安徽省安庆市潜山市2022年九年级上学期期末数学试题解析版

九年级上学期期末数学试题一、单选题1．下列交通标识中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．已知，则＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．3．若点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′恰好在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．6 D．﹣64．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在网格线的交点上，以AB为直径的⊙O经过点C，若点D在⊙O上，则tan∠ADC＝（）A． B． C． D．5．在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝4，点O是△ABC的内心，则△ABC的内切圆半径为（）A．2 B．4﹣2 C．2﹣ D．2﹣26．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝28°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D＝（）A．30° B．56° C．28° D．34°7．已知抛物线y＝（x﹣a）2+x﹣3a+1与直线y＝a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，且抛物线的对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（）A．a＞ B．a＞C．＜a＜ D．﹣＜a＜﹣8．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：59．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A． B． C．6 D．810．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4二、填空题11．sin30°+cos60°＝．12．在平面直角坐标系中有，，三点，，，．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．13．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需分钟.14．如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．（1）BD：BC＝；（2）若AB＝4，则△ABC的面积是．三、解答题15．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，点O是格点．(1)以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC在点O的同侧，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；(2)将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．18．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为中点，D为拱门最高点，圆心O在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．19．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：的山坡向上行走米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．20．如图，点A，B是平面直角坐标系中的两点，连接OA，OB，OA＝5，OB＝10，且OA⊥OB，若点A的横坐标是﹣4，反比例函数y＝的图象经过点B，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）求k1，k2的值；（2）若点C在线段AB上，且S△OBC＝S△OAB，求点C的坐标．21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径作⊙O交BC于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求CD的长．22．探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三个内角A、B、C所对的边长分别是a，b、c，由于sinA=，sinB=(已知sin90°=1)．可以但到，即在直角三角形中，每条边和它所对角的正弦值的比值相等．（1）拓展：如图2所示，在锐角三角形ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a，b、c，AD⊥BC，BH⊥AC，试说明在锐角三角形中也有相同的结论．（2）运用：请你运用拓展中的结论，完成下题．如图3，在某海域一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/小时的速度按北偏东32°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西76°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．(计算结果保留一位小数)(参考数据：sin46°≈0.72，sin32°≈0.53，sin62°≈0.88，sin76°≈0.97)23．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，延长AC到E，使CE＝BA，连接DE．（1）△DCE可以由△DBA经过怎样的旋转得到，并说明理由；（2）记BC，AD相交于点F．①求证：∠DCF＝∠DAE；②已知等边△BCD的边长为6，AC+AB＝8，求AF的长．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意．故答案为：D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。2．【答案】A【知识点】代数式求值；比例的性质【解析】【解答】解：∵，∴a=-2b，c=-2d，e=-2f，∴=，故答案为：A．

【分析】根据，可得a=-2b，c=-2d，e=-2f，再将其代入计算即可。3．【答案】C【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵点A′与点A（-3，2）关于x轴的对称，∴点A′（-3，-2），又∵点A′（-3，-2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=（-3）×（-2）=6，故答案为：C．

【分析】先求出点A′（-3，-2），再将其代入y=，求出k的值即可。4．【答案】B【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：连接AC、BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=∠ADC，∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝，故答案为：B．

【分析】连接AC、BC，根据圆周角的性质可得∠ABC=∠ADC，再利用正切的定义可得tan∠ADC＝tan∠ABC＝。5．【答案】D【知识点】三角形的面积；三角形的内切圆与内心【解析】【解答】解：如图，设△ABC的内切圆☉O的半径为r，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝4，∵AC2＋BC2==42=AB2∴△ABC是等腰直角三角形∴S△ABC＝AC•BC＝（AC+BC+AB）•r．∴r=故答案为：D．

【分析】设△ABC的内切圆☉O的半径为r，根据S△ABC＝AC•BC＝（AC+BC+AB）•r，可得r=。6．【答案】D【知识点】圆周角定理；切线的性质【解析】【解答】解：∵CD与⊙O相切，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，由圆周角定理可知：∠COD=2∠CBA=56°，∴∠D=90°-∠OCD=90°-56°=34°，故答案为：D．

