固体理论讲义三

固体理论讲义三第1页，共28页，2023年，2月20日，星期四自旋晶格系统的元激发-磁振子系统受到微扰后的低激发态是什么形式？设铁磁体中某一格点上的自旋因扰动偏离量子化轴，那么（1）它将带动邻近格点自旋取向的改变；（2）邻近自旋对的作用使它恢复原来的取向。形成离子自旋相对取向的振荡：由于各格点上进动自旋的方位角不同，类似波动的特性，这就是自旋波自旋波的量子称为磁振子磁振子是描述晶格自旋相对取向振荡的量子，是互作用系统的集体激发（声子是描述晶格离子间相对位移振荡的量子）第2页，共28页，2023年，2月20日，星期四电子自旋的概念1925年，Uhlenbeck和Goudsmit提出电子自旋的概念电子具有自旋及自旋角动量纯粹是量子特性；它是描述电子状态的第四个变量。（其它变量为x,y,z)(1)每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：(2)每个电子具有自旋磁矩，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：自旋角动量满足以下对易关系：

第3页，共28页，2023年，2月20日，星期四由此得到自旋角动量平方算符的本征值为两个电子的自旋函数(1)两个电子自旋相互反平行的态是单一的，我们称这种态为独态。(2)两个电子自旋相互平行的能级是三重简并的，对应于这些能级的态称为三重态。第4页，共28页，2023年，2月20日，星期四2.海森伯模型（1）自旋-自旋相互作用系统的哈密顿量可表示为：这就是海森堡模型海森堡模型是建立在下列一套假定之上的设两格点离子上各有一个自旋未配对的d电子，d电子间交换能上式等效地写为：s为两格点间组合自旋量子数第5页，共28页，2023年，2月20日，星期四两个d电子间交换能所对应的算符表示为：因为那么来源于库仑势的交互作用项，互作用实为静电性的，不能理解为电子磁矩之间的直接磁作用。将上式推广到自旋大于1/2的情况，即每个离子上的自旋未配对d电子数大于1,两格点间交互作用能第6页，共28页，2023年，2月20日，星期四以上假设：1）同一格点离子上的电子间交互作用忽略不计；2）两格点间所有电子具有相同的交换积分。将对所有格点求和即的海森堡哈密顿由于交换作用是短程作用，可以只计算近邻格点间的作用第7页，共28页，2023年，2月20日，星期四(2)海森堡哈密顿量的推导狄拉克在二十年代从理论上严格导出了海森堡模型。他考虑的是磁性绝缘体，即电子处于局域化状态。下面介绍s=1/2的推导：设晶体中有N个格点，每个格点上的离子只有一个未配对的局域态d电子。态矢量可用瓦尼尔函数作基函数表示：根据二次量子化的标准手续，交互作用为对于绝缘体，无电子转移，每一个格点上只可能有一个未配对的d电子，应有d电子的单占据条件：这里第8页，共28页，2023年，2月20日，星期四将上述关系代入交换作用项：在狄拉克理论的基础上，安德逊（P.W.Anderson）进一步证明了海森堡模型也适应于S>1/2的情况第9页，共28页，2023年，2月20日，星期四3.铁磁自旋波理论

对于铁磁体，交换积分J>0；设有N个自旋为S的磁离子排列成晶格，我们通过近似解来求铁磁体自旋波的低激发态。（1）铁磁体的基态哈密顿H中所含矢量算符的三个分量有对易关系在讨论自旋互作用系统特性时，我们把作为独立变量设z轴为量子化轴，则某一格点上的自旋态可用离子自旋S与算符的本征值m标记为|s,m>第10页，共28页，2023年，2月20日，星期四那么，铁磁系统的哈密顿可写为：则可严格证明铁磁体的基态为（各个格点自旋取向一致）：那么有以下关系和基态本征值：（2）霍斯坦因-普里马可夫变换现在讨论自旋系统的低激发态：一个格点的自旋偏转由于相互作用会传播形成自旋波第11页，共28页，2023年，2月20日，星期四为了数学上（与声子）的相似性使H对角化方便，我们引入量：则有：是n

的产生和消灭算符作霍斯坦因-普里马可夫变换(HP变换，不改变对易关系)这里满足玻色对易关系：第12页，共28页，2023年，2月20日，星期四得到海森堡哈密顿的二次量子化表达式由于对低激发态，每个自旋的平均偏离很小，这时可得将根号展开的近似哈密顿：这里略去了算符的四次项（3）低激发态—自旋波上式第一项是基态能；第二项代表格点l上的自旋偏转能；最后两项为不同格点间的耦合。由于系统具有平移对称性；进一步将产生和消灭算符作傅里叶展开这里已不再是作用于某一格点上的算符，而是作用于所有格点的自旋波算符，代表自旋系统的集体坐标。第13页，共28页，2023年，2月20日，星期四满足玻色对易关系：利用，求的对角化的哈密顿为这里定义了结构因子：第14页，共28页，2023年，2月20日，星期四若计入算符的高阶项，可得

