析】【解答】解：A选项中抛物线开口向下，a<0，>0，故b>0，此时直线的斜率为正，故不满足题意；

B、C、D选项中抛物线开口向上，a>0，>0，故b<0，此时直线的斜率为负，且抛物线与y轴的交点和直线与y轴的交点相同，故B满足题意，C、D不满足题意.

故答案为B.

【分析】首先由抛物线的开口方向判断出a的正负，然后由对称轴的位置判断出b的正负，接下来判断出直线的斜率的正负，结合抛物线与直线在y轴上的交点相同就可得到答案.10．【答案】C【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形【解析】【解答】解：（1）因为OC=1，所以OD=1×sin30°=；（2）因为OB=1，所以OE=1×sin45°=；（3）因为OA=1，所以OD=1×cos30°=．因为（）2+（）2=（）2，所以这个三角形是直角三角形．故答案为：C．【分析】分别画出图形，利用正多边形和圆的性质及解直角三角形，分别求出圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得出答案。11．【答案】B【知识点】图形的旋转；图形的平移【解析】【解答】A、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；B、可由△ABC翻折得到；C、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到；D、可由△ABC逆时针旋转一个角度得到．故答案为：B．【分析】根据平移和旋转的性质解答.12．【答案】D【知识点】勾股定理；矩形的性质；四边形-动点问题【解析】【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故答案为：D．【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求，当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，再利用勾股定理求出AE的长即可。13．【答案】C【知识点】圆周角定理；圆的综合题；解直角三角形【解析】【解答】解：如图，记CP与AB的交点为H，过H作于I，作于J，∵为半圆的直径，∴在量角器所在的半圆Q上，而P为的中点，∴∵∴设则∴解得：∴同理可得：∴同理可得：而∴∴故答案为：C【分析】记CP与AB的交点为H，过H作于I，作于J，设则根据求出再求出BH和HP的长，最后利用线段的和差求出即可。14．【答案】D【知识点】二次函数图象与系数的关系【解析】【解答】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①不符合题意；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②符合题意；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③符合题意；④设函数解析式为：，把代入得，解得，∴函数解析式为，把代入解析式得，，解得：或，∴小球的高度时，或，故④不符合题意；故答案为：D．

【分析】根据抛物线的图像与系数的关系，可将最高点的坐标计算得到，选出正确选项即可。15．【答案】x（x﹣12）＝864【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步.依题意，得：x（x﹣12）＝864.【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.16．【答案】y=x+2【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，如图所示．∵点A（a，1）、B（﹣1，b）都在函数（x＜0）的图象上，∴a=﹣3÷1=﹣3，b=﹣3÷（﹣1）=3，∴点A（﹣3，1），点B（﹣1，3），∴点A′（﹣3，﹣1），点B′（1，3）．设直线A′B′的解析式为y=kx+c，∴，

解得：，∴直线A′B′的解析式为y=x+2，

即PQ所在直线的解析式是y=x+2．故答案为y=x+2．【分析】作点A关于x轴的对称点A′，作点B关于y轴的对称点B′，连接A′B′，分别于x、y轴交于点P、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，先求出点A′（﹣3，﹣1），点B′（1，3），再利用待定系数法求出直线A′B′的解析式即可。17．【答案】【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质【解析】【解答】解：如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴，∴△OBC的面积=△ABC的面积，∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=．故答案为：【分析】连接BO，CO，OA，先求出∠AOB=∠OBC=60°，再结合△OBC的面积=△ABC的面积，最后利用扇形的面积公式求解即可。18．【答案】2【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转【解析】【解答】解：∵一段抛物线：y=-x（x-3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点…如此进行下去，直至得C17．∴C17的解析式与x轴的交点坐标为（48，0），（51，0），且图象在x轴上方，∴C17的解析式为：y17=-（x-48）（x-51），当x=50时，m=-（50-48）×（50-51）=2．故答案为：2．【分析】先求出C17的解析式为：y17=-（x-48）（x-51），再将x=50代入计算即可。19．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不等实根∴解得：（2）解：由恨与系数的关系可得：而，∴即解得：而则∴原方程为：即解得：【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得：，再结合，列出方程再求解即可。20．【答案】（1）解：如图，射线OF即为所求．（2）解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF=∠COF，∵四边形AOCD为平行四边形，∴，∴∠AFO=∠COF，∴∠AOF=∠AFO，∴OA=AF，设AF交y轴于H，如图，∵F（2，3），∴HF=2，OH=3，设A（t，3），∴AH=-t，AO=AF=-t+2，在Rt△OAH中，t2+32=（-t+2）2，解得，∴．【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；作图-角的平分线【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）设AF交y轴于H，A（t，3），再利用勾股定理可得t2+32=（-t+2）2，求出t的值，即可得到。21．【答案】（1）50（2）解：B类人数：50×24%＝12（名），D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（名），补全条形统计图如下：（3）32；57.6（4）解：800×24%＝192（名），答：估计该校有192名学生喜欢速度滑冰．【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图【解析】【解答】解：（1）本次共调查了10÷20%＝50（名），故答案为：50；（3）＝32%，即：m＝32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°，故答案为：32，57.6；【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数；

（2）先求出“B”和“D”的人数，再作出条形统计图即可；

（3）利用“C”的人数除以总人数可得m的值，再利用“D”的百分比乘以360°可得答案；

（4）利用800乘以“D”的百分比可得答案。22．【答案】（1）解：设每轮感染中平均1人会感染x人，依题意，得1＋x＋x（1＋x）＝81，解得x1＝8，x2＝－10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均1人会感染8人．（2）解：81×（1＋8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题【解析】【分析】（1）设每轮感染中平均1人会感染x人，根据题意列出方程1＋x＋x（1＋x）＝81，再求解即可；

（2）根据（1）的结论列出算式求解即可。23．【答案】（1）解：理由如下：延长EB交CD于F，交AD于K，AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，，∵∴，∵∴∴（2）解：，∴∵如图，此时三点共线，重合，连接BD，∵∴∴解得：（负根已舍去）∴【知识点】三角形的面积；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，可得，再结合，可得，所以；

（2）连接BD，此时三点共线，重合，根据勾股定理可得求出再利用三角形的面积公式可得。24．【答案】（1）-1<x<3（2）解：∵把的图象沿x轴翻折而形成的图象，∴a=-1，b=2，c=3∴图二抛物线的解析式为，与x轴的两个交点仍为，由图象可知当-1<x<3时，；当或时，．【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用【解析】【解答】解：（1）由图一可知，当-1<x<3时，．故答案为：-1<x<3．【分析】（1）结合函数图象直接求出不等式的解集即可；

（2）参照题干中的计算方法结合图象直接求不等式的解集即可。25．【答案】（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：如图，连接CO，∵AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°；∵∠A=∠OCA，且∠DCB=∠A，∴∠OCA=∠DCB，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OCD中，∠D=30°；∴∠COD=60°，∴∠A=30°，∴∠BCD=∠D=30°，∴BC=BD=12，∴AB=24，∴r=12（cm）．【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定【解析】【分析】（1）连接CO，先证明∠OCD=90°，再结合OC是圆的半径可得CD是⊙O的切线；

（2）先求出∠BCD=∠D=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=24，再求出r=12即可。26．【答案】（1）解：将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：…①，令，则或，即点（2）解：①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代