【分析】根据圆周角的性质可得∠COD=2∠CBA=56°，再利用角的运算可得∠D=90°-∠OCD=90°-56°=34°。7．【答案】B【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象与一元二次方程的综合应用【解析】【解答】解：∵抛物线y=（x-a）2+x-3a+1与直线y=a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，∴（x-a）2+x-3a+1=a，整理得：x2+（1-2a）x+a2-4a+1=0，Δ=（1-2a）2-4×1×（a2-4a+1）=1-4a+4a2-4a2+16a-4=12a-3＞0，∴a＞，又∵二次函数y=（x-a）2+x-3a+1=x2+（1-2a）x+a2-3a+1对称轴在y轴右侧，∴-=-+a＞0，∴a＞，∴a＞，故答案为：B．

【分析】根据二次函数与一元二次方程根的个数的关系和二次函数的对称轴在y轴右侧列出不等式组求出a的取值范围即可。8．【答案】A【知识点】三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，∵DH∥AF，∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，∵DE＝AE，∴△EDH≌△EAF（AAS），∴DH＝AF，∵点D为BC的中点，DH∥CF，∴DH为△BCF的中位线，∴CF＝2DH＝2AF，∴AF：FC＝1：2，故答案为：A．

【分析】作DH∥AC交BF于H，先利用“AAS”证明△EDH≌△EAF，可得DH=AF，再根据DH为△BCF的中位线，可得CF＝2DH＝2AF，再求出AF：FC＝1：2即可。9．【答案】B【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；邻补角【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E.∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝.故答案为：B.【分析】过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E，由邻补角的性质可得∠CAE＝60°，由∠CAE的余弦函数求AE，由∠CAE的正弦函数求EC，然后利用勾股定理求解即可.10．【答案】C【知识点】圆-动点问题【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，∴OB=OP=AB=4，由勾股定理得CO=，PC=故答案为：C．

【分析】点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P，此时PC取得最小值，利用勾股定理求出CO的长，再求出PC的长即可。11．【答案】1【知识点】特殊角的三角函数值【解析】【解答】解：故答案为：1

【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。12．【答案】（2，0）【知识点】确定圆的条件；三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：，，不在同一直线上经过点，，可以确定一个圆该圆圆心必在线段的垂直平分线上设圆心坐标为则点在线段的垂直平分线上由勾股定理得：圆心坐标为故答案为：【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解13．【答案】20【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【解答】解：如图所示：设在6分钟时到达A点，在14分钟时到达B，∵6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，∴A，B关于对称轴对称.则从A到B需要8分钟，则从A到D需要4分钟.∴从O到D需要6+4=10分.∴从O到C需要2×10=20分.故答案为：20.【分析】6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间.14．【答案】（1）（2）【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝30°，∴设CE为a，则BC为2a，∵BD⊥AB，CE⊥AB，∴∠ABD＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEC，∴，∵AD：CD＝4：3∴∴，∴BD＝，∴，故答案为：2：7；（2）由（1）得：△ABD∽△AEC，∴，∴，∴AE＝7，∴BE＝AE﹣AB＝7﹣4＝3，在Rt△BEC中，CE＝BEtan30°＝＝，∴△ABC的面积＝AB•CE＝＝，故答案为：．

【分析】（1）过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，证明△ABD∽△AEC，可得，再将数据代入可得；（2）根据，求出AE的长，再利用线段的和差求出BE的长，解直角三角形求出CE的长，最后利用三角形的面积公式计算即可。15．【答案】解：∵抛物线的顶点是（-3，2），∴设抛物线的表达式为：y=a（x+3）2+2，把点（4，-5）代入y=a（x+3）2+2中得：a（4+3）2+2=-5，解得：a=−，∴抛物线的表达式为：y=−（x+3）2+2．【知识点】待定系数法求二次函数解析式【解析】【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式即可。16．【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB==10，∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，∴AB为⊙O的直径，∴R=AB=5．（2）解：∵点O是AB的中点，AB=10，∴BO=AB=5，∴BO＜BC＜BA，∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，∴8＜r＜10．【知识点】勾股定理；点与圆的位置关系；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得R的值；