自旋波模式只是线性理论的结果，而磁振子被称为系统的线性元激发如果考虑自旋波之间的相互作用，算符al的非线性方程，一维情况下有孤子解，因此，孤子代表系统的非线性元激发考虑自旋波之间的相互作用后对k的修正；温度升高会发生自旋波频率的软化现象。第15页，共28页，2023年，2月20日，星期四4.铁磁体的低温磁化强度由于自旋算符满足玻色对易关系，因此温度T时所激发的平均量子数满足玻色分布：

对立方晶系，低温时所有自旋波模的总元激发个数：设温度足够低，积分可近似在全k空间进行第16页，共28页，2023年，2月20日，星期四取体积V=1，铁磁体的低温磁化强度为是波尔磁子是朗德因子其中代表零温饱和磁化。由于自旋波导致的磁化强度的减小为：这个结果是布洛赫1930年求得的，称为布洛赫T3/2定律；其形式已被实验所证实。平均场理论在低温下的失效指数衰减第17页，共28页，2023年，2月20日，星期四平均场理论只考虑了自旋运动的单体效应，它没有考虑自旋间的动力学关联；平均场理论不能反映低温区自旋系统的集体激发特征。

铁磁体中磁振子的低温比热容自旋波的经典图像由于对角化的哈密顿量，那么对低激发态将实数取代算符任意格点的自旋角动量在Oxy平面内作圆周运动，相邻格点之间有确定的相位差。第18页，共28页，2023年，2月20日，星期四5.反铁磁自旋波理论

当海森伯哈密顿量中J<0时，近邻格点上的自旋趋于反平行这时可以把晶格分为两个子格，它们的自旋取向相反。（例如在MnF2、FeF2、CoF2中)（1）双格子模型每个格子中自旋数为N，总的磁离子数为2N，并取体积为V=1.H用a、b两子格的自旋符表示：分别为两个子格中格点的自旋算符。假定子格a的量子化轴沿（+z）方向，b子格沿（-z）方向：*出发态|Origin>定义为所有a子格自旋沿（+z）方向，b子格沿（-z）方向第19页，共28页，2023年，2月20日，星期四引入霍斯坦因-普里马可夫变换都满足玻色对易关系将上式代入双格子系统哈密顿，并略去a、b的四次项可得：*仿照铁磁情况作傅里叶变换同样，满足玻色对易关系用双子格自旋波算符表示的哈密顿量为非对角化项结构因子第20页，共28页，2023年，2月20日，星期四（2）玻戈留玻夫正则变换（正则变化要求保证所有的对易关系在形式上不改变）根据子格的运动方程引入玻戈留玻夫变换这里设为实函数。由满足玻色对易关系可得（1）逆变换代入双子格自旋波哈密顿：为使H对角化（2）第21页，共28页，2023年，2月20日，星期四联立方程（1）和（2）可得（玻戈留玻夫变换已成功用于超流、声子-光子、声子-自旋波等一系列耦合问题）最后得对角化的双子格自旋波哈密顿：对于每个k存在两支简并的反铁磁自旋波，分别由代表其准粒子（磁振子）。在长波限(ka<<1)立方晶系的色散关系为：的色散关系是k的线性函数，与声学模一样，不难求出反铁磁体中磁振子的比热正比于T3,和德拜声子的比热相似。第22页，共28页，2023年，2月20日，星期四（3）磁振子的零点运动反铁磁体的基态应为无准离子激发时H的本征值：说明基态并不完全像双子格模型所建议的磁有序，在基态每一子格中自旋不是完全平行的，而是存在着取向的不一致性反铁磁体与铁磁体的不同之处为存在着磁振子的零点能铁磁体反铁磁体第23页，共28页，2023年，2月20日，星期四子格的总自旋饱和磁化强度：第一项代表子格a中所有自旋取向完全一致时的贡献第二项为自旋取向的平均偏离量，称为子格自旋的零点偏离。至今三维反铁磁海森伯模型的严格基态尚未找到。（4）外场影响当考虑反铁磁体中的晶场（BA）和存在外磁场B时，两支简并的自旋波将发生分裂：同时存在的情况，这时|Origin>不再稳定，发生自旋偏离转变。第24页，共28页，2023年，2月20日，星期四6.铁氧体中的自旋波

铁氧体是铁淦氧磁体的简称最简单的铁氧体也可用双子格模型描述：对上式作HP变换和点阵傅里叶变换后，求得用子格自旋波算符描述的低激发态哈密顿：与反铁磁体类似，作玻戈留玻夫正则变换它可使H表示下列对角化形式可利用与上节类似的方法求A和本征频率。这里介绍玻戈留玻夫变换的运动方程对角化方法。第25页，共28页，2023年，2月20日，星期四这里介绍玻戈留玻夫变换的运动方程对角化方法。若将哈密顿对角化必有比较以上两式，可得出运动方程的对角化条件：将玻戈留玻夫变换式代入用子格自旋波算符描述的低激发态哈密顿H，再将H代入以上方程；可得时的自旋波频率：对于立方晶系和长波近似色散关系更类似于铁磁体，而不是反铁磁体*多数的铁磁性绝缘体是铁氧体.第26页，共28页，2023年，2月20日，星期四容易求出铁氧体的低温磁化强度、比热