（2）先利用直角三角形斜边上中线的性质求出BO的长，再利用点和圆的位置关系求出r的取值范围即可。17．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；⑵如图，△A2B2C1即为所求．【知识点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转【解析】【分析】（1）根据位似图形的性质和位似比作出图形即可；

（2）利用旋转的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可。18．【答案】解：连接过圆心，C为中点，，为中点，，设半径为分米，则，，，在中，，，．拱门所在圆的半径是15分米．【知识点】勾股定理；垂径定理的应用【解析】【分析】连接AO，利用垂径定理求出，设半径为分米，则，再利用勾股定理可得，最后求出x的值即可。19．【答案】解：延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，如图所示：则四边形DFEG是矩形，∴DG=EF，DF=GE，在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，∴CE=BE=100（米），在Rt△CDF中，DF：CF=1：2，∴CF=2DF，∵DF2+CF2=EF2，∴DF2+（2DF）2=（10）2，解得：DF=10（米），∴CF=20（米），∴DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，在Rt△ADG中，tan∠ADG==tan30°=，∴AG=DG=×120=120（米），∴AB=AG+GE-BE=120+10-100=30（米），答：铁塔AB的高度为30米．【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，由锐角三角函数定义得出CE的值，再由坡度的定义和勾股定理求出DF、CF的值，则得出DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，再由锐角三角函数定义求出AG的长，即可得解。20．【答案】（1）解：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图由题意知：OM=4，OA=5由勾股定理得：∴点A的坐标为(−4，3)把点A坐标代入y＝中得：∴∵OA⊥OB，AM⊥OM，BN⊥ON∴∠AOB=∠AMO=∠BNO=90゜∴∠AOM+∠BON=90゜，∠AOM+∠MAO=90゜∴∠MAO=∠BON∵∠AMO=∠BNO=90゜∴△AMO∽△ONB∴∴ON=2AM=6在Rt△BON中，由勾股定理得：∴B点坐标为(6，8)把点B坐标代入y＝中得：∴∴k1=−12，k2=48（2）解：∵S△OBC＝S△OAB∴点C是AB的中点过A点作AD⊥BN于点D，作CE∥y轴交AD于点E，如图∵BN⊥x轴∴BN∥y轴∴BN∥CE∴△ACE∽△ABD∴∴AD=2AE，BD=2CE即点E是AD的中点∵四边形AMND是矩形∴DN=AM=3，AD=MN=6+4=10∴BD=BN−DN=8−3=5设点C的坐标为(m，n)则，∴m=1，n=5.5∴C(1，5.5)【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，先求出点A的坐标，将点A的坐标代入，求出，再利用△AMO∽△ONB，可得ON=2AM=6，求出点B的坐标，再将点B的坐标代入，求出即可；

（2）过A点作AD⊥BN于点D，作CE∥y轴交AD于点E，先证明点E是AD的中点，再结合四边形AMND是矩形，求出BD的长，设点C的坐标为(m，n)，可得，，再求出m、n的值，即可得到点C的坐标。21．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，∵AB=5，OB=2，∴AO=AB-OB=3，∵∠OEA=∠C=90°，∠A=∠A，∴△AEO∽△ACB，∴，∴，∴OE=OB=2，∴AC是⊙O的切线；（2）解：过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵∠OEA=∠C=∠OFC=90°，∴四边形OFCE是矩形，∴OE=CF=2，∵BC=，∴BF=BC-CF=，∵OF⊥BD，∴BD=2BF=，∴CD=BC-BD=．【知识点】垂径定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，先证明△AEO∽△ACB，可得，将数据代入可得，求出OE=OB=2，即可得到结论；

（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，先证明四边形OFCE是矩形，则OE=CF=2，利用垂径定理求出BD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。22．【答案】（1）解：在Rt△ABH中，

∵sin∠BAH=

∴BH=csin∠BAH．

在Rt△BCH中，

∵

∴csin∠B